2.3.2 向量的数乘与向量共线的关系 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（北师大版）

2.3.2 向量的数乘与向量共线的关系 [课时跟踪检测] 1.设a,b都是非零向量,下列四个条件,使=成立的充要条件是 (　　) A.a=b B.a=2b C.a∥b且|a|=|b| D.a∥b且方向相同 解析:选D　表示a方向的单位向量,因此=的充要条件是a与b同向即可,故选D. 2.[多选]已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定可以使a,b共线的是 (　　) A.2a-3b=4e且a+2b=-2e B.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0 C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0) D.已知梯形ABCD,其中=a,=b 解析:选AB　由2a-3b=-2(a+2b)得到b=-4a,故A可以;λa-μb=0⇒λa=μb,故B可以;当x=y=0时,有xa+yb=0,但b与a不一定共线,故C不可以;梯形ABCD中,没有说明哪组对边平行,故D不可以. 3.已知平面向量a,b,c,下列结论正确的是 (　　) A.若a∥b,则a=b B.若|a+b|=|a|+|b|,则a∥b C.若a∥b,b∥c,则a∥c D.若|a|=|b|,则a=b 解析:选B　若a,b为非零向量,a∥b,但|a|不一定等于|b|,故a=b不成立,A错误;由|a+b|=|a|+|b|可知a,b同向,于是可知a,b共线,即a∥b,B正确;若b为零向量,a∥b,b∥c不一定能推出a∥c,C错误;|a|=|b|,但是两个向量方向不一定相同,故不可以推出a=b,D错误.故选B. 4.[多选]已知4-3=,则下列结论正确的是 (　　) A.A,B,C,D四点共线 B.C,B,D三点共线 C.||=|| D.||=3|| 解析:选BD　因为4-3=,所以3-3=-.所以3=.因为,有公共端点B,所以C,B,D三点共线,且||=3||.B、D正确,A错误.由4-3=,得=3-3+=3+.所以||≠||,C错误.故选BD. 5.已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则实数λ的值为 (　　) A.-1 B.2 C.-2或1 D.-1或2 解析:选D　由于A,B,C三点共线,故可设=k(k∈R).因为=λa+2b,=a+(λ-1)b,所以λa+2b=k[a+(λ-1)b].所以λ=k,2=k(λ-1),解得λ=-1或λ=2. 6.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是 (　　) A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对 解析:选C　由已知,得=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2,故∥.又因为与不平行,所以四边形ABCD是梯形. 7.[多选]下列命题是真命题的是 (　　) A.若A,B,C,D在一条直线上,则与是共线向量 B.若A,B,C,D不在一条直线上,则与不是共线向量 C.若向量与是共线向量,则A,B,C,D四点必在一条直线上 D.若向量与是共线向量,则A,B,C三点必在一条直线上 解析:选AD　A项为真命题,A,B,C,D在一条直线上,则向量,的方向相同或相反,因此与是共线向量;B项为假命题,A,B,C,D不在一条直线上,则,的方向不确定,不能判断与是否共线;C项为假命题,因为,两个向量所在的直线可能没有公共点,所以A,B,C,D四点不一定在一条直线上;D项为真命题,因为,两个向量所在的直线有公共点A,且与是共线向量,所以A,B,C三点共线.故选AD. 8.如图,在△ABC中,=,P是BN上一点,若=m+,则实数m的值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由题意可得=5,则=m+×5=m+. 因为B,N,P三点共线,所以m+=1,即m=. 9.(5分)点C在线段AB上,且||=||,若=λ,则λ=__________. 解析:不妨设||=4a,则||=||=3a.因为点C在线段AB上,所以=-. 答案:- 10.(5分)设向量a和b不平行,若向量2λa+8b与a+λb反向共线,则实数λ=__________.  解析:因为向量2λa+8b与a+λb反向共线,所以存在t(t<0,t∈R),使得2λa+8b=t(a+λb),即(2λ-t)a=(tλ-8)b.又向量a和b不平行,所以解得t=-4,λ=-2. 答案:-2 11.(5分)已知平面内O,A,B,C四点,其中A,B,C三点共线,O,A,B三点不共线,且=x+y,则x+y=__________.  解析:∵A,B,C三点共线,∴存在λ∈R,使=λ.∴-=λ(-).∴=(1-λ)+λ.∴x=1-λ,y=λ.∴x+y=1. 答案:1 12.(10分)已知向量m,n不是共线向量,a=3m+2n,b=6m-4n,c=m+xn. (1)判断a,b是否共线;(5分) (2)若a∥c,求x的值.(5分) 解:(1)若a与b共线,由题知a为非零向量, 则有b=λa,即6m-4n=λ(3m+2n), ∴得到λ=2且λ=-2, ∴λ不存在,即a与b不共线. (2)∵a∥c,∴存在实数r,使得c=ra, 即m+xn=3rm+2rn, 即解得x=. 13.(10分)如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=3,∠A=90°,E,F分别是线段AB,AC上的点,且=λ,=μ,其中λ,μ∈(0,1),M,N分别是线段EF,BC的中点.求证:=(+). 证明:由已知一方面=++,另一方面=++, 因为M,N分别是EF,BC的中点, 所以+=0,+=0, 所以2=+++++ =+, 所以=(+). 14.(10分)如图,在△ABC中,=,=.设=a,=b. (1)用a,b表示,;(4分) (2)若P为△ABC内部一点,且=a+b.求证:M,P,N三点共线.(6分) 解:(1)由题图,=-=b-a,=-=+=(b-a)+a=b+a. (2)证明:由+=++=+-=a+b-(b-a)=a+b,又=a+b,所以=+,故M,P,N三点共线. 15.(10分)设平面上不在一条直线上的三个点为O,A,B,当实数p,q满足+=1时,连接p,q两个向量终点的直线是否通过一个定点?并证明你的结论. 解:连接p,q两个向量终点的直线过定点.证明如下:设=+,则C为定点. 设M是连接p,q两个向量终点的直线上任意一点, 则-p=t(q-p),其中t为参数. ∵+=1,∴q=. ∴=p+t =p+(+-p), 当t=时,=+=, 故连接p,q两个向量终点的直线过定点C. 学科网（北京）股份有限公司 $