第2章 3.1 向量的数乘运算 3.2 向量的数乘与向量共线的关系(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

3.1　向量的数乘运算　3.2　向量的数乘与向量共线的关系 1.点C在线段AB上，且＝，则＝（　　） A.　　　　　　　　B. C.－ D.－ 2.－＝（　　） A.a－b＋2c B.5a－b＋2c C.a＋b＋2c D.5a＋b 3.在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是（　　） A.平行四边形 B.菱形 C.梯形 D.矩形 4.已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋（2－m）b共线，则实数m的值为（　　） A.－1或3 B. C.－1或4 D.3或4 5.设△ABC中BC边上的中线为AD，点O满足＝2，则＝（　　） A.－＋ B.－ C.－ D.－＋ 6.〔多选〕已知e1，e2是不共线的向量，下列向量a，b共线的有（　　） A.a＝e1，b＝－2e2 B.a＝e1－3e2，b＝－2e1＋6e2 C.a＝3e1－e2，b＝2e1－e2 D.a＝e1＋e2，b＝e1－3e2 7.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝　　　　. 8.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝　　　　. 9.已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝　　　　. 10.已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f. （1）用e，f表示； （2）证明四边形ABCD为梯形. 11.〔多选〕已知点P为△ABC所在平面内一点，且＋2＋3＝0，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（　　） A.向量与可能平行 B.点P在线段EF上 C.｜｜∶｜｜＝2∶1 D.S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝1∶2∶3 12.〔多选〕已知非零向量e1，e2，a，b满足a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2（k∈R），则以下结论正确的是（　　） A.若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝－2 B.若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝2 C.存在k，使得a与b不共线，e1与e2共线 D.不存在k，使得a与b不共线，e1与e2共线 13.在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝　　　　（用a，b表示）. 14.证明：若向量，，的终点A，B，C共线，则存在实数λ，μ，且λ＋μ＝1，使得＝λ＋μ，反之也成立. 15.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足＝＋λ（＋），λ∈（0，＋∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（　　） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 16.设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点. （1）试用向量法证明：PQ∥AB； （2）若AB＝3CD，求PQ∶AB的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ §3　从速度的倍数到向量的数乘 3.1　向量的数乘运算 3.2　向量的数乘与向量共线的关系 1.D　∵＝，∴＝－，∴＝－. 2.A　－＝（3a－2a）＋＋（c＋c）＝a－b＋2c.故选A. 3.C　∵＝－，∴AB∥CD且｜｜＝｜｜，∴四边形ABCD是梯形. 4.A　因为向量ma－3b与a＋（2－m）b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以ma－3b＝λa＋（2－m）λb，所以解得m＝－1或m＝3，故选A. 5.A　如图所示：∵D为BC的中点，∴＝＋，∵＝2，∴＝＝＋，∴＝－＝－＝－＋，故选A. 6.BC　因为e1，e2是不共线的向量，所以e1，e2都不是零向量.对于A，若a与b共线，则e1，e2共线，这与已知矛盾，所以a与b不共线；对于B，因为b＝－2e1＋6e2＝－2（e1－3e2）＝－2a，所以a与b共线；对于C，因为b＝2e1－e2＝（3e1－e2）＝a，所以a与b共线；对于D，若a与b共线，则存在实数λ∈R，使a＝λb，即e1＋e2＝λ（e1－3e2），所以（1－λ）e1＋（1＋3λ）e2＝0.因为e1，e2是不共线的向量，所以所以λ不存在，所以a与b不共线. 7.2　解析：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴＋＝＝2，∴λ＝2. 8.　解析：因为向量a，b不平行，所以a＋2b≠0.因为向量λa＋b与a＋2b平行，所以存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ（a＋2b），即λa＋b＝μa＋2μb，则解得λ＝μ＝. 9.3　解析：∵＋＋＝0，∴＋＝－， 又由＋＝m得（＋）＋（＋）＝m，所以（＋）－2＝m，即－3＝m＝－m，∴m＝3. 10.解：（1）由题意，有＝＋＋＝（e＋2f）＋（－4e－f）＋（－5e－3f）＝（1－4－5）e＋（2－1－3）f＝－8e－2f. （2）证明：由（1）知＝－8e－2f＝2（－4e－f）＝2，即＝2. 根据向量的数乘的定义，与同方向，且的长度为的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD为梯形. 11.BC　因为＋2＋3＝0，所以＋＋2（＋）＝2＋4＝0，即＝－2，所以点P为线段EF上靠近点F的三等分点，故A错误，B，C正确；设AB边上的高为h，因为E，F分别为AC，BC的中点，所以S△PAB＝S△ABC，S△PAC＋S△PBC＝S△ABC，又点P为线段EF上靠近点F的三等分点，S△PAC＝·PE·h，S△PBC＝·PF·h，所以S△PAC＝2S△PBC，则S△PAC＝S△ABC，S△PBC＝S△ABC，所以S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝∶∶＝3∶2∶1，故D错误.故选B、C. 12.AD　非零向量e1，e2，a，b满足a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2（k∈R），若e1与e2不共线，a与b共线，可得λa＝b（λ∈R），即2λ＝k，－λ＝1，解得k＝－2，所以A正确，B错误；若e1与e2共线，可得e1＝me2（m∈R），a＝2e1－e2＝（2m－1）e2，b＝ke1＋e2＝（km＋1）e2，可得a与b共线，所以C错误，D正确. 13.b－a 解析：如图，＝＋＋＝－b－a＋＝－b－a＋（a＋b）＝（b－a）. 14.证明：∵向量，，的终点A，B，C共线， ∴存在实数t，使得＝t， 即－＝t（－），＝（1－t）＋t. 令λ＝1－t，μ＝t，则有＝λ＋μ，且λ＋μ＝1. 反之，若＝λ＋μ，（*） ∵λ＋μ＝1，∴λ＝1－μ， 代入（*）式，得＝（1－μ）＋μ，－＝μ（－），即＝μ. ∴向量，，的终点A，B，C共线. 15.C　因为＝＋λ（＋），λ∈（0，＋∞），所以＝λ（＋），λ∈（0，＋∞），即与＋共线，而＋是以，为邻边的平行四边形的对角线表示的向量，而对角线与BC的交点是线段BC中点，所以P的轨迹一定通过△ABC的重心. 16.解：（1）证明：∵Q为BD的中点， ∴＋＝2， 又P为AC的中点，∴＝2， ∴2＝2－2＝（＋）－＝＋＝（－）＋（＋）＝＋， 又向量与共线，∴存在实数λ，使得＝λ， 则2＝（1＋λ）， ∴＝， ① 又在梯形ABCD中，｜｜≠｜｜， ∴λ≠－1，∴∥，即PQ∥AB. （2）∵向量与方向相反，且｜｜＝3｜｜， ∴＝－3，即λ＝－，代入①式，得＝＝，∴PQ∶AB的值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $