第4章 2.3 三角函数的叠加及其应用(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

2.3　三角函数的叠加及其应用 1.计算cos ＋sin ＝（　　） A. B.2 C.2 D. 2.已知函数f（x）＝cos 2x－sin 2x＋2，则（　　） A.f（x）的最小正周期为π，最大值为3 B.f（x）的最小正周期为π，最大值为4 C.f（x）的最小正周期为2π，最大值为3 D.f（x）的最小正周期为2π，最大值为4 3.已知向量a＝（sin（α＋），1），b＝（4，4cos α－），若a⊥b，则sin（α＋）＝（　　） A.－ B.－ C. D. 4.函数y＝cos 2x－sin 2x的部分图象是（　　） 5.〔多选〕设函数f（x）＝sin 2x＋cos 2x，则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的最小正周期为2π B.y＝f（x）的图象关于直线x＝对称 C.f（x）的最大值为 D.y＝f（x）的图象关于点（，0）对称 6.〔多选〕关于函数f（x）＝cos（2x－）＋cos（2x＋），下列说法正确的是（　　） A.函数f（x）的最大值是 B.函数f（x）是以π为最小正周期的周期函数 C.函数f（x）在区间［，］上单调递增 D.函数f（x）在区间［，］上单调递减 7.已知sin x＋cos x＝2a－3，则a的取值范围是　　　　. 8.函数y＝cos 2x＋sin 2x的单调递减区间为　　　　. 9.已知函数f（x）＝sin x－acos x的图象经过点（ ，1），则f（x）的最小正周期是　　　　. 10.已知函数f（x）＝sin－sin. （1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间； （2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的倍，再向上平移1个单位长度得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在上的取值范围. 11.若函数f（x）＝sin ＋cos 在（－a，a）（a＞0）上单调递增，则a的取值范围是（　　） A.（0，］ B.（0，］ C.（0，］ D.（0，］ 12.〔多选〕设f（x）＝asin 2x＋bcos 2x，ab≠0，若f（x）≤｜f｜对任意x∈R成立，则下列命题中正确的是（　　） A.f＝0 B.｜f｜＜｜f｜ C.f（x）是非奇非偶函数 D.可能存在经过点（a，b）的直线与函数的图象不相交 13.若函数f（x）＝sin （x＋φ）＋cos（x＋φ）对任意的x（x∈R）均满足f（－x）＝f（x），则tan φ＝　　　　. 14.已知函数f（x）＝sin（x＋）＋sin（x－）＋acos x＋b（a，b∈R，且均为常数）. （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）若f（x）在区间［－，0］上单调递增，且恰好能够取得f（x）的最小值2，试求a，b的值. 15.已知函数f（x）＝（a－）sin x＋（a＋1）·cos x，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若对任意x∈R，都有g（x）≤g（），则a的值为　　　　. 16.函数f（x）＝asin x＋bcos x称为向量＝（a，b）的“相伴函数”.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S. （1）设函数h（x）＝2sin－cos，求证：h（x）∈S； （2）记＝（0，2）的“相伴函数”为f（x），若函数g（x）＝f（x）＋2｜sin x｜－1，x∈[0，2π]与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3　三角函数的叠加及其应用 1.C　cos ＋sin ＝2（cos ＋sin ）＝2＝2sin＝2sin ＝2. 2.B　易知f（x）＝cos 2x－sin 2x＋2＝2cos＋2，则f（x）的最小正周期为π，当2x＋＝2kπ（k∈Z），即x＝kπ－（k∈Z）时，f（x）取得最大值，最大值为4. 3.B　因为a⊥b，所以a·b＝4sin（α＋）＋4cos α－＝2sin α＋6cos α－＝4sin（α＋）－＝0，所以sin（α＋）＝，sin（α＋）＝－sin（α＋）＝－. 4.A　由y＝cos 2x－sin 2x＝2cos可知，函数的最大值为2，故排除D；又因为函数图象过点，故排除B；又因为函数图象过点，故排除C，故选A. 5.BCD　f（x）＝sin 2x＋cos 2x＝sin（2x＋），最小正周期为＝π，故A不正确；令2x＋＝＋kπ（k∈Z），得x＝＋（k∈Z）.当k＝0时，x＝，所以y＝f（x）的图象关于直线x＝对称，故B正确；f（x）的最大值为，故C正确；令2x＋＝kπ（k∈Z），得x＝－＋（k∈Z），所以当k＝2时，x＝，故D正确.故选B、C、D. 6.ABD　因为f（x）＝cos（2x－）＋cos（2x＋）＝cos（2x－）＋cos［（2x－）＋］＝cos（2x－）－sin（2x－）＝ ［cos（2x－）－sin（2x－）］＝cos（2x－＋）＝cos（2x－）.所以函数f（x）的最大值是，最小正周期为T＝＝π，选项A、B正确；由2kπ≤2x－≤2kπ＋π（k∈Z），得kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），所以函数f（x）在区间［，］上单调递减，所以C错误，D正确. 7.［，］　解析：因为sin x＋cos x＝2sin（x＋）＝2a－3，所以sin（x＋）＝a－，所以－1≤a－≤1，即≤a≤. 8.（k∈Z）　解析：y＝cos 2x＋sin 2x＝cos（2x－），由2kπ≤2x－≤2kπ＋π（k∈Z），解得kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），所以函数的单调递减区间为（k∈Z）. 9.2π　解析：由于f（x）的图象经过点（ ，1），∴·sin－acos＝1，即a＝1. ∴f（x）＝sin x－cos x＝2（ sin x－cos x）＝2sin（ x－）， 故f（x）的最小正周期T＝2π. 10.解：（1）f（x）＝sin－sin ＝cos x－sin x＋cos x ＝cos， 又x∈[0，π]，可得x＋∈， 由于函数y＝cos x在[π，2π]上单调递增， 故函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间为. （2）函数f（x）＝cos向右平移个单位长度，得到y＝cos的图象，然后将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的倍，再向上平移1个单位长度得到函数g（x）＝2cos（2x－）＋1的图象， 又x∈， 可得2x－∈， 故cos∈， 可得g（x）∈[－2，2＋1]， 故函数g（x）的值域为[－2，2＋1]. 11.A　f（x）＝sin ＋cos ＝2sin（＋），由－＋2kπ≤＋≤＋2kπ（k∈Z）得－＋4kπ≤x≤＋4kπ（k∈Z），所以（－a，a）⊆［－，］，则a∈（0，］，故选A. 12.AC　依题意f（x）＝sin（2x＋θ）（ 其中tan θ＝），由于f（x）≤｜f｜对任意x∈R成立，故x＝是函数f（x）的对称轴，所以2×＋θ＝kπ＋（k∈Z），θ＝kπ＋（k∈Z）.所以f（x）＝sin＝±·sin.因为f＝±sin（2×＋）＝0，所以A正确.显然｜f｜＝｜f｜，所以B错误.根据f（x）的解析式可知f（x）是非奇非偶函数，所以C正确.要使经过点（a，b）的直线与函数f（x）没有交点，则此直线和x轴平行，且｜b｜＞，两边平方得b2＞a2＋b2，这不可能，矛盾，所以不存在经过点（a，b）的直线与函数的图象不相交，所以D错误.故选A、C. 13.1　解析：因为f（x）＝sin（x＋φ）＋cos（x＋φ）＝sin（x＋φ＋），f（－x）＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，即φ＋＝＋kπ（k∈Z），所以φ＝＋kπ（k∈Z），所以tan φ＝tan（＋kπ）＝1（k∈Z）. 14.解：（1）f（x）＝sin（x＋）＋sin（x－）＋acos x＋b＝2sin xcos＋acos x＋b＝sin x＋acos x＋b＝sin（x＋φ）＋b（ 其中tan α＝）.所以函数f（x）的最小正周期为2π. （2）由（1）可知：f（x）的最小值为－＋b. 所以－＋b＝2. 另外，由f（x）在区间［－，0］上单调递增. 可知f（x）在区间［－，0］上的最小值为f（－）. 所以f（－）＝－＋＋b＝2.解得a＝－1，b＝4. 15.2　解析：已知函数f（x）＝sin x＋acos x＋cos x－sin x＝asin（x＋）＋2cos（x＋）＝·sin（x＋＋α）（cos α＝，sin α＝），由题意得，函数g（x）＝sin（x－＋＋α）＝·sin（x＋α）≤sin（＋α），当sin（＋α）＝1时，α＝2kπ＋（k∈Z）.∴＝，解得a＝2. 16.解：（1）证明：因为h（x）＝2sin－cos（＋x）＝－sin x＋cos x， 所以函数h（x）是向量＝的“相伴函数”， 所以h（x）∈S. （2）因为f（x）＝2cos x，所以g（x）＝2cos x＋2｜sin x｜－1 ＝ 则g（x）在上单调递增，上单调递减，上单调递增，上单调递减， 又g（0）＝1，g＝3，g（π）＝－3，g＝3，g（2π）＝1， 因为函数g（x）＝f（x）＋2｜sin x｜－1，x∈[0，2π]与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，所以实数k的取值范围为[1，3）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $