第1章 5.2 余弦函数的图象与性质再认识(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

5.2　余弦函数的图象与性质再认识 1.A　对于A，周期为；对于B，周期为π；对于C，周期为8π；对于D，周期为4π.故选A. 2.B　用五点作图法作出函数y＝－cos x在（0，2π]上的图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为（π，1）. 3.B　先画出函数y＝cos x，x∈[0，2π]的简图，再画出直线y＝－（图略），可得有两个交点，即满足cos x＝－，x∈[0，2π]的x有2个. 4.C　∵函数y＝｜cos x｜－1的周期同函数y＝｜cos x｜的周期一致，由函数y＝｜cos x｜的图象知其最小正周期为π，∴y＝｜cos x｜－1的最小正周期也是π，故选C. 5.C　函数y＝｜cos x｜的图象如图所示，由图象知在上y＝｜cos x｜单调递减. 6.BD　对B，y＝cos（－x）＝cos x，y＝cos｜x｜＝cos x，故其图象相同；对D，y＝cos（－x）＝cos x，故其图象关于y轴对称，由作图（图略）可知A、C均不正确. 7.2kπ＋π，k∈Z　2kπ，k∈Z 解析：y＝3cos（π－x）＝－3cos x，当cos x＝－1，即x＝2kπ＋π，k∈Z时，y有最大值3；当cos x＝1，即x＝2kπ，k∈Z时，y有最小值－3. 8.（－π，0]　解析：因为y＝cos x在区间[－π，0]上单调递增，在区间[0，π]上单调递减，所以只有－π＜a≤0时，满足已知条件，所以a∈（－π，0]. 9.0　解析：由函数y＝cos x在[0，2π]上的图象关于直线x＝π对称，得y＝cos x的图象与直线y＝a的两交点必关于直线x＝π对称，所以＝π，即x1＋x2＝2π，所以sin（x1＋x2）＝0. 10.解：（1）函数f（x）的图象如图. （2）当－π≤x＜0时，f（x）＝cos x＝，解得x＝－. 当0≤x≤π时，f（x）＝sin x＝，解得x＝或. 综上，x＝－或或. （3）方程f（x）＝a的解的个数等价于y＝f（x）与y＝a的图象的交点个数， 则由（1）中函数图象可得， 当a＞1或a＜－1时，解的个数为0； 当－1≤a＜0或a＝1时，解的个数为1； 当0≤a＜1时，解的个数为3. 11.AC　作出函数f（x）的图象及直线y＝2，如图所示.函数f（x）的图象与直线y＝2围成的封闭平面图形为图中阴影部分.由图可知，A正确，B错误，C正确；利用函数y＝2cos x图象的对称性，可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积.又OA＝2，OC＝2π，故S阴影部分＝S矩形OABC＝2×2π＝4π，D错误. 12.CD　画出f（x）在[0，2π]上的图象如图所示.由图象知，函数f（x）的最小正周期为2π，当x＝π＋2kπ（k∈Z）和x＝π＋2kπ（k∈Z）时，该函数都取得最小值－1，故A、B错误.由图象知，函数图象关于直线x＝π＋2kπ（k∈Z）对称，当2kπ＜x＜＋2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤，故C、D正确. 13.∪∪ 解析：当x＞0时，cos x＞0，且x∈[－2π，2π]，解得0＜x＜或＜x≤2π；当x＜0时，cos x＜0，且x∈[－2π，2π]，解得－＜x＜－，故不等式xf（x）＞0的解集为∪∪. 14.解：按五个关键点列表如下， x 0 π 2π y＝cos x 1 0 －1 0 1 y＝3＋2cos x 5 3 1 3 5 描点画出图象（如图）. （1）当cos x＝1，即x∈{x｜x＝2kπ，k∈Z}时，ymax＝3＋2＝5，当cos x＝－1，即x∈{x｜x＝2kπ＋π，k∈Z}时，ymin＝3－2＝1. （2）令t＝cos x，则y＝3＋2t， 因为函数y＝3＋2t，当t∈R时是增函数， 所以当x∈[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）时，函数y＝cos x单调递增，y＝3＋2cos x也单调递增，当x∈[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）时，函数y＝cos x单调递减，y＝3＋2cos x也单调递减.综上，函数y＝3＋2cos x在区间[2kπ－π，2kπ]，k∈Z上单调递增；在区间[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上单调递减. 15.A　由f（x）≤1在上恒成立，∴a≤cos2x－cos x＝－在上恒成立.∵x∈，∴cos x∈[0，1]，∴－≥－， 当且仅当cos x＝，即x＝时取等号， ∴a≤－，则实数a的最大值为－. 16.解：（1）y＝cos x＋｜cos x｜＝ 函数图象如图所示. （2）由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π. （3）由图象知函数的单调递增区间为［2kπ－，2kπ］（k∈Z）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2　余弦函数的图象与性质再认识 1.下列函数中，周期为的是（　　） A.y＝cos 4x B.y＝sin 2x C.y＝cos D.y＝sin 2.函数y＝－cos x（x＞0）的图象中与y轴最近的最高点的坐标为（　　） A. B.（π，1） C.（0，1） D.（2π，1） 3.从函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象来看，满足cos x＝－的x的个数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 4.函数y＝｜cos x｜－1的最小正周期是（　　） A.2kπ（k∈Z） B.3π C.π D.2π 5.函数y＝｜cos x｜的一个单调减区间是（　　） A. B. C. D. 6.〔多选〕关于三角函数的图象，下列命题正确的是（　　） A.y＝sin｜x｜与y＝sin x的图象关于y轴对称 B.y＝cos（－x）与y＝cos｜x｜的图象相同 C.y＝｜sin x｜与y＝sin（－x）的图象关于x轴对称 D.y＝cos x与y＝cos（－x）的图象关于y轴对称 7.已知函数y＝3cos（π－x），则当x＝　　　　时，函数取得最大值，当x＝　　　　时，函数取得最小值. 8.函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是　　　　. 9.若存在实数a使得方程cos x＝a在[0，2π]上有两个不相等的实数根x1，x2，则sin（x1＋x2）＝　　　　. 10.已知函数f（x）＝ （1）作出该函数的图象； （2）若f（x）＝，求x的值； （3）若a∈R，讨论方程f（x）＝a的解的个数. 11.〔多选〕若函数f（x）＝2cos x（0≤x≤2π）的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则下列说法正确的是（　　） A.当x∈（，）时，f（x）＜0 B.f（0）＝1 C.f（）＝0 D.围成的封闭图形的面积为2π 12.〔多选〕对于函数f（x）＝下列说法正确的是（　　） A.该函数是以π为最小正周期的周期函数 B.当且仅当x＝π＋2kπ（k∈Z）时，该函数取得最小值－1 C.该函数的图象关于直线x＝π＋2kπ（k∈Z）对称 D.当且仅当2kπ＜x＜＋2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤ 13.若函数f（x）＝cos x，x∈[－2π，2π]，则不等式xf（x）＞0的解集为　　　　. 14.画出函数y＝3＋2cos x的简图. （1）求使此函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值； （2）讨论此函数的单调性. 15.已知函数f（x）＝－cos2x＋cos x＋a＋1，a∈R，若对区间上任意x，都有f（x）≤1成立，则实数a的最大值为（　　） A.－ B.0 C.2 D. 16.已知函数y＝cos x＋｜cos x｜. （1）画出函数的图象； （2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； （3）求出这个函数的单调递增区间. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $