2.6 平面向量的应用 同步训练-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

2.6 平面向量的应用——2023-2024学年高一数学北师大版2019必修第二册同步训练 一、单选题 1．A，B是上两点，，则弦的长度是（　　） A．1 B．2 C． D．不能确定 2．在中，，若三角形有两解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．在一幢 米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为 ，塔基的俯角为 ，那么这座塔吊的高是（　　） A． B． C． D． 4． 中，角 所对的边分别为 ．若 ，则边 （　　） A．1 B．2 C．4 D．6 5．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ， ，则 （　　） A． B． C． D． 6．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为 ，经过1 min后又看到山顶的俯角为 ，则山顶的海拔高度为（精确到0.1 km，参考数据： ）（　　） A．11.4 km B．6.6 km C．6.5 km D．5.6 km 7．已知△ABC中，BC=1，AB= ，AC= ，点P是△ABC的外接圆上的一个动点，则 • 的最大值是（　　） A．2 B． C． D． 8．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则的面积为（　　） A． B． C．1 D． 二、多选题 9．在 中，角 、 、 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则使此三角形有两解的 的值可以是（　　） A．5 B． C．8 D． 10．在△ABC中，若a＝2bsinA，则B可能为（　　） A． B． C． D． 11．对于 ，有如下命题，其中正确的有（　　） A．若 ，则 为等腰三角形 B．若 ，则 为直角三角形 C．若 ，则 为钝角三角形 D．若 ， ， ，则 的面积为 或 三、填空题 12．在水流速度为4km/h的河流中，有一艘船正沿与水流垂直的方向以 8km/h的速度航行，则船自身航行速度大小为　 　 km/h. 13．在中，若，则的形状为　 　. 14．如图，在 中， 为边 上一点， ， ， ， 的面积为 ，则 　 　； 　 　. 四、解答题 15．中，内角所对的边分别为已知的面积为，问：（1）求 a 和 sin C 的值（2）求 cos 2 A + π 6 的值 （1）求和的值 （2）求的值 16．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）若，的面积为，求a； （2）若，求C. 17．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ， ，点D在射线AC上，满足 . （1）求 ； （2）设 的角平分线与直线AC交于点E，求证： . 18．已知 中， 分别为角 的边，且 ，且 （1）求角 的大小； （2）求 的取值范围. 19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b是a，c的等比中项． （1）求B的最大值： （2）若C为钝角，求的取值范围． 答案 1．【答案】C 【解析】设半径为，， 则， 由余弦定理知， 故答案为：C 【点评】根据向量的数量积的运算结合余弦定理求解，可得答案. 2．【答案】C 【解析】 当asinB< b<a时，三角形ABC有两组解，又 ，如果三角形ABC有两组解，则x应满足，即 故选： C. 【点评】 要使△ABC有两组解，利用正弦定理得asinB< b<a，代入数据，即可求出x的范围. 3．【答案】B 【解析】根据题意作图如下： 由题意知： ，仰角 ，俯角 ， 在等腰直角三角形 中， ， 在直角三角形 中， ，所以 ， 所以塔高 ， 故答案为：B 【点评】利用已知条件结合解三角形解实际问题的方法，从而求出这座塔吊的高。 4．【答案】C 【解析】 ，即 ，解得 或 （舍去）， 故答案为：C 【点评】利用已知条件结合余弦定理，再利用一元二次方程求解方法结合边c的取值范围，从而求出c的值。 5．【答案】C 【解析】根据正弦定理可知 因为 中, , , 代入正弦定理可得 所以 故答案为：C 【点评】由正弦定理,代入即可求解. 6．【答案】C 【解析】在 中， 根据正弦定理， 所以：山顶的海拔高度为18-11.5=6.5 km. 故答案为：C 【点评】根据题意求得和AB的长，然后利用正弦定理求得BP，最后利用求得问题的答案。 7．【答案】A 【解析】解：如图所示， • =| |•| |cos∠PBC=| |cos∠PBC． 设OP为⊙O的半径，则当OP∥BC且同向时，向量 在 方向上的投影最大，则 • 取得最大值． 由余弦定理可得：cosA= = ，∴sinA ． ∴2R= =3． ∴| |cos∠PBC=|BD|= |BC|+R=2． ∴ • 取得最大值为2． 故选：A 【点评】如图所示 • =| |•| |cos∠PBC=| |cos∠PBC．设OP⊙O的半径，则当OP∥BC且同向时，则 • 的取得最大值．再利用正弦定理和余弦定理即可得出、垂径定理即可得出 8．【答案】D 【解析】在中，由，得，而，，由余弦定理得：， 即，解得， 所以的面积。 故答案为：D 【点评】利用已知条件，得，再利用，，由余弦定理得ac的值，再利用三角形的面积公式，进而得出三角形的面积。 9．【答案】B,C 【解析】当 为锐角时，三角形有两解. ， ， 的值可以是 ，8， 故答案为：BC. 【点评】根据三角形解的个数判断，即 为锐角时， 三角形有两解. 10．【答案】A,D 【解析】解：因为，由正弦定理可得： 因为，所以，又因为，所以或. 故答案为：AD. 【点评】根据正弦定理将边化角，结合角B的范围求解即可. 11．【答案】C,D 【解析】对于A： ， 或 ， 或 ，所以 为等腰三角形或直角三角形，A不符合题意； 对于B: ， 或 ，所以 不一定是直角三角形，B不符合题意； 对于C： ， ， 由正弦定理得 ，又 ，所以角 为钝角，所以 为钝角三角形，C符合题意； 对于D: ， ， ， ，又 ， 或 ， 或 ， 或 ，D符合题意. 故答案为：CD 【点评】通过三角函数与角的关系判断三角形的形状，从而判定A，B的正误；利用正弦定理与余弦定理判断C的正误；利用正弦定理及三角形面积公式判断D的正误. 12．【答案】 【解析】如下图， 代表水流速度， 代表船自身航行的的速度，而 代表实际航行的速度，所以有 ，所以船自身航行的速度大小为 . 【点评】 画出示意图，根据三角形的有关知识进行求解即可求出所求. 13．【答案】等腰或直角三角形 【解析】解：因为，利用正弦定理可得，化简可得，即所以或，所以或，故为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形. 【点评】利用正弦定理化简可得，结合三角形性质可知或，从而判断的形状. 14．【答案】6； 【解析】 ， 由 得 在三角形ABM和三角形AMC中，分别用余弦定理得 在三角形ABC中，利用余弦定理得 = 【点评】先由已知 的面积列式，得到 ， 再利用余弦定理进行计算，即可求出结果. 15．【答案】（1） （2） 【解析】1.由面积公式可得,结合，可求得解得.再由余弦定理求得最后由正弦定理求的值。中，由得,由,得，又由，解得,由，可得，由，得 2. 【点评】解三角形问题实质是附加条件的三角变换，因此在解三角形问题的处理中，正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用，分析近几年的高考试卷，有关的三角题，大部分以三角形为载体考查三角的变换。 16．【答案】（1）解：∵的面积， ∴，， 由余弦定理：， ∴. （2）解：由已知， 由正弦定理得， 即， 可得. 由于，所以， 故，. 【解析】【点评】(1)根据题意由三角形的面积公式以及余弦定理，整理化简计算出a的取值。 (2)由已知条件结合正弦定理以及两角和的正弦公式整理化简即可得出，结合角的取值范围以及正弦函数的单调性，即可求出角C的大小。 17．【答案】（1）解：因为 ，由正弦定理得 ， 因为 ，由正弦定理得 ，即 ，则 ， 由余弦定理得 ， 则 ，因为 ，所以 ； （2）解：如图， ， 在 中， ， ， 在 中， ，则 ， ， ， 所以 ， ， 所以 . 【解析】【点评】(1)根据题意由已知条件结合正弦定理即可得出，，再把结果代入余弦定理计算出的大小。 (2)由已知条件即可得出，然后由三角形中的几何计算关系结合正弦定理，整理化简即可得出，结合两角和的正弦公式代入整理化简即可得出答案。 18．【答案】（1）解： 因此 （2）解： , 因为 因此 【解析】【点评】（1）先根据诱导公式化简，再根据余弦定理得角C范围，最后根据特殊角三角函数值得结果，（2）先根据正弦定理将 化为角的关系式，再根据配角公式化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质得结果. 19．【答案】（1）解：因为b是a，c的等比中项，所以． 由余弦定理可知， 则，当且仅当时，等号成立． 故B的最大值为． （2）解：由已知可设，， 则，所以，解得． ， 所以的取值范围为． 【解析】【点评】（1）利用已知条件结合等比中项公式和余弦定理以及均值不等式求最值的方法，进而得出角B的最大值. (2)利用等比数列的定义，用a和公比设出b，c，再结合三角形中大边对应大角的性质和余弦定理以及三角函数值在各象限的符号，进而解一元二次不等式求出公比的取值范围，再由正弦定理和两角和的正弦公式以及三角形内角和为180°的性质、诱导公式，从而由等比数列的定义和公比的取值范围，进而根据不等式的性质得出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$