第4章 3 培优课 三角恒等变换的综合问题(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

培优课　三角恒等变换的综合问题 1.cos 160°sin 10°－sin 20°cos 10°＝（　　） A.－　　　B.　　　C.－　　　D. 2.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这一比值也可以表示为a＝2cos 72°，则＝（　　） A.2 B.1 C. D. 3.已知f（x）＝sin（x＋）－cos（x＋），则f（1）＋f（2）＋…＋f（2 025）＝（　　） A.2 B. C.1 D.0 4.已知＜α＜π，且cos（α－）＝－，则cos α的值为（　　） A. B.－ C. D. 5.在△ABC中，点P在线段AB上，且＝4，若＝cos2θ·＋sin2θ·，则cos 2θ＝（　　） A.－ B. C.－ D. 6.已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是（　　） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知4bsin B＝asin A，tan＝， 则＝（　　） A. B. C. D. 8.〔多选〕已知a＝（cos 2α，sin α），b＝（1，2sin α－1），α∈（，π），若a·b＝，则（　　） A.sin α＝ B.cos 2α＝－ C.sin 2α＝－ D.tan（α＋）＝ 9.〔多选〕若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b－2a＋4asin2＝0，则下列结论正确的是（　　） A.角C可以为锐角 B.a2＋2b2－c2＝0 C.tan B的最小值为 D.3tan A＋tan C＝0 10.函数y＝sin（x＋10°）＋cos（x＋40°）（x∈R）的最小值是　　　　，最大值是　　　　. 11.定义在R上的奇函数f（x）满足：对于任意的x∈R都有f（x＋3）＝－f（x）.若tan α＝2，则f（15sin αcos α）的值为　　　　. 12.已知sin αcos β＝，则cos αsin β的取值范围是　　　　. 13.已知sin α＝，cos β＝，α，β∈（0，）. （1）求cos（2α－）的值； （2）求α＋β的值. 14.已知函数f（x）＝cos xsin（x＋）－cos2x＋，x∈R. （1）求f（x）的最小正周期； （2）若f（＋）＋f（－）＝，且α∈（，），求α的值. 15.已知向量a＝（cos x，sin x），b＝（cos ，－sin ），且x∈［0，］. （1）求a·b及｜a＋b｜； （2）若f（x）＝a·b－2λ｜a＋b｜的最小值为－，求λ的值. 16.已知函数f（x）＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c为f（x）在［0，］上的最大值. 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求a－b的取值范围. 条件①：acos B＋bcos A＝2ccos C； 条件②：2asin Acos B＋bsin 2A＝a； 条件③：△ABC的面积为S，且S＝. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　三角恒等变换的综合问题 1.C　cos 160°sin 10°－sin 20°cos 10°＝－cos 20°sin 10°－sin 20°cos 10°＝－sin（10°＋20°）＝－，故选C. 2.C　＝＝＝＝＝＝，故选C. 3.A　f（x）＝sin（x＋）－cos（x＋）＝2sin［（x＋）－］＝2sinx，所以f（x）的周期为6，且f（1）＋f（2）＋…＋f（6）＝0，所以f（1）＋f（2）＋…＋f（2 025）＝f（2 023）＋f（2 024）＋f（2 025）＝f（1）＋f（2）＋f（3）＝2. 4.D　因为＜α＜π，所以＜α－＜，因为cos（α－）＝－，所以sin（α－）＝，所以cos α＝cos［（α－）＋］＝cos（α－）cos －sin（α－）sin ＝－×－×＝. 5.A　如图所示，因为＝4，所以＝3.根据向量相关公式可得＝＋，即＝＋.又因为＝cos2θ·＋sin2θ·，所以cos2θ＝，sin2θ＝，所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝－.故选A. 6.A　由一元二次方程根与系数的关系，得所以tan（A＋B）＝＝＝.在△ABC中，tan C＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝－＜0，所以C是钝角，则△ABC是钝角三角形.故选A. 7.D　由4bsin B＝asin A及正弦定理得a2＝4b2，故a＝2b.因为tan A＝＝＝－＜0，所以A∈（，π）.tan A＝＝＝－，解得cos A＝－.cos A＝＝＝·－·＝－，设＝t（t＞0），则t－·＝－，解得t＝或t＝－2（舍去），故＝. 8.ACD　因为a·b＝cos 2α＋sin α（2sin α－1）＝1－2sin2α＋2sin2α－sin α＝1－sin α＝，所以sin α＝，所以A正确；因为α∈（，π），所以cos α＝－，所以sin 2α＝2××（－）＝－，所以B错误，C正确；所以tan α＝－，所以tan（α＋）＝＝，所以D正确. 9.BD　因为b－2a＋4asin2＝0，A＋B＋C＝π，所以b－2a＋4acos2＝0，即b－2a＋2a（cos C＋1）＝0，所以cos C＝－＜0，又C∈（0，π），所以C一定为钝角，A错误；由余弦定理知，cos C＝＝－，化简得a2＋2b2－c2＝0，B正确；因为＝＝·＝·＝＝－，所以3tan A＋tan C＝0，D正确；因为A＋B＋C＝π，所以tan B＝－tan（A＋C）＝－＝－＝，因为C为钝角，所以A∈（0，），所以tan A＞0，所以＋3tan A≥2＝2，当且仅当＝3tan A，即tan A＝时，等号成立，此时tan B取得最大值，C错误. 10.－1　1　解析：令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°.∵y＝sin α＋cos（α＋30°）＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30°＝sin α＋cos α＝sin（α＋60°），∴ymin＝－1，ymax＝1. 11.0　解析：因为tan α＝2，所以sin α＝2cos α.由sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝，则f（15sin αcos α）＝f（15·2cos2α）＝f（6）.因为对于任意的x∈R，都有f（x＋3）＝－f（x），则f（x＋6）＝－f（x＋3）]＝－[－f（x）]＝f（x），所以f（x）的周期为6.因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0，所以f（15sin αcos α）＝f（6）＝f（0）＝0. 12.［－，］　解析：法一　设x＝cos αsin β，则sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋x，sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝－x.因为－1≤sin（α＋β）≤1，－1≤sin（α－β）≤1，所以 所以所以－≤x≤. 法二　设x＝cos αsin β，则sin αcos β·cos αsin β＝x，即sin 2α·sin 2β＝2x.由｜sin 2α·sin 2β｜≤1，得｜2x｜≤1，所以－≤x≤. 13.解：（1）∵α∈（0，）且sin α＝， ∴cos α＝＝. ∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝， sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝. ∴cos（2α－） ＝cos 2αcos＋sin 2αsin ＝×＋×＝. （2）由（1）知sin α＝，cos α＝. ∵β∈（0，）且cos β＝， ∴sin β＝＝＝， ∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝， ∵α，β∈（0，），∴α＋β∈（0，π），∴α＋β＝. 14.解：（1）f（x）＝cos xsin（x＋）－cos2x＋＝cos x（sin x＋cos x）－cos2x＋ ＝sin xcos x＋cos2x－cos2x＋ ＝sin 2x－×＋ ＝sin 2x－cos 2x＝sin（2x－）， 所以f（x）的最小正周期T＝π. （2）由（1）知，f（x）＝sin（2x－）. 因为f（＋）＋f（－）＝，所以sin α－cos α＝，即sin（α－）＝， 所以sin（α－）＝. 因为α∈（，）， 所以＜α－＜， 所以α－＝，α＝. 15.解：（1）a·b＝cos xcos －sin x·sin ＝cos 2x.｜a＋b｜＝ ＝＝2. ∵x∈［0，］，∴cos x≥0，∴｜a＋b｜＝2cos x. （2）f（x）＝cos 2x－4λcos x＝2cos2x－1－4λcos x＝2（cos x－λ）2－1－2λ2.∵x∈［0，］，∴0≤cos x≤1. ①若λ＜0，则当cos x＝0时，f（x）取得最小值－1，这与已知矛盾. ②若0≤λ≤1，则当cos x＝λ时，f（x）取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝或λ＝－（舍去）. ③若λ＞1，则当cos x＝1时，f（x）取得最小值1－4λ.由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞1矛盾. 综上所述，λ的值为. 16.解：（1）f（x）＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1＝2sin（2ωx＋）＋1，因为函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，所以2ω＝，即ω＝1. （2）由（1）可知f（x）＝2sin（2x＋）＋1， 因为x∈［0，］，所以2x＋∈［，］，当2x＋＝，即x＝时，f（x）取得最大值3，所以c＝3. 方案一　选择条件①. 对于acos B＋bcos A＝2ccos C， 由正弦定理可得sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C， 因为sin Acos B＋sin Bcos A＝sin（A＋B）＝sin C， 所以sin C＝2sin Ccos C， 又C∈（0，），所以sin C≠0， 所以cos C＝，所以C＝， 由正弦定理可得＝＝＝＝2， 则a＝2sin A，b＝2sin B， 又C＝，则A＋B＝，B＝－A， 所以a－b＝2sin A－2sin B＝2sin A－2sin（－A）＝2sin A－2（cos A＋sin A）＝sin A－3cos A＝2sin（A－）. 因为△ABC为锐角三角形，所以解得＜A＜， 可得－＜A－＜，则－＜sin（A－）＜， 可得－＜a－b＜. 所以a－b的取值范围为（－，）. 方案二　选择条件②. 对于2asin Acos B＋bsin 2A＝a， 由正弦定理可得2sin2Acos B＋sin Bsin 2A＝sin A， 即2sin2 Acos B＋2sin Bsin Acos A＝sin A， 因为A∈（0，），所以sin A≠0， 所以2sin Acos B＋2sin Bcos A＝2sin（A＋B）＝2sin C＝， 即sin C＝， 又C∈（0，），所以C＝. 以下同方案一. 方案三　选择条件③. 由S＝，得absin C＝， 整理得 sin C＝cos C，则tan C＝， 又C∈（0，），所以C＝. 以下同方案一. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $