第2章 6.1 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

第三课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 1.已知△ABC的周长为20，面积为10 ，A＝60°，则BC边的长为（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 2.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为（　　） A.12 m B.8 m C.3 m D.4 m 3.若△ABC的三个内角满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 4.如图，从东到西的公路上有相距80 m的A，B两个观测点，在A点测得某塔在北偏东60°的点D处，在B点测得该塔在北偏西30°，塔顶C的仰角为45°，则塔的高度CD约为（　　） A.40 m B.37 m C.35 m D.23 m 5.〔多选〕三角形有一个角是60°，这个角的两边长分别为8和5，则（　　） A.三角形另一边长为7 B.三角形的周长为20 C.三角形内切圆周长为3π D.三角形外接圆面积为 6.〔多选〕某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向上，距离为12n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向上，距离8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向上，则下列说法正确的是（　　） A.A处与D处之间的距离是24 n mile B.灯塔C与D处之间的距离是16 n mile C.灯塔C在D处的西偏南60° D.D在灯塔B的北偏西30° 7.（2022·浙江高考11题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是S＝，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积.设某三角形的三边a＝，b＝，c＝2，则该三角形的面积S＝　　　　. 8.台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为　　　　h. 9.在△ABC中，B＝，c＝4，只需添加一个条件，即可使△ABC存在且唯一，在条件：①a＝3，②b＝2，③cos C＝－中，所有可以选择的条件的序号为　　　　. 10.在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ADC面积的2倍. （1）求的值； （2）若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长. 11.在平行四边形ABCD中，AC＝，BD＝，周长为18，则平行四边形的面积是（　　） A.16 B.17.5 C.18 D.18.5 12.如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里，则乙船每小时航行（　　） A.10 海里 B.20 海里 C.30海里 D.30 海里 13.如图，若圆内接四边形的边长依次为25，39，52和60，则cos A＝　　　，该圆的直径长度为　　　. 14.已知在△ABC中，sin C＝sin 2B，C＝. （1）求B的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度. ①c＝b；②周长为4＋2；③面积为S△ABC＝. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin A－sin B＝sin C，3b＝2a，2≤a2＋ac≤18，设△ABC的面积为S，p＝a－S，则p的最小值是（　　） A. B. C. D. 16.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，＝a. （1）求角C的大小； （2）若△ABC的中线CD的长为，求△ABC的面积的最大值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 1.C　由题知a＋b＋c＝20，bcsin 60°＝10 .所以bc＝40.a2＝b2＋c2－2bccos 60°＝（b＋c）2－3bc＝（20－a）2－120.所以a＝7.即BC边的长为7. 2.D　由题意知，A＝B＝30°，所以C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理，得＝，即AB＝＝＝4（m）. 3.C　由题意，利用正弦定理可得6a＝4b＝3c，则可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k＞0，则cos C＝＜0，所以C是钝角，所以△ABC是钝角三角形，故选C. 4.A　如图，依题意，∠CDB＝∠CDA＝90°，∠CBD＝45°，∠BAD＝30°，∠ABD＝60°，于是得∠ADB＝90°，BD＝ABcos∠ABD＝80cos 60°＝40，在Rt△BCD中，CD＝BD＝40，所以塔的高度CD约为40 m. 5.ABD　由题意可得另一边长为＝7，三角形的周长为20，则A正确，B正确；设内切圆半径为r，则（8＋7＋5）r＝×8×5sin 60°，则r＝，则内切圆周长为2πr＝2π，则C不正确；设外接圆半径为R，则2R＝，R＝，其面积为πR2＝，则D正确.故选A、B、D. 6.AC　由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以∠B＝180°－60°－75°＝45°，AB＝12，AC＝8，在△ABD中，由正弦定理得＝，所以AD＝＝24（n mile），故A正确；在△ACD中，由余弦定理得CD＝，即CD＝＝8（n mile），故B错误；因为CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确；由∠ADB＝60°，D在灯塔B的北偏西60°处，故D错误.故选A、C. 7.　解析：因为a＝，b＝，c＝2，所以S＝＝. 8.1　解析：设t h时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得（20t）2＋402－2×20t×40×cos 45°＝302.化简，得4t2－8t＋7＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.从而｜t1－t2｜＝＝1（h）. 9.①②　解析：在△ABC中，B＝，c＝4，若添加条件①，则b2＝a2＋c2－2accos B＝（3）2＋42－2×3×4×＝10，即b＝，故△ABC存在且唯一；若添加条件②，则由b2＝a2＋c2－2accos B，可得（2）2＝a2＋42－2×a×4×，即a2－4a－4＝0，解得a＝2（＋），故△ABC存在且唯一；若添加条件③，则由－＜－，得C＞135°，则B＋C＞45°＋135°＝180°，故△ABC不存在，所以可以选择的条件的序号为①②. 10.解：（1）由正弦定理得 S△ABD＝AB·ADsin∠BAD， S△ADC＝AC·ADsin∠CAD， 由题意有S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，故有AB＝2AC. 由正弦定理可得＝＝. （2）因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝. 在△ABD和△ADC中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB， ① AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC. ② 由①②得AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6. 又由（1）知AB＝2AC，所以AC＝1. 11.A　设平行四边形的两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，则a＋b＝9，a2＋b2－2abcos α＝17，a2＋b2－2abcos（180°－α）＝65，解得a＝5，b＝4，cos α＝或a＝4，b＝5，cos α＝，所以S平行四边形ABCD＝absin α＝16. 12.D　如图，连接A1B2，在△A1A2B2中，易知∠A1A2B2＝60°，又A1A2＝30×＝10（海里），A2B2＝10海里，∴△A1A2B2为正三角形，∴A1B2＝10海里.在△A1B1B2中，∠B1A1B2＝180°－75°－60°＝45°，A1B1＝20海里，∴B1＝400＋200－2×20×10×＝200，∴B1B2＝10海里，∴乙船每小时航行10÷＝30海里. 13.0　65　解析：由余弦定理得BD2＝392＋522－2×39×52cos C，BD2＝252＋602－2×25×60cos A，∵A＋C＝180°，∴cos C＝－cos A，即（392－252）－（602－522）＋2×39×52cos A＋2×25×60cos A＝0，∴cos A＝0.∵0°＜A＜180°，∴A＝90°，∴BD2＝392＋522＝652，∴BD＝65. 14.解：（1）∵sin C＝sin 2B， ∴sin 2B＝sin＝，∵C＝， ∴B∈，2B∈， ∴2B＝，解得B＝. （2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得＝＝＝，与c＝b矛盾，故这样的△ABC不存在. 若选择②：由（1）可得A＝，设△ABC的外接圆半径为R， 则由正弦定理可得a＝b＝2Rsin＝R，c＝2Rsin＝R， 则周长a＋b＋c＝2R＋R＝4＋2，解得R＝2，则a＝2，c＝2， 由余弦定理可得BC边上的中线的长度为＝. 若选择③：由（1）可得A＝，即a＝b， 则S△ABC＝absin C＝a2×＝，解得a＝， 则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为 ＝＝. 15.B　由正弦定理得a－b＝c，又3b＝2a，设c＝3k，其中k＞0，则a＝3k，b＝2k.由2≤a2＋ac≤18得，2≤18k2≤18，≤k2≤1，≤k≤1，S＝×2k×＝2k2，p＝3k－2k2＝－2×（k－）2＋（≤k≤1）的最小值是3×－2×（）2＝，故选B. 16.解：（1）由正弦定理可得sin A＝，sin B＝，sin C＝， 所以＝a，可化为＝a， 所以＝sin C， 在△ABC中，由余弦定理可得cos C＝， 所以cos C＝sin C， 解得tan C＝. 因为0＜C＜π，所以C＝. （2）在△ABC中，若CD是中线，则＝（＋），所以＝（＋＋2·）， 即｜｜2＝（ ｜｜2＋｜｜2＋2｜｜·｜｜·cos ）， 所以3＝（b2＋a2＋ba），所以b2＋a2＋ba＝12， 所以3ba≤12，解得ab≤4. 所以S△ABC＝absin C≤×4×＝， 所以面积的最大值为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $