第1章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 1.已知角α的终边与单位圆相交于点M，则sin α＝（　　） A.　　　　　　　　 　B. C.－ D.－ 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是（　　） A.（cos θ，sin θ） B.（－cos θ，sin θ） C.（sin θ，cos θ） D.（－sin θ，cos θ） 3.已知角α的终边经过点P（2，－1），则sin α＋cos α＝（　　） A. B.－ C. D.－ 4.已知角α的终边经过点P（m，－6），且cos α＝－，则m＝（　　） A.8 B.－8 C.4 D.－4 5.〔多选〕若角α的终边过点P（－3，－2），则（　　） A.sin α＜0 B.cos α＜0 C.sin αcos α＞0 D.sin αcos α＜0 6.〔多选〕若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α的可能取值为（　　） A. B.－ C. D.－ 7.已知角α的终边与单位圆相交于一点P（－，－），则cos α＝　　　　. 8.已知角α的终边上一点P与点A（－1，2）关于y轴对称，角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称，则sin α＋sin β＝　　　　. 9.若角α终边上一点P（a，9）在函数y＝3x的图象上，则a＝　　　　，sin α＋cos α＝　　　　. 10.已知角α的终边上一点P（－，y），y≠0，且sin α＝y，求cos α的值. 11.〔多选〕若cos α＝－，则下列各点是角α终边上的点的是（　　） A.（－，） B.（－，－） C.（，－） D.（－，） 12.以原点为圆心的单位圆上一点P从（1，0）出发，沿逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为（　　） A. B. C. D. 13.若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α＜0，又P（m，n）是α终边上一点，且｜OP｜＝，则m－n＝　　　　. 14.在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－x上，求sin α－3cos α的值. 15.设A是△ABC的一个内角，且sin A＋cos A＝，则△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.非等腰的直角三角形 D.等腰直角三角形 16.函数y＝logax（a＞0且a≠1）的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得的图象过定点P，且角α的终边过点P，求sin α＋2cos α的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ §4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 1.B　由任意角三角函数的定义知sin α＝y＝. 2.A　由题意可知，点P的横坐标为cos θ，纵坐标为sin θ，故点P的坐标为（cos θ，sin θ）. 3.C　因为角α的终边经过点P（2，－1），r＝＝，于是有sin α＝＝－，cos α＝＝，所以sin α＋cos α＝－＋＝. 4.B　由题意得r＝｜OP｜＝＝，故cos α＝＝－，解得m＝－8. 5.ABC　由P（－3，－2），可得r＝，sin α＝－＜0，cos α＝＜0，所以sin αcos α＞0.故A、B、C正确. 6.CD　设角α的终边y＝－2x上一点（a，－2a），当a＞0时，则r＝a，此时sin α＝＝－，当a＜0时，则r＝－a，此时sin α＝＝，故选C、D. 7.－　解析：由三角函数的定义可知，cos α＝x＝－. 8.0　解析：因为角α的终边上一点P与点A（－1，2）关于y轴对称，所以P（1，2）.因为角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称，所以Q（1，－2）.由正弦函数、余弦函数的定义可知sin α＝，sin β＝－，所以sin α＋sin β＝－＝0. 9.2　　解析：由题意知，3a＝9，∴a＝2， ∴r＝＝， ∴sin α＝＝＝， cos α＝＝＝， ∴sin α＋cos α＝＋＝. 10.解：由sin α＝＝y，得y2＝5，所以y＝±. 当y＝时，cos α＝＝－，当y＝－时，cos α＝＝－. 所以cos α＝－. 11.AB　设点P（x，y）是角α终边上的点，则cos α＝，结合选项选A、B. 12.D　设单位圆的半径为r，点P运动所形成的圆弧的长为l，则r＝1，l＝，所以对应的圆心角α＝＝＝2π＋.所以点Q在第一象限，设Q（x，y），由任意角的三角函数定义，可得x＝cos＝，y＝sin＝.所以点Q的坐标为. 13.2　解析：∵y＝3x且sin α＜0，∴点P（m，n）位于y＝3x在第三象限的图象上，∴m＜0，n＜0，n＝3m.∴｜OP｜＝＝｜m｜＝－m＝，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2. 14.解：当角α的终边在射线y＝－x（x＞0）上时，取终边上一点P（4，－3）， 所以点P到坐标原点的距离r＝｜OP｜＝5， 所以sin α＝＝＝－，cos α＝＝， 所以sin α－3cos α＝－－＝－3， 当角α的终边在射线y＝－x（x＜0）上时，取终边上一点P'（－4，3）， 所以点P'到坐标原点的距离r＝｜OP'｜＝5， 所以sin α＝＝，cos α＝＝－， 所以sin α－3cos α＝－3×＝3. 所以sin α－3cos α＝±3. 15.B　由正弦函数和余弦函数的定义及单位圆的性质易知，若A为锐角，则sin A＋cos A＞1；若A为直角，则sin A＋cos A＝1.而本题中sin A＋cos A＝＜1，从而A必为钝角.故△ABC是钝角三角形. 16.解：∵函数y＝logax（a＞0且a≠1）的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到y＝loga（x－3）＋2（a＞0且a≠1）的图象，∴P（4，2）.又角α的终边过点P，∴sin α＝＝，cos α＝＝，则sin α＋2cos α＝＋2×＝. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $