第2章 6.1 第2课时 正弦定理(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

第二课时　正弦定理 1.C　C＝180°－30°－15°＝135°，c＝＝＝3.故选C. 2.B　由题意可知＝b＝，则sin B＝1，又B∈（0，π），故B为直角，△ABC是直角三角形. 3.B　依题意＝＝，故cos B＝sin B，故tan B＝，又B∈（0，π），则B＝，所以cos B＝，故选B. 4.A　sin2A＋sin2C－sin Asin C－sin2B＝0，由正弦定理得b2＝a2＋c2－ac.又a＝2c，所以b2＝4c2＋c2－2c2＝3c2，从而cos C＝＝＝.又因为C∈（0，π），所以C＝.故选A. 5.C　易知A＝45°，由＝得b＝＝＝4. 6.BD　因为b＝2，A＝，△ABC有唯一解，所以a＝bsin A＝或a≥b＝2，即a∈{}∪[2，＋∞），故选B、D. 7.BCD　在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B，或A＋B＝，所以a＝b或a2＋b2＝c2，故A错误；在△ABC中，由正弦定理得a＝，因为sin B∈（0，1]，所以a≥bsin A，故B正确；在△ABC中，由正弦定理得sin A＞sin B⇔＞⇔a＞b⇔A＞B，所以若sin A＞sin B，则A＞B，故C正确；在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝2R，所以＝＝2R＝，故D正确.故选B、C、D. 8.2　解析：由正弦定理，得c＝＝2a＝2. 9.1　　解析：因为bsin A＝asin C，所以由正弦定理可得ba＝ac，所以b＝c＝1，所以S△ABC＝bcsin A＝sin A≤，当sin A＝1，即A＝90°时，三角形面积最大为. 10.解：（1）因为sin2A＋sin2B＝sin2C＋sin Asin B， 所以由正弦定理得a2＋b2＝c2＋ab， 所以由余弦定理得cos C＝＝＝， 又C∈（0，π），所以C＝. （2）结合（1）得S△ABC＝absin C＝ab×＝，即ab＝， 又a2＋b2＝c2＋ab，即（a＋b）2＝c2＋ab＋2ab＝1＋3＋2＝4＋2，所以a＋b＝1＋， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋＋1＝＋2. 11.C　由a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋64－2×2×8×＝52，解得a＝2.设△ABC外接圆半径为R，则 ＝＝2R ＝＝＝. 12.BCD　选项A，由正弦定理＝，得sin B＝·sin A＝×＝.因为＜＜，所以角B在（30°，45°）和（135°，150°）上各有一个解，并且这两个解与角A的和都小于π，所以A中三角形有两个解，故A错误.选项B，根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得16＝9＋c2－c，解得c＝5或c＝－（舍去），所以B中三角形有唯一解，故B正确.选项C，已知两边及其夹角，根据余弦定理可以求得唯一的边c，所以C中三角形有唯一解，故C正确.选项D，由正弦定理＝，得sin A＝sin B＝×＝.因为＜，所以角A在（0°，30°）和（150°，180°）上各有一个解，当解在（150°，180°）时，角B与角A的和大于180°，舍去，所以D中三角形有唯一解，故D正确.故选B、C、D. 13.（，2）　解析：在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理可得＝，得c＝.若此三角形有两解，则必须满足的条件为c＞b＞csin B，即＜b＜2. 14.解：（1）由bsin A＝acos B及正弦定理， 得sin Bsin A＝sin Acos B. 在△ABC中，sin A≠0，∴sin B＝cos B， ∴tan B＝. ∵0＜B＜π，∴B＝. （2）由sin C＝sin A及正弦定理， 得c＝a， ① 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得32＝a2＋c2－2accos B， 即a2＋c2－ac＝9， ② 联立①②，解得a＝3，c＝3. 15.①②③　解析：A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，故①成立.函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，∵A＞B，∴cos A＜cos B，故②成立.在锐角三角形中，∵A＋B＞，∴0＜－B＜A＜，函数y＝sin x在区间上单调递增，则有sin A＞sin，即sin A＞cos B，同理sin B＞cos A，故③成立. 16.解：（1）由余弦定理及2bcsin A＝（a2＋c2－b2）， 可得bsin A＝acos B， 又由正弦定理，可得 sin Bsin A＝sin Acos B， 因为0＜A＜π，所以sin A≠0， 所以sin B＝cos B， 所以tan B＝， 又因为0＜B＜π， 所以B＝. （2）由（1）可知sin B＝，又知△ABC外接圆的半径为， 则由正弦定理得b＝2Rsin B＝2××＝3. 又由S＝acsin B＝，可得ac＝9， 根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝（a＋c）2－3ac， 所以（a＋c）2＝b2＋3ac＝9＋3×9＝36，所以a＋c＝6， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝9. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　正弦定理 1.在△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝15°，则c＝（　　） A.1　　　　　　　　　　B. C.3 D. 2.在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若＝，则cos B＝（　　） A.－ B. C.－ D. 4.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2c，sin2A＋sin2C－sin Asin C－sin2B＝0，则C＝（　　） A. B. C. D. 5.在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b＝（　　） A.4 B.4 C.4 D.4 6.〔多选〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝2，A＝.若△ABC有唯一解，则a的值可以是（　　） A.1 B. C. D. 7.〔多选〕以下关于正弦定理或其变形正确的有（　　） A.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b B.在△ABC中，a≥bsin A C.在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B D.在△ABC中，＝ 8.在△ABC中，已知a＝，sin C＝2sin A，则c＝　　　　. 9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若bsin A＝asin C，c＝1，则b＝　　　　，△ABC面积的最大值为　　　　. 10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2A＋sin2B＝sin2C＋sin Asin B. （1）求C； （2）若c＝1，△ABC的面积为，求△ABC的周长. 11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，b＝2，c＝8，则＝（　　） A. B.4 C. D. 12.〔多选〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列各组条件使得△ABC有唯一解的是（　　） A.a＝3，b＝4，A＝30° B.a＝3，b＝4，cos B＝ C.a＝3，b＝4，C＝30° D.a＝3，b＝4，B＝30° 13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为　　　　. 14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B. （1）求B； （2）若b＝3，sin C＝sin A，求a，c. 15.锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A＞B.则下列三个不等式中成立的是　　　　. ①sin A＞sin B； ②cos A＜cos B； ③sin A＋sin B＞cos A＋cos B. 16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2bcsin A＝（a2＋c2－b2）. （1）求B的大小； （2）若△ABC外接圆的半径为，△ABC的面积为，求△ABC的周长. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $