第6章 5.1 第2课时 直线与平面垂直的判定(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦直线与平面垂直的判定定理这一核心知识点，前承直线与平面位置关系，后为面面垂直等内容奠定基础。通过木工检查木棒垂直的实例导入，结合定理的文字、符号、图形语言呈现及常用结论补充，搭建从具体到抽象的学习支架。 该资料以现实情境激发兴趣，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识。题型分层设计（理解、判定、应用、综合）强化逻辑推理，提升数学思维能力。课中例题与跟踪训练辅助教师高效授课，课后作业助力学生巩固知识，查漏补缺。

第二课时　直线与平面垂直的判定 【基础落实】 知识点 两条相交　a∩b 自我诊断 1.（1）×　（2）× 2.B　由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB. 3.a，b相交　解析：由线面垂直的判定定理可知，需添加的一个条件是直线a，b相交. 【典例研析】 【例1】　②　解析：②中给定条件所对应的两条直线一定相交，能保证所给直线与平面垂直.而①中梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，③中正六边形的两边可能是互相平行的两边，不满足定理条件（两条相交直线）. 跟踪训练 　C　∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC. 【例2】　证明： ∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点， ∴SD⊥AC. 如图，连接BD，在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD， ∴△ADS≌△BDS， ∴∠ADS＝∠BDS， ∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D， ∴SD⊥平面ABC. 母题探究 解：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，∴BD⊥AC. 又由例题知SD⊥BD. 于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线， 故BD⊥平面SAC. 跟踪训练 　证明：∵AA1⊥底面ABC， 平面A1B1C1∥平面ABC， ∴AA1⊥平面A1B1C1， ∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°， ∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1＝A1， ∴A1C1⊥平面AA1B1B. 又AD⊂平面AA1B1B， ∴A1C1⊥AD. 由已知计算得AD＝，A1D＝，AA1＝2.∴AD2＋A1D2＝A，∴A1D⊥AD. ∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1. 【例3】　证明： 如图，由题意作PO，PA分别是α的垂线、斜线，OA是PA在α内的射影，b⊂α，且b⊥OA. ∵PO⊥α，b⊂α，∴PO⊥b. 又∵b⊥OA，PO∩OA＝O，PO⊂平面POA，OA⊂平面POA， ∴b⊥平面POA. 又∵PA⊂平面POA，∴b⊥PA. 跟踪训练 　4　解析：由题意知，△PAC，△PAB，△ACB是直角三角形.因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC.所以△PCB是直角三角形.所以共有4个直角三角形. 【例4】　证明：（1） 如图，连接A1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1， ∴CC1⊥B1D1. ∵四边形A1B1C1D1是正方形， ∴A1C1⊥B1D1. ∵CC1∩A1C1＝C1，CC1⊂平面A1C1C，A1C1⊂平面A1C1C，∴B1D1⊥平面A1C1C. ∵A1C⊂平面A1C1C，∴A1C⊥B1D1. （2）如图，连接B1A，AD1.∵B1C1􀱀AD， ∴四边形ADC1B1为平行四边形， ∴C1D∥B1A. ∵MN⊥C1D，∴MN⊥AB1. 又∵MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1， AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，∴MN⊥平面AB1D1. 由（1）知A1C⊥B1D1. 同理可得A1C⊥AB1. 又∵AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，∴A1C⊥平面AB1D1.∴MN∥A1C. 跟踪训练 证明：如图，设A在平面BCD上的射影为O，连接BO，CO，DO. ∵CD⊥AB，CD⊥AO，AB∩AO＝A， ∴CD⊥平面ABO. 又BO⊂平面ABO，∴BO⊥CD. 同理，DO⊥BC. 因此，O是△BCD的垂心，因此有CO⊥BD. ∵BD⊥CO，BD⊥AO，CO∩AO＝O， ∴BD⊥平面AOC. 又AC⊂平面AOC，∴BD⊥AC. 随堂检测 1.D　m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，则m与α可能平行或m⊂α，故A错误；m⊥b，b∥α，则m与α可能平行或相交或m⊂α，故B错误；m∩b＝A，b⊥α，则m与α可能平行或相交或m⊂α，故C错误；由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确.故选D. 2.B　和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，如图所示.当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件.故选B. 3.BCD　由正方体的平面展开图还原正方体如图所示，由正方体的结构特征可知，BF与CD异面垂直，所以A错误；DG⊥CH，而CH为BH在平面DCGH上的射影，所以DG⊥BH，所以B正确；连接AH，由AB∥GH，AB＝GH，可得四边形ABGH为平行四边形，则AH∥BG，所以∠AHC或其补角为异面直线CH与BG的夹角，连接AC，可得△AHC为等边三角形，得CH与BG的夹角为60°，所以C正确；因为AE⊥平面ABCD，所以∠EBA为BE与平面ABCD的夹角，为45°，所以D正确；故选B、C、D. 4.菱形　解析：易知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD一定是菱形. 5.证明：因为E，F分别是棱B1C1，B1B的中点，令CF∩BE＝O. 在Rt△BB1E和Rt△CBF中，BB1＝BC，B1E＝BF，所以Rt△BB1E≌Rt△CBF，所以∠B1BE＝∠BCF， 因为∠B1BE＋∠EBC＝90°，所以∠BCF＋∠EBC＝90°， 所以∠BOC＝90°，即CF⊥BE， 又因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面BCC1B1，CF⊂平面BCC1B1， 所以AB⊥CF，又AB∩BE＝B，AB，BE⊂平面EAB， 所以CF⊥平面EAB. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　直线与平面垂直的判定 课标要求 1.归纳出直线与平面垂直的判定定理（逻辑推理）. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理与性质定理的综合运用（逻辑推理）. 木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但不是相反的方向）检查两次，如图.如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直. 【问题】　（1）用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？ （2）上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　直线与平面垂直的判定定理 文字 语言 如果一条直线与一个平面内的　　　　直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号 语言 a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，　　　＝A⇒l⊥α 图形 语言 　　提醒：判定直线与平面垂直的常用结论：①若两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面.符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面.符号表示：α∥β，a⊥α⇒a⊥β. 　　 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若a⊥b，b⊥α，则a∥α.（　　） （2）若直线l与平面四边形的两边所在的直线垂直，则l就和这个平面垂直.（　　） 2.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是（　　） A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定 3.已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是　　　　. 　　 题型一｜对直线与平面垂直的判定定理的理解 【例1】　若一条直线垂直于一个平面内的　　　（填下列序号），能保证该直线与该平面垂直. ①梯形的两边；②圆的两条直径；③正六边形的两边. 尝试解答 通性通法 1.该定理有五个条件：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b，这五个条件缺一不可. 2.“两条相交直线”是定理的关键词，应用定理时不能忽略. 【跟踪训练】 若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（　　） A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC 题型二｜直线与平面垂直的判定 【例2】　如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.求证：直线SD⊥平面ABC. 尝试解答 【母题探究】 （变条件，变设问）在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平面SAC的位置关系是什么？ 通性通法 线线垂直和线面垂直的相互转化 【跟踪训练】 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点.求证：AD⊥平面A1DC1. 题型三｜线面垂直判定的应用 【例3】　求证：如果平面内的一条直线和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么这条直线也和这条斜线垂直. 尝试解答 通性通法 　　本例中的命题称为“三垂线定理”，他提供了由线线垂直证线线垂直的转化思路，同时该命题的逆命题：“如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影”也成立. 【跟踪训练】 　如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为　　　　. 题型四｜线面垂直的判定定理、性质定理的综合应用 【例4】　如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. （1）求证：A1C⊥B1D1； （2）M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D.求证：MN∥A1C. 尝试解答 通性通法 1.要证线线垂直，可以通过线面垂直得到. 2.要证线线平行，可以考虑运用线面垂直的性质定理. 提醒：垂直关系的转化和平行关系的转化是立体几何中的重点内容，同时也是高考考查的重要数学思想. 【跟踪训练】 　在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AD⊥BC，求证：BD⊥AC. 1.已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是（　　） A.m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B.m⊥b，b∥α C.m∩b＝A，b⊥α D.m∥b，b⊥α 2.设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有（　　） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 3.〔多选〕如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（　　） A.BF∥CD B.DG⊥BH C.CH与BG的夹角为60° D.BE与平面ABCD的夹角为45° 4.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是　　　　. 5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，B1B的中点，求证：CF⊥平面EAB. 提示：完成课后作业　第六章　§5　5.1　第二课时 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $