第1章 7 培优课 三角函数的综合问题(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

培优课　三角函数的综合问题 1.已知sin（α＋）＝，则cos（α－）的值为（　　） A.　　　 B.　　　 C.－　　 D.－ 2.已知点P（sin α－cos α，tan α）在第一象限，且α∈[0，2π），则角α的取值范围是（　　） A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 3.命题p：cos θ＝，命题q：tan θ＝1，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.函数f（x）＝ln｜x｜·sin x的部分图象大致为（　　） 5.函数f（x）＝｜sin（x＋）－2｜的一个周期是（　　） A. B.π C. D.2π 6.已知函数y＝sin（3x＋φ）（0＜φ＜π）在区间（－，）上单调，则φ的取值范围是（　　） A.［，］ B.［，］ C.［，］ D.［，］ 7.已知函数f（x）＝sinx的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象所对应的函数解析式是（　　） A.y＝f（4x－） B.y＝f（－） C.y＝f（－2） D.y＝f（4x－2） 8.设函数f（x）＝sin（ωx＋）在区间（0，π）恰有两个零点，则ω的取值范围是（　　） A.［，） B.［，） C.（，］ D.（，］ 9.〔多选〕由曲线C1：y＝sin（2x－）得到C2：y＝cos x，下面变换正确的是（　　） A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 B.把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 C.把C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2 D.把C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C2 10.〔多选〕关于函数f（x）＝4sin（πx－），下列说法正确的是（　　） A.f（x）的最小正周期为2 B.f（x）的图象关于点（，0）中心对称 C.若f（a－x）＝f（a＋x），则｜a｜的最小值为 D.f（x）的图象与曲线y＝（0＜x＜）共有4个交点 11.〔多选〕已知函数g（x）＝sin（ωx＋φ）（0＜ω＜4，0＜φ＜π）为偶函数，将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数f（x）的图象，若f（x）的图象过点（0，），则（　　） A.函数f（x）的最小正周期为1 B.函数f（x）图象的一条对称轴为直线x＝ C.函数f（x）在［1，］上的最小值为－ D.函数f（x）在（0，π）上恰有5个零点 12.〔多选〕已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜≤π），且f（）≤f（x）≤f（）对任意的x∈R都成立，则（　　） A.f（x）的最小正周期为π B.当ω取最小值时，φ＝－ C.f（）＝0 D.f（x）在区间（，）上单调递增 13.函数y＝sin（x＋），x∈［0，］的值域是　　　　. 14.已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜），y＝f（x）的部分图象如图，则f（）＝　　　　. 15.已知函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）＋（0＜ω＜2，0＜φ＜），若函数f（x）的图象关于点（，）对称，且其相邻对称轴与对称中心之间的距离为1，则函数f（x）＝　　　　. 16.关于函数f（x）＝cos（2x－）有以下命题： ①若f（x1）＝f（x2）＝0，则x1－x2＝kπ（k∈Z）； ②函数f（x）在［，］上单调递减； ③将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称； ④函数f（x）的图象与函数g（x）＝sin（2x＋）的图象相同. 其中正确命题为　　　　（填上所有正确命题的序号）. 17.已知函数f（x）＝－sin2x＋sin x＋1＋a. （1）当f（x）＝0有实数解时，求实数a的取值范围； （2）若1≤f（x）≤对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围. 18.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示，且f（0）＝f（）. （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）求f（x）的解析式，并写出它的单调递增区间. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　三角函数的综合问题 1.B　cos（α－）＝cos（α＋－）＝sin（α＋）＝.故选B. 2.B　因为点P在第一象限，所以 即由tan α＞0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图.又sin α＞cos α，用正弦线、余弦线 得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分（不包括边界），即角α的取值范围是∪. 3.D　由cos θ＝，得θ＝±＋2kπ，k∈Z，则tan θ＝±1，故pq，p不是q的充分条件；由tan θ＝1，得θ＝＋kπ，k∈Z，则cos θ＝±，故qp，p不是q的必要条件，所以p是q的既不充分也不必要条件.故选D. 4.A　由解析式知f（x）＝ln｜x｜·sin x定义域为{x｜x≠0}，关于原点对称，且f（－x）＝ln｜－x｜·sin（－x）＝－ln｜x｜·sin x＝－f（x），所以f（x）为奇函数，排除B、D，当0＜x＜1时，ln｜x｜＜0，sin x＞0，可得f（x）＝ln｜x｜·sin x＜0，排除C，故选A. 5.D　法一　因为f（x＋2π）＝｜sin（x＋2π＋）－2｜＝｜sin（x＋）－2｜＝f（x），所以f（x）的一个周期是2π.容易验证，π，均不是函数f（x）的周期. 法二　如图，由函数y＝sin（x＋）－2与y＝｜sin（x＋）－2｜的图象，知函数y＝｜sin（x＋）－2｜的最小正周期与y＝sin（x＋）－2的最小正周期相同，为2π.结合选项知选D. 6.B　当x∈（－，）时，3x＋φ∈（－＋φ，＋φ）.因为0＜φ＜π，所以－＜－＋φ＜，＜＋φ＜，所以解得≤φ≤，即φ的取值范围为［，］. 7.D　题图1的函数为f（x）＝sinx，T＝＝4.题图2的函数最小正周期为T＝1，所以可将f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，对应函数解析式为y＝f（4x）＝sin 2πx.又由题可得题图2对应的函数解析式为y＝sin ［2π（x－）］，所以函数y＝sin 2πx的图象向右平移个单位长度，纵坐标不改变，即可得到题图2中的图象，所以题图2中的图象对应的函数解析式为y＝f（4（x－））＝f（4x－2）. 8.C　由题意可得只考虑ω＞0即可，设ωx＋＝t，则当x∈（0，π）时，t∈（，πω＋），y＝sin t在（，＋∞）上的图象如图所示. 若f（x）在（0，π）有两个零点，则由图知2π＜πω＋≤3π，即＜ω≤.故ω的取值范围是（，］. 9.AD　因为C1：y＝sin（2x－）＝cos（2x－－）＝cos（2x－），所以把函数y＝cos（2x－）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝cos（x－）的图象，再把y＝cos（x－）的图象向左平移个单位长度，得到y＝cos x的图象，A正确，B错误；把函数y＝cos（2x－）＝cos ［2（x－）］的图象向左平移个单位长度，得到y＝cos 2x的图象，再把y＝cos 2x图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝cos x的图象，C错误，D正确. 10.AD　由题可得T＝＝2，f（x）的最小正周期为2，A正确；f（）＝4sin（－）＝4≠0，所以f（x）的图象不关于点（，0）中心对称，B错误；令πx－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋k，k∈Z，离y轴最近的对称轴为x＝－，所以若f（a－x）＝f（a＋x），则函数关于x＝a对称，｜a｜的最小值为，C错误；在y轴右边离y最近的对称轴为x＝，f（）＝4，而＝＜4，y＝在（0，＋∞）上单调递减，因此f（x）的图象在第一象限每个周期内与y＝的图象都有两个交点，在区间（，）上有两个交点，在区间（，）上有两个交点，从而在区间（0，）上共有4个交点，D正确.故选A、D. 11.AC　由函数g（x）为偶函数，得φ＝＋kπ，k∈Z，而0＜φ＜π，则φ＝，因此f（x）＝sin（2ωx＋＋）＝cos（2ωx＋），则f（0）＝cos＝.由0＜ω＜4，得0＜＜，于是＝，解得ω＝π，则f（x）＝cos（2πx＋）.对于A，函数f（x）的最小正周期为T＝＝1，A正确；对于B，f（）＝cos＝≠±1，函数f（x）的图象不关于直线x＝对称，B错误；对于C，当1≤x≤时，≤2πx＋≤，而函数y＝cos t在t∈［，］上单调递减，因此函数f（x）在［1，］上单调递减，则f（x）在［1，］上的最小值为f（）＝－，C正确；对于D，由f（x）＝0，得2πx＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，由0＜＋＜π，k∈Z，解得k∈{0，1，2，3，4，5}，因此函数f（x）在（0，π）上恰有6个零点，D错误. 12.BC　因为f（）≤f（x）≤f（）对任意的x∈R都成立，所以ω＋φ＝2k1π－，ω＋φ＝2k2π＋，k1，k2∈Z且k2≥k1，所以ω＝（2k＋1）π，ω＝2（2k＋1），其中k＝k2－k1，k1，k2∈Z，又ω＞0，所以f（x）的最小正周期T＝＝，k∈Z，故A错误；易知ωmin＝2，此时φ＝2k2π－，k2∈Z，因为｜φ｜≤π，所以φ＝－，B正确；易知x＝和x＝是f（x）的两个极值点，所以（，0）是f（x）图象的一个对称中心，故C正确；当k＞1时，f（x）的最小正周期T≤，而－＝＞，故D错误.故选B、C. 13.［，1］　解析：因为x∈［0，］，所以≤x＋≤，所以≤sin（x＋）≤1，即原函数的值域为［，1］. 14.　解析：由题图可知，此函数的半周期等于－＝＝，故最小正周期为，所以ω＝2.又图象过点（，0），所以0＝Atan（2×＋φ），即＋φ＝kπ（k∈Z），所以φ＝kπ－（k∈Z），又｜φ｜＜，所以φ＝.由图象过点（0，1）可知A＝1.综上，f（x）＝tan（2x＋）.故f（）＝tan（2×＋）＝tan＝. 15.2cos（x＋）＋　解析：函数f（x）的图象中相邻对称轴与对称中心之间的距离为1，所以函数f（x）的最小正周期为T＝4×1＝4，即＝4，解得ω＝.因为函数f（x）的图象关于点（，）对称，所以×＋φ＝＋kπ（k∈Z），即φ＝＋kπ（k∈Z），又0＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝2cos（x＋）＋. 16.②④　解析：函数f（x）＝cos（2x－）的最小正周期是π，所以若f（x1）＝f（x2）＝0，则x1－x2＝（k∈Z），①错误；当x∈［，］时，2x－∈[0，π]，函数f（x）＝cos（2x－）单调递减，②正确；将f（x）＝cos（2x－）的图象向左平移个单位长度，得到f（x）＝cos［2（x＋）－］＝cos 2x的图象，则图象关于y轴对称，③错误；f（x）＝cos（2x－）＝sin（2x＋），④正确.所以正确命题为②④. 17.解：（1）由f（x）＝0得a＝sin2x－sin x－1＝（sin x－）2－.∵－1≤sin x≤1，∴实数a的取值范围是［－，1］. （2）f（x）＝－（sin x－）2＋＋a. 由题意得⇒ ⇒2≤a≤3， 即实数a的取值范围是[2，3]. 18.解：（1）由题意知，函数f（x）图象的一条对称轴为直线x＝＝.设函数f（x）的最小正周期为T，则＝－＝，所以T＝π，即函数f（x）的最小正周期是π. （2）由题图可知A＝2.因为T＝π，所以ω＝＝2.又因为f（）＝－2， 所以2sin（＋φ）＝－2， 即sin（＋φ）＝－1，所以＋φ＝2k1π－，k1∈Z，即φ＝2k1π－，k1∈Z. 又因为0＜φ＜2π，所以φ＝. 所以函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（2x＋）. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z， 所以函数f（x）的单调递增区间为 ［kπ－，kπ－］，k∈Z. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $