6.5.2 第2课时 平面与平面垂直的判定-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

第二课时　平面与平面垂直的判定　► 对应学生用书P145 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 　平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 【基点小试】 1.如图，已知空间四边形ABCD中，BC＝AC，AD＝BD，E是AB的中点，求证：平面CDE⊥平面ABC. 证明：因为BC＝AC，AD＝BD，E是AB的中点， 所以AB⊥DE，AB⊥CE， 又DE∩CE＝E，DE，CE⊂平面CDE，所以AB⊥平面CDE， 又AB⊂平面ABC，所以平面CDE⊥平面ABC. 2.求证：如果三条共点直线两两互相垂直，那么它们中每两条直线分别确定的三个平面也两两互相垂直． 证明：设直线VA，VB，VC两两垂直，即证明平面VAB，平面VBC，平面VAC两两垂直．如图所示， ∵VA⊥VB，VA⊥VC，VB∩VC＝V，VB，VC⊂平面VBC. ∴VA⊥平面VBC.∵VA⊂平面VAC， ∴平面VAC⊥平面VBC. 同理可得，平面VAC⊥平面VAB，平面VAB⊥平面VBC. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　面面垂直的证明 例1.如图所示，在四面体ABCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC. 求证：平面ABC⊥平面SBC. 解：法一（利用定义证明）　因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC， 所以△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC， 令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形． 取BC的中点D，如图所示，连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC， 所以∠ADS为二面角A­BC­S的平面角． 在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a， 所以SD＝a，BD＝＝a. 在Rt△ABD中，AD＝a， 在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2， 所以∠ADS＝90°，即二面角A­BC­S为直二面角， 故平面ABC⊥平面SBC. 法二（利用判定定理）　因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°， 所以SA＝AB＝AC， 所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心． 因为△SBC为直角三角形，所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点， 所以AD⊥平面SBC. 又因为AD⊂平面ABC， 所以平面ABC⊥平面SBC. [总结] 　证明平面与平面垂直的两种常用方法 （1）利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是： ①找出两相交平面的平面角； ②证明这个平面角是直角； ③根据定义，这两个相交平面互相垂直． （2）利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是： 【练一练】 1.已知多面体ABCDEF如图，△ABE是正三角形，BC＝2AB＝2AD＝2EF，AD⊥平面ABE，AD∥BC，AD∥EF，G，H分别是线段BC，DC上的点，BC＝4BG，DC＝4DH.求证：平面FGH⊥平面FDC. 证明：设线段BC中点为M，连接DM交GH于点O，分别连接OF，BD. 由条件可得，BM＝AD＝EF，BM∥AD，又AD∥EF， ∴三个四边形ABMD，ADFE，BMFE都是平行四边形， ∴DM＝AB，DF＝AE，MF＝BE，DM∥AB，DF∥AE. ∵△ABE是正三角形， ∴△DMF是正三角形， ∵BC＝4BG，DC＝4DH，BD∥GH. 由BC＝4BG得G是线段BM中点， ∴O是DM中点．∴FO⊥DM， ∵AD⊥平面ABE，AB⊂平面ABE，AE⊂平面ABE， ∴AD⊥AB，AD⊥AE， ∴AD⊥DM，AD⊥DF， ∵DM，DF是平面DMF内两条相交直线，∴AD⊥平面DMF， ∵FO⊂平面DMF，∴AD⊥FO， ∵AD，DM是平面ABCD内两条相交直线， ∴FO⊥平面ABCD， ∵CD⊂平面ABCD，∴FO⊥CD， ∵BC＝2AB＝2DM，∴BD⊥CD， ∴GH⊥CD， ∵FO，GH是平面FGH内两条相交直线， ∴CD⊥平面FGH， ∵CD⊂平面FDC， ∴平面FGH⊥平面FDC. 题型二　垂直关系的综合应用 例2.如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证： （1）DE＝DA； （2）平面BDM⊥平面ECA； （3）平面DEA⊥平面ECA. 证明：（1）如图，取EC的中点F，连接DF. 因为EC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EC⊥BC. 同理可得BD⊥AB， 易知DF∥BC，所以DF⊥EC. 在Rt△EFD和Rt△DBA中， 因为EF＝EC，EC＝2BD，所以EF＝BD. 又FD＝BC＝AB，所以R