第1章 4.3 诱导公式与对称(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

4.3　诱导公式与对称 1.sin＝（　　） A. B.－ C. D.－ 2.sin 240°＋cos（－150°）＝（　　） A.－ B.－1 C.1 D. 3.若sin（θ＋2π）＜0，cos（θ－π）＞0，则θ为（　　） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 4.如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是（　　） A.cos α＝cos β B.cos α＝－cos β C.sin α＝－sin β D.sin α＝－cos β 5.〔多选〕下列三角函数式的值为负的是（　　） A.cos 210° B.sin C.sin D.cos（－1 920°） 6.〔多选〕已知n∈Z，则下列三角函数中，与sin 的值相同的是（　　） A.sin B.cos C.sin D.cos 7.计算：cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝　　　　. 8.若cos（π＋α）＝－，π＜α＜2π，则cos（α－2π）＝　　　　. 9.如果A为△ABC的内角，sin（π＋A）＝－，那么cos（π－A）＝　　　　. 10.化简下列各式： （1）sincos π； （2）sin（－960°）cos 1 470°－cos 240°sin（－210°）. 11.〔多选〕在平面直角坐标系中，若α与β的终边关于y轴对称，则下列等式恒成立的是 （　　） A.sin（α＋π）＝sin β B.sin（α－π）＝sin β C.sin（2π－α）＝－sin β D.sin（2π＋α）＝sin β 12.〔多选〕在△ABC中，给出下列四个式子，其中为常数的是（　　） A.sin（A＋B）＋sin C B.cos（A＋B）＋cos C C.sin（2A＋2B）＋sin 2C D.cos（2A＋2B）＋cos 2C 13.已知函数f（x）＝sin 2x，若存在非零实数a，b，使得f（x＋a）＝bf（x）对任意x∈R都成立，则满足条件的一组值可以是a＝　　　　，b＝　　　　.（只需写出一组） 14.在直角坐标系中，角α的终边与单位圆相交于点P，求的值. 15.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来.数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串，重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”.若把这个数字设为a，则cos （＋）＝（　　） A. B.－ C. D.－ 16.已知f（x）＝（n∈Z）. （1）化简f（x）的表达式； （2）求f. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3　诱导公式与对称 1.D　由题意可得sin＝－sin ＝－. 2.A　sin 240°＋cos（－150°）＝sin（180°＋60°）＋cos（180°－30°）＝－sin 60°－cos 30°＝－－＝－. 3.C　∵sin（θ＋2π）＝sin θ＜0，cos（θ－π）＝cos（π－θ）＝－cos θ＞0，∴cos θ＜0，∴θ为第三象限角. 4.B　对于A、B选项，因为α＋β＝180°，所以α＝180°－β.cos α＝cos（180°－β）＝－cos β，故A选项错误，B选项正确；对于C选项，sin α＝sin（180°－β）＝sin β，故C选项错误；对于D选项，由于sin α＝sin β，所以sin α＝－cos β不一定成立，故D选项错误. 5.AD　A.cos 210°＝cos（180°＋30°）＝－cos 30°＝－＜0.B.sin ＝sin＝sin ＝sin＝sin ＝＞0.C.sin＝－sin＝－sin ＝－sin（π＋）＝sin ＝＞0.D.cos（－1 920°）＝cos 1 920°＝cos（5×360°＋120°）＝cos 120°＝cos（180°－60°）＝－cos 60°＝－＜0. 6.BC　对于A，当n＝2k，k∈Z时，sin＝sin＝sin π＝sin＝－sin ，所以A错误，对于B，cos＝cos ＝＝sin ，所以B正确，对于C，sin（2nπ＋）＝sin ，所以C正确，对于D，cos＝cos（2nπ＋π－）＝cos＝－cos ＝－＝－sin ，所以D错误，故选B、C. 7.0　解析：原式＝（cos＋cos）＋（cos＋cos）＋（cos＋cos）＝［cos＋cos（π－）］＋［cos＋cos（π－）］＋［cos＋cos（π－）］＝（cos－cos）＋（cos－cos）＋（cos－cos）＝0. 8.　解析：由cos（π＋α）＝－，得cos α＝，故cos（α－2π）＝cos α＝. 9.±　解析：因为sin（π＋A）＝－，所以－sin A＝－，即sin A＝，又A为△ABC的内角，即0＜A＜π，所以A＝或A＝.因为cos（π－A）＝－cos A，cos A＝或cos A＝－，所以cos（π－A）＝－或cos（π－A）＝. 10.解：（1）sincos π ＝－sincos ＝sin cos ＝. （2）sin（－960°）cos 1 470°－cos 240°·sin（－210°）＝－sin（180°＋60°＋2×360°）·cos（30°＋4×360°）＋cos（180°＋60°）·sin（180°＋30°）＝sin 60°cos 30°＋cos 60°·sin 30°＝1. 11.CD　因为α与β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝π＋2kπ（k∈Z），sin β＝sin（2kπ＋π－α）＝sin α，sin（α＋π）＝－sin α，则sin（α＋π）＝sin β不恒成立，A错误；sin（α－π）＝－sin α，则sin（α－π）＝sin β不恒成立，B错误；sin（2π－α）＝－sin α，则sin（2π－α）＝－sin β恒成立，C正确；sin（2π＋α）＝sin α，则sin（2π＋α）＝sin β恒成立，D正确. 12.BC　A项，sin（A＋B）＋sin C＝2sin C；B项，cos（A＋B）＋cos C＝－cos C＋cos C＝0；C项，sin（2A＋2B）＋sin 2C＝sin[2（A＋B）]＋sin 2C＝sin[2（π－C）]＋sin 2C＝sin（2π－2C）＋sin 2C＝－sin 2C＋sin 2C＝0；D项，cos（2A＋2B）＋cos 2C＝cos[2（A＋B）]＋cos 2C＝cos[2（π－C）]＋cos 2C＝cos（2π－2C）＋cos 2C＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C.故选B、C. 13.　－1（答案不唯一）　解析：当a＝时，f＝sin（2x＋π）＝－sin 2x，即b＝－1，故当a＝，b＝－1时，f（x＋a）＝bf（x）对任意x∈R都成立. 14.解：∵在直角坐标系中，角α的终边与单位圆相交于点P，由正弦函数、余弦函数的定义得cos α＝，sin α＝－， ＝ ＝＝. 15.B　根据“数字黑洞”的定义，任取数字0，第一步之后变为101，第二步之后变为123，接着变为123，再变为123，所以数字黑洞为123，即a＝123，故cos（＋）＝cos（＋）＝cos（π＋）＝－cos ＝－.故选B. 16.解：（1）当n为偶数，即n＝2k（k∈Z）时， f（x）＝ ＝ ＝ ＝sin2x； 当n为奇数，即n＝2k＋1（k∈Z）时， f（x）＝ ＝ ＝ ＝sin2x. 综上得f（x）＝sin2x. （2）由（1）知f＝sin2π ＝sin2（675π＋）＝sin2＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $