第6章 6.2 柱、锥、台的体积(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦柱、锥、台的体积计算核心知识点，系统梳理台体体积公式（V=1/3(S上+√(S上S下)+S下)h），通过特殊化（S上=S下得柱体V=Sh，S上=0得锥体V=1/3Sh）构建三者内在联系，形成完整知识脉络作为学习支架。 以爱迪生助手求灯泡容积故事引入，激发兴趣培养数学眼光，通过表格对比、关系图呈现公式逻辑联系提升逻辑推理能力，例题结合《算数书》“囷盖”、南水北调水库等实例强化数学运算。课中助教师引导探究，课后练习题帮助学生巩固应用，查漏补缺。

6.2　柱、锥、台的体积 课标要求 1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式及其三种几何体体积计算公式的内在联系（直观想象、逻辑推理、数学运算）. 2.会利用柱体、锥体、台体的体积计算公式求有关几何体的体积，并掌握求几何体体积的基本技巧（直观想象、逻辑推理、数学运算）. 　　有一次，爱迪生把一只灯泡交给他的助手阿普顿，让他计算一下这只灯泡的容积是多少.阿普顿是普林斯顿大学数学系高才生，又在德国深造了一年，数学素养相当不错.他拿着这只梨形的灯泡，打量了好半天，又特地找来皮尺， 上下量了尺寸，画出了各种示意图，还列出了一道又一道的算式.一个钟头过去了，爱迪生着急了，跑来问他算出来了没有.“正算到一半.”阿普顿慌忙回答，豆大的汗珠从他的额角上滚了下来.爱迪生十分诧异，走近一看，在阿普顿的面前，好几张白纸上写满了密密麻麻的算式.爱迪生微笑着说：“何必这么复杂呢？”阿普顿又重新调整思路，一会儿他飞快地跑进实验室，不到1分钟，没有经过任何运算，就把灯泡的容积准确地求出来了. 【问题】　你知道阿普顿是用什么方法快速准确地求得灯泡的容积的吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　柱、锥、台体的体积 几何体 体积 说明 柱体 V柱体＝Sh S为柱体的　　　，h为柱体的　　　 锥体 V锥体＝Sh S为锥体的　　　，h为锥体的　　　 台体 V台体＝（S上＋ ＋S下）h S上，S下分别为台体的　　　　　　，h为台体的　　　 　　提醒：在台体的体积公式中，如果设S上＝S下＝S，就得到柱体的体积公式V柱体＝Sh；如果设S上＝0，S下＝S，就得到锥体的体积公式V锥体＝Sh.因此，柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系，可表示为： 　　由此可见，柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）棱锥的体积等于底面面积与高之积.（　　） （2）棱台的体积可转化为两个棱锥的体积之差.（　　） （3）体积相等的棱柱与圆柱，其表面积也相等.（　　） 2.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（　　） A.π　　　B.2π　　　C.4π　　　D.8π 3.棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积为　　　　. 题型一｜柱体的体积 【例1】　（1）已知一个圆柱的侧面积等于表面积的，且其轴截面的周长是16，则该圆柱的体积是（　　） A.54π B.36π C.27π D.16π （2）正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为　　　　. 尝试解答 通性通法 　　求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高.棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个平面的距离都相等，都是高；圆柱的高是其母线长.具体问题中要能准确应用“底面”和“高”的定义去求解相关元素. 【跟踪训练】 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此正三棱柱的体积为　　　　. 题型二｜锥体的体积 【例2】　（1）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷（qūn）盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V＝L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么近似公式V＝L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（　　） A.　　 B.　　 C.　　 D. （2）正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC的体积之比为（　　） A.1∶1 B.1∶2 C.2∶1 D.3∶2 尝试解答 通性通法 常见的求几何体体积的方法 （1）公式法：直接代入公式求解； （2）等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可； （3）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积； （4）补形法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. 【跟踪训练】 1.“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为V1，V2，V3，则下列选项正确的是（　　） A.V1＋V2＋V3＝V B.V1＝2V2 C.V2＝3V3 D.V3＝V 2.在底面半径为1的圆锥中，若该圆锥侧面展开图的面积是2π，则该圆锥的体积为（　　） A. B. C. D. 题型三｜台体的体积 【例3】　（1） 如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是（　　） A. B. C. D. （2）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为（≈2.65）（　　） A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3 C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3 尝试解答 通性通法 　　计算台体体积的关键是求出上、下底面面积及高.在求解相关量时，应充分利用台体中有关的直角梯形、直角三角形.另外，台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算. 【跟踪训练】 设圆台的高为3，其轴截面（过圆台轴的截面）如图所示，母线A1A与底面圆的直径AB的夹角为60°，在轴截面中，A1B⊥A1A，求圆台的体积V. 1.交通锥，又称雪糕筒，是一种交通隔离警戒设施.如图，某圆锥体交通锥的高为12，侧面积为65π，则该圆锥体交通锥的体积约为（　　） A.25π B.75π C.100π D.300π 2.已知圆台上、下底面的半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为（　　） A.2π B.π C.π D.3π 3.设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为（　　） A.6 B. C.2 D.2 4.已知正六棱柱的侧面积为72 cm2，高为6 cm，那么它的体积为　　　　 cm3. 5.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，则该多面体的体积为　　　　. 提示：完成课后作业　第六章　§6　6.2 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2　柱、锥、台的体积 【基础落实】 知识点 底面积　高　底面积　高　上、下底面积　高 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）× 2.B　设圆柱底面半径为r，则母线长为2r，于是得2πr·2r＝4π，∴r＝1，∴圆柱的体积V＝πr2·2r＝2π. 3.6＋2　解析：V棱台＝×（2＋4＋）×3＝×3×（6＋2）＝6＋2. 【典例研析】 【例1】　（1）D　（2）4或　解析：（1）设圆柱的底面半径为R，高为h.因为圆柱的侧面积等于表面积的，且其轴截面的周长是16，所以解得 所以圆柱的体积为V＝πR2h＝16π.故选D. （2）因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，所以有以下两种情况：当6是下底面的周长，4是正三棱柱的高时，体积V＝2×××4＝4；当4是下底面的周长，6是正三棱柱的高时，体积V＝×××6＝. 跟踪训练 　8　解析：设AC＝a，CC1＝b，由题意易知△BC1D为等腰直角三角形，则×2＝a2＋b2，解得b2＝2a2，又△BC1D是面积为6的直角三角形，则＝×a2＝6，所以a2＝8，故此正三棱柱的体积为a2×b＝×8×＝8. 【例2】　（1）C　（2）C　解析：（1）设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L＝2πr，∴πr2h＝（2πr）2h，∴π＝. （2）如图所示，设正六棱锥的高为h，VD-GAC＝VG-DAC＝S△ADC·，VP-GAC＝VG-APC＝VB-APC＝VP-ABC＝VG-ABC＝S△ABC·. 又S△ADC∶S△ABC＝2∶1，∴VD-GAC∶VP-GAC＝2∶1. 跟踪训练 1.D　设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，V＝abc，则V1＝＝abc，V2＝abc，V3＝×·abc＝abc，故V1＋V2＋V3＝abc＝V，V1＝V2，V2＝2V3，V3＝V.故选D. 2.B　设圆锥的母线长为l，由底面半径r＝1，πrl＝2π，解得l＝2， 所以圆锥的高为h＝＝＝，V圆锥＝πr2h＝π×12×＝.故选B. 【例3】　（1）B　（2）C　解析：（1）如图，设上底面的半径为r， 下底面的半径为R，高为h，母线长为l，则2πr＝π×1，2πR＝π×2，解得r＝，R＝1，l＝2－1＝1，h＝＝＝，则上底面的面积为S'＝π×（）2＝，下底面的面积为S＝π×12＝π，圆台的体积为（S＋S'＋）h＝×（π＋＋）×＝.故选B. （2）如图，由已知得该棱台的高为157.5－148.5＝9（m），所以该棱台的体积V＝×9×（140＋＋180）×106＝60×（16＋3）×106≈60×（16＋3×2.65）×106＝1.437×109≈1.4×109 （m3）.故选C. 跟踪训练 解：如图，设AB的中点为O，连接A1O， 作A1D⊥AB于点D，易知A1D＝3，因为A1B⊥A1A， 则在Rt△A1AB中，A1O＝AB＝AO. 又因为∠A1AB＝60°，所以△A1AO为等边三角形. 所以在△A1AO中，A1D＝AO＝3，得AO＝2. 设圆台的上、下底面半径分别为r，R. 所以R＝AO＝2，r＝A1B1＝OB＝AO＝DO＝. 由V＝π×3×（12＋2×＋3）＝π×（12＋6＋3）＝21π. 故圆台体积为21π. 随堂检测 1.C　设该圆锥体交通锥的底面半径为r，则πr·＝65π，解得r＝5，所以该圆锥体交通锥的体积为＝100π.故选C. 2.B　由题意，r＝1，R＝2，h＝1，则该圆台的体积V＝πh（R2＋r2＋Rr）＝π×1×（1＋4＋2）＝π.故选B. 3.B　由底面边长为1和侧棱长为，可知高h＝2.又因为底面积S＝，所以体积V＝Sh＝××2＝. 4.36　解析：设正六棱柱的底面边长为x cm，由题意得6x×6＝72，所以x＝2，所以该正六棱柱的体积V＝×22×6×6＝36（cm3）. 5.20　解析：如图，连接EB，EC，AC.V四棱锥E-ABCD＝×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱锥F-EBC＝V三棱锥C-EFB＝V三棱锥C-ABE＝V三棱锥E-ABC＝×V四棱锥E-ABCD＝4.∴多面体的体积V＝V四棱锥E-ABCD＋V三棱锥F-EBC＝16＋4＝20. 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $