第2章 6 培优课 解三角形的综合问题(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

培优课　解三角形的综合问题 1.已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且A＝B，sin B＝2sin C，则cos B＝（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 2.已知△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝1，则B的大小为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 3.如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则山CD的高度为（　　） A. B. C. D. 4.在锐角△ABC中，AB＝2，sin C＝2sin A，则△ABC面积的取值范围是（　　） A.（，1） B.（，1） C.（，） D.（1，） 5.在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝（　　） A. B. C.－ D.－ 6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin A＋b（sin A＋sin B）－csin C＝0，c＝2，则a＋b的取值范围是（　　） A.（2，4] B.（，4］ C.（2，］ D.［，4］ 7.〔多选〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足1－≤，则角C的可能取值是（　　） A. B. C. D. 8.〔多选〕已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有（　　） A.若＝＝，则△ABC一定是等边三角形 B.若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形 C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC一定是等腰三角形 D.若a2＋b2－c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形 9.〔多选〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a＋b）∶（a＋c）∶（b＋c）＝9∶10∶11，则下列结论正确的是（　　） A.sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6 B.cos A＝ C.△ABC是钝角三角形 D.若c＝6，则△ABC的外接圆直径为 10.如图，已知两座灯塔A，B与C的距离都是 km，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为　　　　km. 11.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边.已知b＝2，A＝45°，求边c.显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c有两个解，则a的取值范围是　　　　. 12.（2022·全国甲卷16题）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝　　　　. 13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝1，A＝，且△ABC的面积为. （1）求a的值； （2）若D为BC上一点，且　　　，求sin∠ADB的值. 从①AD＝1；②∠CAD＝.这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分. 14.已知在四边形ABCD中，BC⊥CD，AC＝BC，∠ABC＝. （1）求∠ACB的值； （2）若BC＝，AD＝，求BD的长. 15.为迎接第十五届全运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图所示的五边形ABCDE，运动员的公路自行车在比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车或收容车上获得帮助.比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点进行，另外还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件，所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED，DC，CB，BA，AE为赛道，∠BCD＝∠BAE＝，∠CBD＝，CD＝ km，DE＝4 km. （1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度； ①∠CDE＝；②cos∠DBE＝； （2）在（1）的条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长（即BA＋AE最大）？最长为多少？ 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　解三角形的综合问题 1.A　在△ABC中，因为A＝B，所以a＝b，因为sin B＝2sin C，所以b＝2c，所以a＝2c，由cos B＝＝.故选A. 2.B　由＋＝1及正弦定理得＋＝1，所以c（b＋c）＋a（a＋b）＝（a＋b）（b＋c），整理可得，b2＝a2＋c2－ac，由余弦定理的推论可得，cos B＝＝，因为0°＜B＜180°，所以B＝60°.故选B. 3.C　在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，根据正弦定理得＝，即＝，∴AC＝＝.在Rt△ACD中，CD＝AC·sin∠CAD＝AC×sin β＝，故选C. 4.A　因为△ABC为锐角三角形，所以0＜B＜，0＜C＜，所以sin C＝2sin A＜1，所以sin A＜，所以0＜A＜，所以B＝π－（A＋C）＞，故B的取值范围是（，），因为sin C＝2sin A，所以AB＝2BC，又AB＝2，故S△ABC＝AB·BCsin B＝sin B∈（，1）. 5.C　设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得a＝csin ＝c，则a＝c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝c2＋c2－3c2＝c2，则b＝c.由余弦定理，可得cos A＝＝＝－.故选C. 6.C　由asin A＋b（sin A＋sin B）－csin C＝0及正弦定理得a2＋ab＋b2－c2＝0.由余弦定理得cos C＝＝＝－.又0＜C＜π，所以C＝.由a2＋ab＋b2－c2＝0及c＝2得a2＋ab＋b2＝4，即（a＋b）2－ab＝4.所以ab＝（a＋b）2－4≤（a＋b）2，所以a＋b≤，当且仅当a＝b＝时取等号.又a＋b＞2＝c，所以2＜a＋b≤，所以a＋b的取值范围为（2，］. 7.ABC　由1－≤得，a（a＋c）＋b（b＋c）≥（b＋c）（a＋c），化简，得a2＋b2－c2≥ab，两边同除以2ab，利用余弦定理得cos C≥，所以0＜C≤. 8.AC　由＝＝及正弦定理可得＝＝，即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，故△ABC是等边三角形，A正确；由acos A＝bcos B及余弦定理可得a·＝b·，即（c2－a2－b2）（a2－b2）＝0，所以c2＝a2＋b2或a＝b，故△ABC是直角或等腰三角形，B不正确；由余弦定理知，b·＋c·＝b，所以＝b，所以a＝b，故△ABC为等腰三角形，C正确；由余弦定理可得cos C＝＞0，故角C为锐角，但角A，B不一定是锐角，D不正确.故选A、C. 9.AB　由（a＋b）∶（a＋c）∶（b＋c）＝9∶10∶11得a∶b∶c＝4∶5∶6，∴由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6，∴A对；易知△ABC的最小内角为A，最大内角为C，设a＝4k，b＝5k，c＝6k（k＞0），则cos C＝＝，cos A＝＝，∴B对；由上可知最大角C为锐角，∴C错；∵sin C＝＝，∴△ABC的外接圆直径为＝＝，∴D错.故选A、B. 10.3　解析：连接AB，由题意AC＝BC＝，∠ACB＝120°，则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝3＋3－2×3×，即AB2＝9，即AB＝3 km. 11.（2，2）　解析：由题意可知三角形有两个解.由图可知CD＝bsin A＝2×sin 45°＝2.若c有两解，以C为圆心，a为半径的圆弧与射线AD有两个交点，则CD＜a＜AC，即a∈（2，2）. 12.－1　解析：设BD＝k（k＞0），则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图.在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k×＝k2＋2k＋4.在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋（2k）2－2×2×2k×＝4k2－4k＋4，则＝＝＝4－＝4－＝4－，∵k＋1＋≥2（ 当且仅当k＋1＝，即k＝－1时等号成立），∴≥4－＝4－2＝（－1）2，∴当取得最小值－1时，BD＝k＝－1. 13.解：（1）因为c＝1，A＝， S△ABC＝bcsin A＝， 所以b＝2， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝7，解得a＝. （2）若选①，当AD＝1时， 在△ABC中，由正弦定理得 ＝， 即＝，所以sin B＝. 因为AD＝AB＝1，所以∠ADB＝B， 所以sin∠ADB＝sin B， 所以sin∠ADB＝. 若选②，当∠CAD＝时，在△ABC中，由余弦定理知，cos B＝＝＝. 因为A＝，所以∠DAB＝－＝， 所以B＋∠ADB＝，所以sin∠ADB＝cos B， 所以sin∠ADB＝. 14.解：（1）在△ABC中，由正弦定理可得 ＝， 又由AC＝BC， 解得sin∠BAC＝， 因为∠BAC为锐角， 所以∠BAC＝， 因此∠ACB＝π－∠ABC－∠BAC＝. （2）因为BC⊥CD，所以∠BCD＝， 所以∠ACD＝. 设CD＝x（x＞0），在△ACD中，AC＝BC＝3， 由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos，即（）2＝32＋x2－2×3×x×， 整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1（舍）. 因此，BD＝＝＝. 15.解：（1）在△BCD中，由正弦定理可得＝，即＝，解得BD＝3. 选①，因为∠BCD＝，∠CBD＝，所以∠BDC＝π－（∠BCD＋∠CBD）＝π－（＋）＝， 所以∠BDE＝∠CDE－∠BDC＝－＝， 所以在Rt△BDE中，BE＝＝＝5， 所以服务通道BE的长度为5 km. 选②，在△BDE中，由余弦定理的推论可得 cos ∠DBE＝， 即＝， 解得BE＝5或BE＝－（舍）. 所以服务通道BE的长度为5 km. （2）在△ABE中，由余弦定理可得BE2＝BA2＋AE2－2BA·AE·cos∠BAE，即25＝BA2＋AE2＋BA·AE＝（BA＋AE）2－BA·AE， 所以（BA＋AE）2＝25＋BA·AE≤25＋（）2， 解得BA＋AE≤，当且仅当BA＝AE时取等号， 所以BA＋AE的最大值为. 所以设计BA＝AE且∠BAE＝，可使折线段赛道BAE最长，最长为 km. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $