第2章 5 培优课 平面向量中的最值、范围问题(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

培优课　平面向量中的最值、范围问题 1.如果a，b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（　　） A.a＝b B.a·b＝1 C.a＝－b D.｜a｜＝｜b｜ 2.若平面向量a与b＝（1，－1）方向相同，且｜a｜＝2，则a＝（　　） A.（－，） B.（，－） C.（－2，2） D.（2，－2） 3.设a＝（3，m），b＝（4，2），则“m＝－1”是“a⊥（a－b）”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图，AB是☉O的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，＝a，＝b，则＝（　　） A.a－b B.a－b C.－a＋b D.－a＋b 5.已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（　　） A.－6 B.－5 C.5 D.6 6.｜b｜＝｜a｜＝｜c｜＝1，a·b＝，则（a＋b）·（2b－c）的最小值为（　　） A.3＋ B.3－ C.2＋ D.2－ 7.已知在边长为2的正三角形ABC中，M，N分别为BC，AC边上的动点，且CN＝BM，则·的最大值为（　　） A.－　 　B.－ C.　　　D. 8.17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在△ABC中，若三个内角均小于120°，当点P满足∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，则点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点.根据以上性质，已知a为平面内任意一个向量，b和c是平面内两个互相垂直的向量，｜c｜＝2，｜b｜＝1，则｜a－b｜＋｜a＋b｜＋｜a－c｜的最小值是（　　） A.2－ B.2＋ C.－1 D.＋1 9.〔多选〕已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，则（　　） A.｜a－b｜的最大值为3 B.｜a＋b｜的最小值为0 C.｜a－b｜－｜a＋b｜的最大值为2 D.｜a－b｜＋｜a＋b｜的最小值为4 10.〔多选〕在平面直角坐标系中，点A（2，3），B（－3，4），如图所示，x轴，y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是（　　） A.＝2i＋3j B.＝3i＋4j C.＝－5i＋j D.＝5i－j 11.〔多选〕已知向量a＝（1，3），b＝（2，－4），则下列结论正确的是（　　） A.（a＋b）⊥a B.｜2a＋b｜＝ C.向量a，b的夹角为 D.a·b＝－10 12.〔多选〕已知向量a，b的数量积（又称向量的点积或内积）a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞，其中＜a，b＞表示向量a，b的夹角；向量a，b的向量积（又称向量的叉积或外积）a×b的模｜a×b｜＝｜a｜｜b｜·sin＜a，b＞，其中＜a，b＞表示向量a，b的夹角.则下列说法正确的是（　　） A.△ABC的面积为｜×｜ B.若a，b为非零向量，且｜a×b｜＝a·b，则＜a，b＞＝ C.已知点A（0，1），B（－1，），O为坐标原点，则｜×｜＝ D.若｜a×b｜＝a·b＝，则｜a＋2b｜的最小值为2 13.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝4，则x＝　　　　，y＝　　　　. 14.已知单位向量a，b，则｜a－2b｜的取值范围为　　　　. 15.设两个向量e1，e2满足｜e1｜＝2，｜e2｜＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围为　　　　. 16.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，对称中心为O，以O为圆心作半径为1的圆，点M为圆O上任意一点，则·的取值范围为　　　　. 17.已知向量a＝（2，1），b＝（4，－3）. （1）若（a－2b）⊥（λa＋b），求λ的值； （2）若c＝（1，μ），向量a与c的夹角为锐角，求μ的取值范围. 18.已知向量a＝（2＋sin x，1），b＝（2，－2），c＝（sin x－3，1），d＝（1，k）（x∈R，k∈R）. （1）若x∈，且a∥（b＋c），求x的值； （2）若函数f（x）＝a·b，求f（x）的最小值； （3）是否存在实数k，使得（a＋d）⊥（b＋c）？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　平面向量中的最值、范围问题 1.D　两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A、C错误；由于两个单位向量的夹角不确定，则a·b＝1不成立，所以选项B错误；｜a｜＝｜b｜＝1，则选项D正确. 2.D　因为向量a与b方向相同，且｜a｜＝2，所以a＝λb＝（λ，－λ），λ＞0，且｜a｜2＝λ2＋（－λ）2＝2λ2＝（2）2＝8，解得λ＝2，所以a＝（2，－2）.故选D. 3.A　当m＝－1时，a－b＝（－1，－3），a·（a－b）＝3×（－1）＋（－1）×（－3）＝0，a⊥（a－b）成立，所以“m＝－1”是“a⊥（a－b）”的充分条件； 当a⊥（a－b）时，a－b＝（－1，m－2），a·（a－b）＝3×（－1）＋m·（m－2）＝0，解得m＝－1或m＝3，所以“m＝－1”不是“a⊥（a－b）”的必要条件，所以“m＝－1”是“a⊥（a－b）”的充分不必要条件，故选A. 4.C　画出图形如图所示，由于C，D是半圆弧上的两个三等分点，所以△AOC，△COD，△DOB是等边三角形，所以OA＝OB＝OC＝OD＝AC＝CD＝BD，所以四边形OACD是菱形，四边形OBDC是菱形， 所以＝＝－＝－＝－a＋b.故选C. 5.C　由题意，c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C. 6.B　（a＋b）·（2b－c）＝2a·b－a·c＋2b2－b·c＝3－（a＋b）·c，因为－｜a＋b｜·｜c｜≤（a＋b）·c≤｜a＋b｜·｜c｜，所以（a＋b）·c的最大值为｜a＋b｜·｜c｜＝，所以（a＋b）·（2b－c）的最小值为3－. 7.B　以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B（－1，0），C（1，0），A（0，），∴＝（2，0），＝（－1，），设＝t（0≤t≤1），则＝t（0≤t≤1），∴M（2t－1，0），N（1－t，t），∴＝（2t－1，－），＝（2－3t，t），∴·＝（2t－1）·（2－3t）＋（－）·（t）＝－6t2＋4t－2＝－6（t－）2－，∵0≤t≤1，∴当t＝时，·取得最大值，为－，故选B. 8.B　设a＝（x，y），b＝（1，0），c＝（0，2），则｜a－b｜＋｜a＋b｜＋｜a－c｜＝＋＋.记P（x，y），A（1，0），B（－1，0），C（0，2），则｜a－b｜＋｜a＋b｜＋｜a－c｜的几何意义为点P（x，y）到A（1，0），B（－1，0）和点C（0，2）三个点的距离之和，且△ABC为等腰三角形，如图，由费马点的性质可得，要保证∠APB＝120°，则∠APO＝60°.因为OA＝1，则OP＝，所以点P坐标为（0，）时，距离之和最小，最小距离之和为＋＋（2－）＝2＋.故选B. 9.ACD　因为｜a－b｜2＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝5－4cos＜a，b＞∈[1，9]，所以1≤｜a－b｜≤3，当且仅当向量a与b反向时｜a－b｜取到最大值3，A正确；因为｜a＋b｜2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋4cos＜a，b＞∈[1，9]，所以1≤｜a＋b｜≤3，当且仅当向量a与b反向时｜a＋b｜取到最小值1，B错误；设＜a，b＞＝θ，由A，B可知，（｜a－b｜－｜a＋b｜）2＝（－）2＝10－2∈[0，4]，所以｜a－b｜－｜a＋b｜的最大值为2，C正确；（｜a－b｜＋｜a＋b｜）2＝（＋）2＝10＋2∈[16，20]，所以｜a－b｜＋｜a＋b｜的最小值为4，D正确. 10.ACD　i，j互相垂直，故{i，j}可作为一组基，由平面向量基本定理，得＝2i＋3j，＝－3i＋4j，＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故A、C、D正确. 11.ACD　对于选项A，a＋b＝（3，－1），因为（a＋b）·a＝（3，－1）·（1，3）＝3－3＝0，所以（a＋b）⊥a，故A正确；对于选项B，可求得2a＋b＝（4，2），所以｜2a＋b｜＝＝＝2，故B错误；对于选项C，设向量a，b的夹角为θ（θ∈[0，π]），则cos θ＝＝＝－，所以θ＝，即向量a，b的夹角为，故C正确；对于选项D，a·b＝1×2＋3×（－4）＝－10，故D正确.故选A、C、D. 12.BD　S△ABC＝｜｜｜｜sin＜，＞＝｜×｜，A错误；若a，b为非零向量，由｜a×b｜＝a·b，得｜a｜｜b｜sin＜a，b＞＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞，即sin＜a，b＞＝cos＜a，b＞，又＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝，B正确；因为点A（0，1），B（－1，），所以＝（0，1），＝（－1，），所以｜｜＝1，｜｜＝＝2，所以cos＜，＞＝＝＝，又＜，＞∈[0，π]，所以＜，＞＝，所以｜×｜＝｜｜｜｜sin＜，＞＝1×2×sin ＝1，C错误；由｜a×b｜＝a·b＝，得｜a｜｜b｜sin＜a，b＞＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝，得tan＜a，b＞＝，a·b＝1，所以＜a，b＞＝，所以｜a｜｜b｜＝2，则｜a＋2b｜＝≥＝＝2，当且仅当｜a｜＝｜2b｜，即｜a｜＝2，｜b｜＝1时取“＝”，D正确. 13.　　解析：由＝4，得－＝4（－），即＝＋，所以x＝，y＝. 14.[1，3]　解析：设向量a与b的夹角为θ，则（a－2b）2＝a2＋4b2－4a·b＝5－4cos θ，因为cos θ∈[－1，1]，所以（a－2b）2∈[1，9]，所以｜a－2b｜∈[1，3]. 15.（－7，－）∪（－，－） 解析：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得＜0，即（2te1＋7e2）·（e1＋te2）＜0，化简可得2t2＋15t＋7＜0，解得－7＜t＜－.当夹角为π时，也有（2te1＋7e2）·（e1＋te2）＜0，但此时夹角不是钝角，设2te1＋7e2＝λ（e1＋te2），λ＜0，可得解得∴所求实数t的取值范围是（－7，－）∪（－，－）. 16.[－8，0]　解析：法一（定义法）　如图1所示，连接OM，OC，设＜，＞＝θ，依题意得AD＝2AB＝4，OC＝2，OM＝1，＜，＞＝，则·＝·（－）＝·－·＝4×1×cos θ－4×2×cos ＝4cos θ－4.因为θ∈[0，π]，所以－1≤cos θ≤1，所以－8≤·≤0. 法二（坐标法）　如图2，以O为坐标原点，以AD所在直线为x轴，过O且和AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（－2，0），D（2，0），C（1，－）.因为圆O的半径为1，所以可设M（cos θ，sin θ），所以＝（4，0），＝（cos θ－1，sin θ＋），所以·＝4cos θ－4，又－1≤cos θ≤1，所以－8≤·≤0. 法三（投影向量法）　如图3所示，设＜，＞＝θ，由题意得AD＝2AB＝4，则·＝｜｜｜｜·cos θ＝4｜｜·cos θ.｜｜cos θ可看成是在上的投影数量，记AD与圆O分别相交于点G，N，当点M与G重合时｜｜cos θ最小，最小值为－2，当点M与N重合时｜｜cos θ最大，最大值为0，故－8≤·≤0. 17.解：（1）因为a＝（2，1），b＝（4，－3）， 所以a－2b＝（－6，7），λa＋b＝（2λ＋4，λ－3）. 又（a－2b）⊥（λa＋b）， 所以－6（2λ＋4）＋7（λ－3）＝0， 解得λ＝－9. （2）因为向量a与c的夹角为锐角， 所以a·c＞0且a与c不共线. 所以 解得μ＞－2且μ≠. 所以μ的取值范围为（－2，）∪（，＋∞）. 18.解：（1）∵b＋c＝（sin x－1，－1），a∥（b＋c）， ∴－（2＋sin x）＝sin x－1，即sin x＝－. 又x∈，∴x＝－. （2）∵a＝（2＋sin x，1），b＝（2，－2）， ∴f（x）＝a·b＝2（2＋sin x）－2＝2sin x＋2.∵x∈R，∴－1≤sin x≤1，∴0≤f（x）≤4， ∴f（x）的最小值为0. （3）∵a＋d＝（3＋sin x，1＋k），b＋c＝（sin x－1，－1）， 若（a＋d）⊥（b＋c），则（a＋d）·（b＋c）＝0， 即（3＋sin x）（sin x－1）－（1＋k）＝0， ∴k＝sin2x＋2sin x－4 ＝（sin x＋1）2－5， 由sin x∈[－1，1]，得k∈[－5，－1]， ∴存在k∈[－5，－1]，使得（a＋d）⊥（b＋c）. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $