第2章 6.1 第1课时 余弦定理(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

第一课时　余弦定理 1.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b2＋c2＝a2－bc，则A＝（　　） A.　　　　　　　　　　B. C. D. 2.在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B＝（　　） A.1 B. C.2 D.3 3.在△ABC中，BC＝8，CA＝7，B＝60°，则AB＝（　　） A.2 B.3 C.2或5 D.3或5 4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝1，b＝2，C＝，则△ABC的形状是（　　） A.等腰直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.直角三角形 5.〔多选〕在△ABC中，＝c，＝a，＝b，则下列四个结论中正确的是（　　） A.a＋b＋c＝0 B.若a·b＜0，则△ABC为锐角三角形 C.若a·b＝0，则△ABC为直角三角形 D.若（a＋c－b）·（a＋b－c）＝0，则△ABC为直角三角形 6.〔多选〕在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，若（a2＋c2－b2）tan B＝ac，则B＝（　　） A.30° B.60° C.150° D.120° 7.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝　　　　. 8.已知△ABC中，AB＝7，BC＝5，CA＝3，则与的夹角的大小为　　　　. 9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝，a2＋c2－ac＝4b－4，则b＝　　　　. 10.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－. （1）求角B的大小； （2）若b＝，a＋c＝4，求a的值. 11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则角C的取值范围是（　　） A.（0，］ B.（，］ C.（0，］ D.（，］ 12.已知锐角△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积S＝ab，且bccos A＋accos B＝c＋1，cos C＝，则S的最大值为（　　） A.6 B.4 C.2 D.1 13.在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝　　　　，AC边上的高为　　　　. 14.已知△ABC的面积为，且·＝2. （1）求角A； （2）若BC＝，＝3，求AD的长度. 15.〔多选〕在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3.若CB＝2CD，cos∠CDB＝－，则（　　） A.CD＝ B.cos B＝ C.△ABC的周长为8＋4 D.△ABC为钝角三角形 16.已知2a＋1，a，2a－1是钝角三角形的三边，求实数a的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ §6　平面向量的应用 6.1　余弦定理与正弦定理 第一课时　余弦定理 1.C　∵b2＋c2＝a2－bc，∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cos A＝＝＝－.∵0＜A＜π，∴A＝.故选C. 2.C　因为a＝2，所以bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a＝2.故选C. 3.D　由条件可知，a＝8，b＝7，B＝60°，由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2accos 60°，即c2－8c＋64＝49，得c2－8c＋15＝0，解得c＝3或c＝5.即AB＝3或5.故选D. 4.D　由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－2×1×2×＝3，满足a2＋c2＝b2，∴△ABC为直角三角形，且两直角边不相等，故选D. 5.ACD　△ABC中，＝c，＝a，＝b，a＋b＋c＝＋＋＝0，故A正确.a·b＜0，则只能判定∠ACB是锐角，不能判定△ABC是锐角三角形，故B错.a·b＝0，则a⊥b，则△ABC为直角三角形，故C正确.（a＋c－b）·（a＋b－c）＝0，即a2－（c－b）2＝0，a2＝c2＋b2－2｜b｜｜c｜cos（π－A），又因为a2＝c2＋b2－2｜b｜｜c｜cos A，所以cos A＝cos（π－A）＝－cos A，所以A＝，则△ABC为直角三角形，故D正确.故选A、C、D. 6.BD　由题得tan B＝，根据余弦定理可知cos B tan B＝sin B＝，∴B＝60°或B＝120°.故选B、D. 7.　解析：因为b2＝ac，且c＝2a，得b2＝2a2，由余弦定理，cos B＝＝＝. 8.　解析：△ABC中，cos C＝＝＝－，因为0＜C＜π，所以C＝，与的夹角是π－C＝. 9.2　解析：在△ABC中，B＝，a2＋c2－ac＝4b－4，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝4b－4，即b2－4b＋4＝0，解得b＝2. 10.解：（1）∵cos B＝， cos C＝， ∴原式化为·＝－，整理得a2＋c2－b2＋ac＝0， ∴cos B＝＝＝－. 又0＜B＜π，∴B＝. （2）将b＝，a＋c＝4，B＝代入b2＝a2＋c2－2accos B得，13＝a2＋（4－a）2－2a（4－a）·cos，即a2－4a＋3＝0. 解得a＝1或a＝3. 11.C　因为a2＋b2＝2c2，即c2＝.由余弦定理得cos C＝＝≥＝，当且仅当a＝b时取等号.又C∈（0，π），所以可得C∈（0，］.故选C. 12.C　由余弦定理及bccos A＋accos B＝c＋1得＋＝c＋1，整理是2c2－3c－2＝0，所以c＝2（负值舍去），又因为cos C＝，所以4＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，所以ab≤5，S＝ab≤2，当且仅当a＝b时取等号. 13.　　解析：由余弦定理，可得cos A＝＝＝，又0＜A＜π，所以A＝，所以sin A＝.则AC边上的高h＝ABsin A＝3×＝. 14.解：（1）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 因为·＝2，所以bccos（π－A）＝－bccos A＝2， ① 因为△ABC的面积为，所以bcsin A＝. ② 联立①②可得tan A＝－， 又A∈（0，π），所以A＝. （2）由（1）可得bcsin ＝，即bc＝4. 在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－2bccos ＝14，整理得b2＋c2＝10， 由解得或 由＝3得－＝3（－），即＝＋， 所以＝（＋）2＝＋·＋＝c2＋｜｜｜｜cos A＋b2＝c2－bc＋b2. 当时，＝－＋＝，AD＝； 当时，＝－＋＝，AD＝. 所以AD的长度为或. 15.ACD　设CD＝x，则由题意知CB＝2x.在△CBD中，由余弦定理得cos∠CDB＝，解得x＝，即CD＝，CB＝2，A项正确；在△BCD中，由余弦定理得cos B＝，所以cos B＝，故B项错误；在△ABC中，由余弦定理得cos B＝，解得AC＝2，故△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝8＋2＋2＝8＋4，故C项正确；对于D，由余弦定理得cos C＝＝－＜0，故C为钝角，故D项正确. 16.解：∵2a＋1，a，2a－1是三角形的三边， ∴∴a＞. 要使2a＋1，a，2a－1构成三角形，还需满足即a＞2. 由题意知2a＋1是三角形的最大边，设其对应的角为θ（钝角），则cos θ＝＜0， ∴a2＋（2a－1）2－（2a＋1）2＜0，即a2－8a＜0，解得0＜a＜8. 又∵a＞2，∴a的取值范围是（2，8）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $