第6章 5.1 第1课时 直线与平面垂直的性质-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线与平面垂直的性质，涵盖定义、性质定理、线面角及距离等核心知识点。通过情境导入的两个问题，衔接线面垂直判定，搭建从判定到性质的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以问题驱动情境导入，结合数学抽象与逻辑推理，通过典例研析总结通性通法，如线面角“作-证-算”步骤。融入生活情境和传统文化案例，培养直观想象与逻辑推理能力，学生能深化理解，教师可依托分层训练实施高效教学。

第一课时　直线与平面垂直的性质 1 1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系（数学抽象）. 2.归纳出直线与平面垂直的性质定理（逻辑推理）. 3.了解直线与平面所成的角，点（线）面间的距离（直观想象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 【问题】　（1）如果直线a垂直于一个平面α，直线b与直线a平行，那么 直线b与平面α是否垂直？猜测结果并说明理由； （2）如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位 置关系？猜测结果并说明理由. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　直线与平面垂直的定义 定义 一般地，如果直线l与平面α内的 直线都垂直，称 直线l与平面α垂直 记法 ⁠ 有关概 念 直线l称为平面α的 ，平面α称为直线l的 ，它 们唯一的公共点P称为 ⁠ 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边 形的一边 ⁠ 任何一条　 l⊥α 垂线　 垂面　 垂足 垂直 数学·必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的 线段称为这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度称为这个点到该平面的 距离. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 空间两条直线垂直一定相交吗？ 提示：不一定相交，空间两条直线垂直分为两种情况：一种是相交垂直， 一种是异面垂直. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线 ⁠ 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 平行　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 垂直于同一平面的两条直线一定共面吗？ 提示：共面，由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定 一个平面. 知识点三　直线到平面的距离 如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这 条直线到这个平面的距离. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点四　直线与平面的夹角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面α ，但不与这个平 面 ，这条直线称为这个平面的斜线 斜足 斜线与平面的 A称为斜足 投影 过斜线上斜足以外的一点P向平面 ，过 垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的 投影 相交　 垂直　 交点　 作垂线　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 直线与 平面所 成的角 定义：平面的一条斜线与它在平面上的 所成的锐角， 叫作这条直线与这个平面的夹角. 规定：一条直线垂直于平面，我们说它们的夹角是 ⁠； 一条直线与平面平行，或在平面内，就说它们的夹角 是 ⁠ 投影　 直角　 0°　 　　提醒：（1）直线与平面的夹角是通过线线角来刻画的；（2）直线 （斜线）与平面内的直线的夹角是不唯一的，而斜线与它在平面上的投影 的夹角是唯一的，也是斜线与平面内的直线的夹角中最小的一个. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 直线与平面的夹角θ的范围是什么？ 提示：0°≤θ≤90°. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α. （　×　） （2）直线与平面的夹角为α，则0°＜α≤90°. （　×　） （3）如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所 有直线. （　√　） × × √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能（　　） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直 解析：假设l∥m，由l⊄α，m⊂α，得l∥α，这与已知l⊥α矛盾，所以直线l与m不可能平行.易得l与m可能相交，也可能异面，且l一定垂直于m. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 线段AB在平面α的同侧，点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点 到α的距离为 ⁠. 解析：如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作 垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可 知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1 ＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4. 4 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜直线与平面垂直的概念辨析 【例1】　下列命题中，正确的序号是 ⁠. ①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正 确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正 确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确. ③④ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实 际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时， 该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个 平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直. 2. 由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　） A. 若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B. 若l⊥α，l∥m，则m⊥α C. 若l∥α，m⊂α，则l∥m D. 若l∥α，m∥α，则l∥m √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，若l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线夹角的定义知，m与平面α内任意一条直线的夹角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜直线与平面垂直的性质定理的理解及应用 角度1　线面垂直性质定理的理解 【例2】　已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下 列命题： ① ⇒n∥α；② ⇒m∥n； ③ ⇒α∥β；④ ⇒m∥n， 其中正确命题的序号是（　　） A. ②③ B. ③④ C. ①② D. ①②③④ √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　①中n，α可能平行或n在平面α内；②③正确；④两直线m，n 平行或异面，故选A. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 直线与平面垂直的性质定理的实质：给出了一种证明两直线平行的方 法，揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直” 与“平行”关系转化的依据. 2. 直线与平面垂直的其他性质和结论：（1）垂直于同一条直线的两个平 面互相平行；（2）如果一条直线和一个平面垂直，那么它与这个平面的 平行线垂直；（3）如果平面外一条直线垂直于该平面的一条垂线，那么 这条直线平行于这个平面. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 角度2　线面垂直性质定理的应用 【例3】　如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝2DC，F是EB的中点，求证：DF∥平面ABC. 证明：如图，取AB的中点G，连接CG，FG. ∵F是EB的中点，∴FG􀱀 AE. ∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，∴EA∥DC. ∵EA＝2DC，∴DC􀱀 EA，∴DC􀱀FG， ∴四边形CDFG是平行四边形，∴DF∥CG. ∵CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC， ∴DF∥平面ABC. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 判定两条直线平行的常用方法 （1）利用线线平行定义：证共面且无公共点； （2）利用三线平行公理：证两直线同时平行于第三条直线； （3）利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行； （4）利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直； （5）利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题： ①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则 m⊥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β，且 α⊥β，则m∥n. 其中真命题的序号是（　　） A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 解析：　①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相 交，所以①④错误. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，求CE的 长度. 解：因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE且AF＝DE. 因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD. 所以DE⊥DC. 因为AF＝2，所以DE＝2. 又CD＝3，所以CE＝ ＝ ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜直线与平面的夹角 【例4】　三棱锥S-ABC的所有棱长都相等且为a，求SA与底面ABC夹角 的余弦值. 解：如图，过S作SO⊥平面ABC于点O，连接AO， BO，CO. 则SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥CO. ∵SA＝SB＝SC＝a， ∴△SOA≌△SOB≌△SOC， ∴AO＝BO＝CO， ∴O为△ABC的外心. ∵△ABC为正三角形，∴O为△ABC的中心. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 ∵SO⊥平面ABC，∴∠SAO即为SA与平面ABC的夹角. 在Rt△SAO中，SA＝a，AO＝ × a＝ a， ∴ cos ∠SAO＝ ＝ ，∴SA与底面ABC夹角的余弦值为 . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 求斜线与平面夹角的步骤 （1）作角：作（或找）出斜线在平面上的投影，将空间角（斜线与平面 的夹角）转化为平面角（两条相交直线的夹角），作投影要过斜线上一点 作平面的垂线，再过垂足和斜足（有时可以是两垂足）作直线； （2）证明：证明某平面角就是斜线与平面的夹角； （3）计算：通常在垂线段、斜线和投影所组成的直角三角形中计算. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 如图所示，若斜线段AB的长度是它在平面α上的投影BO的2倍，则AB与 平面α的夹角是（　　） A. 60° B. 45° C. 30° D. 120° 解析：　∠ABO即是斜线AB与平面α的夹角，在Rt△AOB中，AB＝ 2BO，所以 cos ∠ABO＝ ，即∠ABO＝60°. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型四｜空间点（线）面间的距离 【例5】　如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面 ABCD的夹角为60°，则A1C1到底面ABCD的距离为（　　） A. B. 1 C. D. √ 解析：　正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1C1∥平面ABCD，则A1C1到 平面ABCD的距离即为正四棱柱的侧棱长.由∠B1AB＝60°及AB＝1，知 侧棱长为 ，故选D. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 求点到平面的距离的两种方法 （1）构造法：根据定义构造垂直于平面的直线，确定垂足位置，将所求 线段化归到三角形中求解； （2）等积变换法：将所求距离看作某个几何体的高，利用体积相等建立 方程求解. 无论是求直线与平面的距离还是求平面与平面的距离，最终都转化为点到 平面的距离. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中求出下列距离： （1）点A到平面BB1D1D的距离； 解：连接AC（图略），易证AC⊥平面BB1D1D，所以点A到平面BB1D1D的距离为面对角线AC的 ，即 a. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）点C到平面BDC1的距离. 解：设点C到平面BDC1的距离为h，三棱锥C- BDC1的体积为V，在△BDC1中，BD＝DC1＝BC1＝ a，则△BDC1的面积为 ×（ a）2＝ a2，由等体积 法可得V＝ × ×a×a×a＝ × a2×h， 解得h＝ a.所以点C到平面BDC1的距离为 a. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则（　　） A. b⊥α B. b⊂α C. b∥α D. b∥α或b⊂α 解析：　当b⊂α时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时，a⊥α，则a⊥b；当 b与α相交时，a⊥α，则a与b不垂直.因为直线a⊥b，且a⊥α，所以 b∥α或b⊂α，故选D. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 37 2. 在空间中，到一圆周上各点距离相等的点的集合表示的图形是（　　） A. 一个点 B. 一条直线 C. 一个平面 D. 一个球面 解析：过圆的圆心作此圆所在平面的垂线，则垂线上的点到圆周的各点距离相等，所以到一圆周上各点距离相等的点的集合是一条直线.故选B. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知直线l∩平面α于点O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB. 若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝ （　　） A. 2 B. 1 C. D. 解析：　如图，因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以 AC∥BD. 连接OD，所以 ＝ .因为OA＝AB，所以 ＝ .因为AC＝1，所以BD＝2.故选A. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 〔多选〕在空间中，下列说法正确的有（　　） A. 平行于同一直线的两直线平行 B. 垂直于同一直线的两直线平行 C. 平行于同一平面的两直线平行 D. 垂直于同一平面的两直线平行 解析：A是基本事实4，正确；垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交、异面，B错误；平行于同一个平面的两条直线可以平行、相交、异面，C错误；D是线面垂直的性质定理，正确. √ √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝ ，BC＝AA1＝1，则BD1与平 面A1B1C1D1夹角的大小为 ⁠. 解析：如图所示，连接B1D1，则B1D1是BD1在平面 A1B1C1D1上的投影，则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所 成的角.在Rt△BD1B1中，tan∠BD1B1＝ ＝ ＝ ， 则∠BD1B1＝30°. 30° 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下 列四个命题： ①若l⊥m，m⊥n，则l∥n； ②若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n； ③若m∥α，n∥β，α⊥β，则m∥n； ④若l与α，β的夹角相等，且m⊥α，n⊥β，则l与m，n的夹角相等. 其中为真命题的是（　　） A. ①和② B. ①和③ C. ②和④ D. ①和④ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　若l⊥m，m⊥n，则l，n可能平行、相交或异面，①错误；若 m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β，所以m∥n，②正确；若m∥α， n∥β，α⊥β，则m，n可能平行、相交或异面，③错误；由线面角的定义 可知④正确.所以真命题的序号是②和④，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝4，BC＝2，BB1＝3， 则点B到上底面A1B1C1D1的距离为（　　） A. 4 B. 2 C. 2 D. 3 解析：　∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1的长即为点B到平面A1B1C1D1 的距离，又∵BB1＝3，∴选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α外，AB⊂α，AC，BC与平面α所成 的角分别为45°，30°，AB＝ ，则点C到平面α的距离为（　　） A. B. 2 C. 1 D. 2 解析：　如图，过C作CH⊥α于H，连接AH，BH，则 ∠CAH＝45°，∠CBH＝30°.在Rt△CHA和Rt△CHB 中，AC＝ ＝ CH，BC＝ ＝2CH. 在 Rt△ACB中，AC2＋BC2＝AB2，即2CH2＋4CH2＝6，得 CH＝1，即点C到平面α的距离为1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所 成的角为（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 解析：　设正四棱锥P-ABCD的侧棱长为1，连接底面对角线AC，则AC ＝ ，易知△PAC为等腰直角三角形.设AC的中点为O ，由P-ABCD为 正四棱锥知，PO⊥底面ABCD，即∠PAC为所求角，为45°.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 已知Rt△EFG的直角顶点E在平面α内，斜边FG∥α，且FG＝6 cm， EF，EG与平面α的夹角分别为30°和45°，则FG到平面α的距离是（　） A. cm B. cm C. 2 cm D. 2 cm 解析：　如图所示，过F，G分别作FA⊥α，GB⊥α，A，B分别为垂足，连接AE，EB，在Rt△FAE中，FE＝2FA，在Rt△GBE中，EG＝ BG. 设FG到平面α的距离为d，则d＝FA＝GB. 在Rt△FEG中，EF2＋EG2＝36，即4d2＋2d2＝36，d2＝6，所以d＝ cm. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作，其下阕 为“墙里秋千墙外道.墙外行人，墙里佳人笑.笑渐不闻声渐悄.多情却被 无情恼.”假如将墙面看作一个平面，墙外的道路、墙里秋千绳和秋千板 简单看作直线，道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂 直，秋千绳与墙面线面平行.那么佳人在荡秋千的过程中（　　） A. 秋千绳与墙面始终平行 B. 秋千绳与道路始终垂直 C. 秋千板与墙面始终垂直 D. 秋千板与道路始终垂直 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：由“秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行”可大致想象秋千的放置位置，显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路的夹角在不断变化.秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 如果两直线a，b与平面α所成的角相等，则a，b的位置关系为 ⁠ ⁠. 解析：构造几何模型正方体ABCD-A1B1C1D1，其中a，b，a'，b'与平面α 夹角都为45°，a∩b＝B，a'∥b，a'与b'异面. 相 交、平行、异面均有可能 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 已知A，B两点在平面α的同侧，且它们与α的距离相等，则直线AB与 平面α的位置关系是 ⁠. 解析：如图，作AA'⊥α，BB'⊥α，垂足分别为A'，B'，则 AA'∥BB'.又AA'＝BB'，∴四边形ABB'A'为平行四边 形.∴AB∥A'B'.又AB⊄平面α，A'B'⊂平面α，∴AB∥α. AB∥α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 一条与平面α相交的线段，其长度为10 cm，两端点到平面的距离分别是 2 cm，3 cm，则这条线段与平面α夹角的大小是 ⁠. 解析：如图，作出AC⊥α，BD⊥α，则AC∥BD，AC， BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于O，AB ＝10，AC＝3，BD＝2，则AO＝6，BO＝4，∴∠AOC＝ ∠BOD＝30°. 30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3 cm，AB＝4 cm，AD＝ 5 cm. （1）求点A1到点C的距离； 解：如图，连接A1C，AC， ∵AA1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴AA1⊥AC， 由勾股定理，得A1C＝ ＝ ＝5 （cm）. ∴点A1到点C的距离是5 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求点A1到棱BC的距离； 解：如图，连接A1B，∵BC⊥平面ABB1A1， A1B⊂平面ABB1A1， ∴A1B⊥BC. ∴A1B就是点A1到棱BC的距离， A1B＝ ＝ ＝5（cm）. ∴点A1到棱BC的距离是5 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）求棱A1B1到平面ABCD的距离. 解：显然棱A1B1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD， ∴A1A就是棱A1B1到平面ABCD的距离， ∵A1A＝3 cm，∴棱A1B1到平面ABCD的距离是3 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D⊥平面ACD1，M为棱BB1 的中点，则直线MC与平面ACD1夹角的正弦值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　如图，连接BD，设AC∩BD＝O，连接OM，因 为B1D⊥平面ACD1，且OM∥B1D，所以OM⊥平面ACD1， 所以CO即为CM在平面ACD1上的射影，所以∠MCO为MC 与平面ACD1的夹角.设正方体棱长为1，则MC＝ ＝ ，OM＝ B1D＝ ，所以 sin ∠MCO＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑（biē nào），如图所示的三棱锥P-ABC为一鳖臑，且PA⊥平面ABC，BC⊥平 面PAB，若∠PCA＝α，∠ACB＝β，∠PCB＝γ，则下列关系正确的是 （　　） A. cos γ＝ cos α· cos β B. cos α＝ cos β· cos γ C. sin γ＝ sin α－ sin β D. sin α＝ sin β－ sin γ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　因为PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，故PA⊥AC，而BC⊥平 面PAB，PB，AB⊂平面PAB，故BC⊥PB，BC⊥AB，因为∠PCA＝α， ∠ACB＝β，∠PCB＝γ，所以 cos γ＝ ， cos α＝ ， cos β＝ ，所 以 cos γ＝ cos α· cos β，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 如图，已知底面是正方形的四棱锥，一条侧棱与底面垂直，它的长与 底面边长相等，长度均为1，那么该棱锥中最长的棱长是 ⁠. 解析：如图，PC⊥平面ABCD，则PA是最长的棱，连接 AC，因为PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以 PC⊥AC，因为四边形ABCD为正方形，且边长为1，所 以AC＝ ，所以PA＝ ＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1， BB1的中点，求A1B1到平面D1EF的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：由题意知A1B1∥EF，且A1B1⊄平面D1EF，EF⊂平面D1EF，所以 A1B1∥平面D1EF，则A1B1到平面D1EF的距离为A1到平面D1EF的距离. 设A1到平面D1EF的距离为h. 易知EF⊥平面D1A1E， 所以EF⊥D1E. 连接A1F（图略）， 对于三棱锥A1-D1EF，有 ＝ ，所以 ·EF＝ ·h. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 由题意，得A1E＝ ，EF＝1，D1A1＝1，在Rt△D1A1E中，可得D1E＝ ， 所以 ＝ ×1× ＝ ， ＝ ×1× ＝ ，所以 × ×1 ＝ × h，可得h＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB， PC. （1）若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的 心； 解析：易证△POA≌△POB≌△POC，故OA＝OB＝OC，O是△ABC的外心. （2）若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的 点； 解析：由∠C＝90°，得△ABC是直角三角形，因而O是AB边的中点. 外 中 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点O是△ABC 的 心. 解析：易知PA⊥平面PBC，从而PA⊥BC. 而PO⊥平面ABC，所以PO⊥BC. 从而BC⊥平面PAO，所以BC⊥AO. 同理AC⊥BO. 所以O 为△ABC的垂心. 垂 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. （1）求D1A与底面ABCD夹角的大小； 解：因为DD1⊥底面ABCD， 所以∠D1AD是D1A与底面ABCD的夹角. 因为侧面A1ADD1是正方形， 所以∠D1AD＝45°. 即D1A与底面ABCD的夹角为45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求D1B与底面ABCD夹角的 余弦值. 解：如图，连接BD，则BD＝ a. 因为DD1⊥底面ABCD，所以∠D1BD是D1B与底面ABCD 的夹角，同时DD1⊥DB. 在Rt△D1BD中，DD1＝a，BD＝ a，D1B＝ a， 所以 cos ∠D1BD＝ ＝ ＝ . 即D1B与底面ABCD夹角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $