第2章 4.2 平面向量及运算的坐标表示(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

4.2　平面向量及运算的坐标表示 1.已知a－b＝（1，2），a＋b＝（4，－10），则a＝（　　） A.（－2，－2） B.（2，2） C.（－2，2） D.（2，－2） 2.若a＝（2cos α，1），b＝（sin α，1），且a∥b，则tan α＝（　　） A.2 B. C.－2 D.－ 3.已知向量a＝（1，2），b＝（2，3），c＝（3，4），且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为（　　） A.－2，1 B.1，－2 C.2，－1 D.－1，2 4.在四边形ABCD中，A（－2，0），B（－1，3），C（3，4），D（2，3），E，F分别为边AB，CD的中点，则＝（　　） A.（4，2） B.（－4，－2） C.（8，4） D.（－8，－4） 5.〔多选〕已知O为坐标原点，向量＝（2，3），＝（6，－3），P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可能为（　　） A.（，1） B.（，5） C.（，－1） D.（－，7） 6.〔多选〕已知平面上三点坐标为A（3，7），B（4，6），C（1，－2），若点D使这四个点构成平行四边形的四个顶点，则点D的坐标可以是（　　） A.（0，－1） B.（2，－3） C.（6，15） D.（2，3） 7.已知向量a＝（，1），b＝（0，－1），c＝（k，），若2a－b与c平行，则实数k＝　　　　. 8.已知向量a＝（6，－4），b＝（0，2），＝a＋λb，O为坐标原点，若点C在函数y＝cosx的图象上，则实数λ＝　　　　. 9.已知平面直角坐标系内的两个向量a＝（1，2），b＝（m－1，m＋3），若平面内的任意一个向量c都可以唯一分解成c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则m的取值范围是　　　　. 10.如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和与的坐标. 11.如果将＝，绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是（　　） A. B. C.（－1，） D. 12.〔多选〕已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（　　） A.－2 B. C.1 D.－1 13.若{α，β}是表示平面内所有向量的一组基，向量γ＝xα＋yβ（x，y∈R），则称（x，y）为向量γ在基{α，β}下的坐标.已知向量p＝（1，－1），q＝（2，1），m＝（－1，1），n＝（1，2），若向量a在基{p，q}下的坐标为（－2，2），则a在基{m，n}下的坐标为　　　　. 14.设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，－2），C（4，1）. （1）若＝，求D点的坐标； （2）设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值. 15.根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和.现对Rt△CED按上述操作作图后，得到如图所示的图形.若＝x＋y，则x＋y＝　　　　. 16.已知向量u＝（x，y）与向量v＝（y，2y－x）的对应关系可用v＝f（u）表示. （1）证明：对于任意向量a，b及常数m，n，恒有f（ma＋nb）＝mf（a）＋nf（b）成立； （2）设a＝（1，1），b＝（1，0），求向量f（a）及f（b）的坐标； （3）求使f（c）＝（3，5）成立的向量c. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2　平面向量及运算的坐标表示 1.D 2.A　∵a∥b，∴2cos α×1＝sin α.∴tan α＝2.故选A. 3.D　由解得 4.A　由题意知E（－，），F（，），所以＝（，）－（－，）＝（4，2）. 5.AC　因为＝（2，3），＝（6，－3），所以＝－＝（4，－6），又点P是线段AB的三等分点，所以＝＝（，－2）或＝＝（，－4），所以＝＋＝（，1）或＝＋＝（，－1），即点P的坐标为（，1）或（，－1）. 6.ABC　由题意，三点坐标为A（3，7），B（4，6），C（1，－2），当平行四边形为▱ABCD时，设点D的坐标为（x，y），则＝，可得（4，6）－（3，7）＝（1，－2）－（x，y），即解得x＝0，y＝－1，即点D的坐标为（0，－1）；当平行四边形为▱ABDC时，设点D的坐标为（x，y），则＝，可得（4，6）－（3，7）＝（x，y）－（1，－2），即解得x＝2，y＝－3，即点D的坐标为（2，－3）；当平行四边形为▱ADBC时，设点D的坐标为（x，y），则＝，可得（1，－2）－（3，7）＝（4，6）－（x，y），即解得x＝6，y＝15，即点D的坐标为（6，15），综上可得，点D的坐标可能为（0，－1）或（2，－3）或（6，15）.故选A、B、C. 7.2　解析：因为a＝（，1），b＝（0，－1），所以2a－b＝2（，1）－（0，－1）＝（2，3）.又因为c＝（k，），2a－b与c平行，所以2×－3k＝0，解得k＝2. 8.2　解析：由题意知＝（6，－4＋2λ），即C（6，－4＋2λ），∴－4＋2λ＝cos（×6），解得λ＝2. 9.{m｜m≠5}　解析：因为平面内的任意一个向量c都可以唯一分解成c＝λa＋μb，所以根据平面向量基本定理可知，向量a，b不共线，所以1×（m＋3）－2×（m－1）≠0，所以m≠5，所以m的取值范围是{m｜m≠5}. 10.解：由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点. 设B（x1，y1），D（x2，y2）. 由三角函数的定义，得 x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝， ∴B. x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝， ∴D. ∴＝，＝. 11.D　设绕原点O逆时针方向旋转120°得到的的坐标为（x，y），则x＝｜｜cos（120°＋30°）＝－，y＝｜｜sin（120°＋30°）＝，由此可知B点坐标为，故的坐标是.故选D. 12.ABD　因为＝－＝（2，－1）－（1，－3）＝（1，2），＝－＝（m＋1，m－2）－（1，－3）＝（m，m＋1）.假设A，B，C三点共线，则1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形.故选A、B、D. 13.（0，2）　解析：因为a在基{p，q}下的坐标为（－2，2），所以a＝－2p＋2q＝－2（1，－1）＋2（2，1）＝（2，4）.设a在基{m，n}下的坐标为（x，y），则a＝xm＋yn＝x（－1，1）＋y（1，2）＝（－x＋y，x＋2y），即（2，4）＝（－x＋y，x＋2y），所以解得所以a在基{m，n}下的坐标为（0，2）. 14.解：（1）设D（x，y），则＝（1，－5），＝（x－4，y－1）. ∵＝，∴（1，－5）＝（x－4，y－1）， 即解得 ∴D点的坐标为（5，－4）. （2）由题意得a＝＝（1，－5），b＝＝（2，3）， ∴ka－b＝（k－2，－5k－3），a＋3b＝（7，4）. ∵（ka－b）∥（a＋3b）， ∴4（k－2）＝7（－5k－3）， 解得k＝－. 15.　解析：设正方形ABCD的边长为1，则正方形DEHI的边长为，正方形EFGC的边长为，则DF＝.因为∠FDC＝30°，所以＝×cos 30°＋×sin 30°＝·＋.又＝＋，所以＝＋，所以x＋y＝＋＝. 16.解：（1）证明：设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.则f（mx1＋nx2，my1＋ny2）＝（my1＋ny2，2my1＋2ny2－mx1－nx2）， 又mf（a）＝（my1，2my1－mx1），nf（b）＝（ny2，2ny2－nx2）， 所以mf（a）＋nf（b）＝（my1＋ny2，2my1＋2ny2－mx1－nx2）， 所以f（ma＋nb）＝mf（a）＋nf（b）. （2）f（a）＝（1，1），f（b）＝（0，－1）. （3）设向量c＝（x3，y3），则 解得所以c＝（1，3）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $