第1章 §5 5.2 余弦函数的图象与性质再认识 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．函数y＝1＋cos x的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线x＝对称 解析：选B.y＝1＋cos x的图象是由y＝cos x的图象向上平移1个单位长度得到的，根据余弦函数的性质可得y＝1＋cos x的图象关于y轴对称．故选B. 2．设M和m分别表示函数y＝cos x－1的最大值和最小值，则M＋m＝(　　) A． B．－ C．－ D．－2 解析：选D.因为－1≤cos x≤1，所以－≤cos x－1≤－，所以M＝－，m＝－，所以M＋m＝－2.故选D. 3．函数y＝－x cos x的部分图象是下图中的(　　) 解析：选D.因为函数y＝－x cos x是奇函数，图象关于原点对称，所以排除选项A，C；当x∈时，y＝－x cos x<0，所以排除选项B.故选D. 4．已知奇函数f(x)在R上单调递增，若存在x∈R，使得不等式f(cos x)＋f(m－3)>0成立，则实数m的取值范围为(　　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(4，＋∞) D．[4，＋∞) 解析：选A.因为f(x)为在定义域R上单调递增的奇函数，存在x∈R，使得f(cos x)＋f(m－3)>0成立，即f(cos x)>－f(m－3)成立，即f(cos x)>f(3－m)成立，所以存在x∈R，使得3－m<cos x成立，即m>3－cos x成立，因为－1≤cos x≤1，所以2≤3－cos x≤4，所以m>2，即m∈(2，＋∞).故选A. 5．(多选)(2025·九江月考)已知函数f(x)＝sin ，则f(x＋)(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．图象关于点(π，0)成中心对称 D．图象关于点成中心对称 解析：选BD.因为f＝sin [(x＋)＋]＝sin ＝cos x，故函数f为偶函数，因为函数f的对称中心坐标为(k∈Z)，所以函数f的图象关于点成中心对称．故选BD. 6.(多选)已知函数f(x)＝|2cos x|，则(　　) A．函数f(x)的最小正周期T＝2π B．函数f(x)在(，3π)上单调递增 C．函数f(x)在(－，)上的值域为(0，) D．函数f(x)的图象关于直线x＝2 025π对称 解析：选BD. 因为f(x)＝|2cos x|＝2|cos x|，作出函数的大致图象，如图，可知函数f(x)的最小正周期T＝π，故A错误； 由图象可知函数的单调递增区间为[kπ－，kπ](k∈Z)，故函数f(x)在(，3π)上单调递增，故B正确；当x∈(－，)时，cos x∈(－，1]，f(x)∈[0，2]，故C错误； 因为f(2 025π)＝2|cos (2 025π)|＝2，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2 025π对称，故D正确．故选BD. 7．比较大小：cos ________cos .(填“>”“<”或“＝”) 解析：因为cos ＝cos ＝cos ，cos ＝cos ＝cos ， 而0＜＜＜，y＝cos x在上单调递减，所以cos ＞cos ，即cos ＞cos . 答案：＞ 8．函数y＝lg (2sin x－1)＋的定义域是__________________． 解析：由题意，得 即 解得 所以2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z. 答案：(k∈Z) 9．方程x2＝cos x的实数解有________个． 解析： 作出函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有2个实数解． 答案：2 10．(13分)已知函数f(x)＝ (1)作出该函数的图象；(6分) (2)若f(x)＝，求x的值．(7分) 解：(1)作出函数f(x)＝的图象，如图1所示． (2)因为f(x)＝，所以在图1基础上再作直线y＝的图象，如图2所示． 则当－π≤x<0时，由图象知x＝－.当0≤x≤π时，x＝或x＝.综上，可知x的值为－，或. 11．(多选)已知函数f(x)＝2|cos x|－cos x，则(　　) A．函数f(x)的最大值为3 B．函数f(x)是偶函数 C．函数f(x)的图象关于直线x＝π对称 D．函数f(x)在上单调递减 解析：选ABC.A选项，当x∈时，f(x)＝2|cos x|－cos x＝2cos x－cos x＝cos x∈[0，1]，当x∈时，f(x)＝2|cos x|－cos x＝－2cos x－cos x＝－3cos x∈[0，3]，又函数f(x)的一个周期为2π，可得函数f(x)的最大值为3，故A正确； B选项，由f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝2|cos (－x)|－cos (－x)＝2|cos x|－cos x＝f(x)，知f(x)为偶函数，故B正确； C选项，f(2π－x)＝2|cos (2π－x)|－cos (2π－x)＝2|cos x|－cos x＝f(x)，故函数f(x)的图象关于直线x＝π对称，故C正确； D选项，由A选项得，当x∈时，f(x)＝－3cos x不单调，故D错误． 12．(多选)已知函数f(x)＝sin (cos x)，则下列关于该函数性质说法正确的有(　　) A．f(x)的一个周期是2π B．f(x)的值域是[－1，1] C．f(x)的图象关于点(π，0)对称 D．f(x)在区间(0，π)上单调递减 解析：选AD.对于A，因为f(x＋2π)＝sin [cos (x＋2π)]＝sin (cos x)＝f(x)，所以2π是函数f(x)的一个周期，故A正确； 对于B，因为－1≤cos x≤1，[－1，1]⊆， 所以sin (－1)≤sin (cos x)≤sin 1⇒f(x)∈[－sin 1，sin 1]，故B不正确； 对于C，因为f(π)＝sin (cos π)＝sin (－1)＝－sin 1≠0，所以f(x)的图象不关于点(π，0)对称，故C不正确； 对于D，因为x∈(0，π)，所以函数y＝cos x单调递减，因此有－1≤cos x≤1，而[－1，1]⊆，y＝sin x在上单调递增，所以f(x)在区间(0，π)上单调递减，故D正确．故选AD. 13．已知f(x)＝cos x，g(x)＝[f(x)]2＋f(－x)，x∈，则g(x)的值域是________． 解析：因为f(x)＝cos x，所以g(x)＝cos 2x＋cos (－x)＝cos 2x＋cos x， 令cos x＝t，因为x∈，所以t∈[0，1]，所以h(t)＝t2＋t，t∈[0，1]， 它的图象的对称轴为直线t＝－，开口向上．所以h(t)在[0，1]上为增函数，所以h(t)∈[0，1＋].即g(x)的值域为[0，1＋]. 答案：[0，1＋] 14．(15分)已知函数f(x)＝－2cos x＋3. (1)完成下面表格，并用“五点(画图)法”作函数f(x)在[0，2π]上的简图；(7分) x 0 π 2π f(x) (2)求不等式 f(x)≥2 的解集．(8分) 解：(1)补充完整的表格如下： x 0 π 2π f(x) 1 3 5 3 1 描点、连线得函数f(x)＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的图象如图所示． (2)当 x∈[0，2π]时，令f(x)＝2，得－2cos x＋3＝2，即cos x＝，从而x＝或x＝. 所以结合(1)中的图象可知，当 x∈[0，2π]时， f(x)≥2的解集是， 又因为函数f(x)的最小正周期为2π， 所以不等式f(x)≥2的解集为 . 15．(15分)已知函数f(x)＝－1－2a－2a cos x＋2cos2x的最小值为g(a)(a∈R). (1)求g(a)；(6分) (2)若g(a)＝，求a及此时f(x)的最大值．(9分)　 解：(1)因为f(x)＝－1－2a－2a cos x＋2cos2x＝2(cosx－)2－－2a－1，且－1≤cos x≤1，所以若－1≤≤1，即－2≤a≤2，当cos x＝时，f(x)min＝g(a)＝－－2a－1；若>1，即a>2，当cos x＝1时，f(x)min＝g(a)＝1－4a；若<－1，即a<－2，当cos x＝－1时，f(x)min＝g(a)＝1. 综上所述，g(a)＝ (2)因为g(a)＝≠1，所以a≥－2，若a>2， 则有1－4a＝，解得a＝，与a>2矛盾；若－2≤a≤2，则有－－2a－1＝，即a2＋4a＋3＝0，解得a＝－1或a＝－3(舍去)， 所以g(a)＝时，a＝－1，即f(x)＝2(cos x＋)2＋，因为－1≤cos x≤1， 所以当cos x＝1时，f(x)取得最大值5. 学科网（北京）股份有限公司 $