第6章 3.1 3.2 第2课时 空间两直线的位置关系、基本事实4及等角定理(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦空间两直线位置关系、基本事实4及等角定理，从平面直线关系延伸至空间，通过长方体模型引入，构建“观察-抽象-应用”学习支架，涵盖异面直线概念、画法、夹角及等角定理等核心内容。 以问题链驱动数学抽象，如通过长方体中直线关系探究异面直线定义，结合例题与跟踪训练培养逻辑推理，课中助力教师引导学生从直观到理性，课后练习题与通性通法总结帮助学生查漏补缺，提升空间观念与推理能力。

第二课时　空间两直线的位置关系、基本事实4及等角定理 【基础落实】 知识点一 1.互相平行　空间平行线的传递性　2.a∥c 知识点二 1.（1）任何一个　2.有且只有一个　没有 想一想 提示：不一定，它们可能相交，可能平行，也可能异面. 知识点三 平行　相等或互补 知识点四 不大于90°　0°＜θ≤90°　90°　a⊥b 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）× 2.D　因为直线a∥平面α，所以直线a与平面α无公共点，而直线b⊂平面α，所以a与b平行或异面，所以两者无公共点.故选D. 3.45°　解析：如图，连接B'D'，则E为B'D'的中点，连接AB'，则EF∥AB'.又CD∥AB，所以∠B'AB或其补角为异面直线EF与CD的夹角，易知∠B'AB＝45°，故EF与CD夹角的大小是45°. 【典例研析】 【例1】　证明：如图所示，连接PD，PE，并延长分别交AB，BC于点M，N. 因为点D，E分别是△PAB，△PBC的重心，所以M，N分别是AB，BC的中点. 连接MN，则MN∥AC，且MN＝AC. ① 在△PMN中，因为＝＝， 所以DE∥MN，且DE＝MN. ② 由①②，根据基本事实4，得DE∥AC，且DE＝MN＝×AC＝AC. 跟踪训练 证明：如图，取B1B的中点P，连接C1P，MP. 因为N为C1C的中点， 由正方体的性质知C1N􀱀PB， 所以四边形C1PBN为平行四边形， 所以C1P􀱀BN. 又M，P分别为A1A，B1B的中点， 所以MP􀱀A1B1. 又由正方体的性质知A1B1􀱀C1D1，所以MP􀱀C1D1， 所以四边形D1MPC1为平行四边形， 所以C1P􀱀MD1.所以MD1􀱀BN， 所以四边形MBND1为平行四边形. 【例2】　证明：（1）如图 ，连接AC，在△ACD中， ∵M，N分别是CD，AD的中点， ∴MN是△ACD的中位线， ∴MN∥AC，且MN＝AC. 由正方体的性质，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1. ∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1， 即MN≠A1C1， ∴四边形MNA1C1是梯形. （2）由（1）可知，MN∥A1C1. 又ND∥A1D1，且∠DNM与∠D1A1C1的两边的方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1. 跟踪训练 　证明：因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CE∥GD1，CE＝GD1，BF∥GD1，BF＝GD1， 所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形. 所以GC∥D1E，GB∥D1F. 因为∠BGC与∠FD1E的两边方向相同， 所以∠BGC＝∠FD1E. 【例3】　证明：法一（反证法）　假设直线BC1与直线A1C不是异面直线，则直线BC1与直线A1C共面. 设直线BC1与直线A1C所在的平面为α， 则B，C，C1，A1∈α， 因为B，C，C1三点确定的平面为平面BCC1， 即平面BCC1B1， 所以平面BCC1B1为α，所以A1∈平面BCC1B1. 这与事实相矛盾，故假设不成立. 所以直线BC1与直线A1C是异面直线. 法二　因为A1∈/平面BCC1B1，C∈平面BCC1B1，C∈直线A1C， 又因为BC1⊂平面BCC1B1，且C∈/BC1， 所以直线BC1与直线A1C是异面直线. 跟踪训练 1.C　在三棱锥S-ABC中，SB，SC，AB，AC都与SA相交，只有BC与SA为异面直线.故选C. 2.D　可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，设A'D'所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体 ABCD-A'B'C'D'中的B'C'，CC'，DD'.故a和c可以平行、相交或异面.故选D. 【例4】　解：（1）与直线AB是异面直线的直线有：DD1，CC1，A1D1，B1C1. （2）连接BD1交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM. 易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD或其补角为异面直线AD1与DB1的夹角. 因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB＝BC＝1，AA1＝， AD1＝ ＝＝2， DM＝ ＝＝， DB1＝ ＝＝， 所以OM＝AD1＝1， OD＝DB1＝. 于是在△DMO中，由余弦定理，得 cos∠MOD＝＝， 即异面直线AD1与DB1夹角的余弦值为. 母题探究 解：如图，设G是AC的中点， 连接EG，FG. 因为E，F分别是AB，CD的中点，故EG∥BC，且EG＝BC＝1，FG∥AD，且FG＝AD＝1.所以∠EGF即为所求， 又EF＝，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°. 所以异面直线AD与BC的夹角为90°. 跟踪训练 解：（1）∵CG∥FB，∴∠EBF是异面直线BE与CG的夹角. 在Rt△EFB中，EF＝FB， ∴∠EBF＝45°， ∴BE与CG的夹角为45°. （2）如图，连接FH， ∵FB∥AE，FB＝AE， AE∥HD，AE＝HD， ∴FB＝HD，FB∥HD， ∴四边形FBDH是平行四边形， ∴BD∥FH， ∴∠HFO或其补角是FO与BD的夹角，连接HA，AF， 则△AFH是等边三角形， 又O是AH的中点， ∴∠HFO＝30°， ∴FO与BD的夹角为30°. 随堂检测 1.D　若两直线不平行，则可能相交，也可能异面. 2.C　若直线l与平面α没有公共点，则直线l与平面α只能平行，故充分性成立；若直线l与平面α平行，则直线l与平面α没有公共点，故必要性也成立，所以“直线l与平面α没有公共点”是“直线l与平面α平行”的充要条件.故选C. 3.ABC　由异面直线的定义知，与AA1异面的直线应为B1C1，其他选项与AA1均为平行或相交的位置关系. 4.45°　解析：连接BG（图略），则BG∥AH，所以∠BGF为异面直线AH与FG的夹角.因为四边形BCGF为正方形，所以∠BGF＝45°. 拓视野　截面（交线）问题 【例】　解：如图，连接DG，DG∩EF＝M，连接HC并延长交AB于点N，HN∩AB＝N，故M∈平面ABD且M∈平面CEF. 同理，N∈平面ABD且N∈平面CEF. 故直线MN即为平面ABD与平面CEF的交线. 迁移应用 1.6＋4　解析：如图，延长EF，交DA的延长线于点G，交DD1的延长线于点H，可得HD1＝AG＝2，连接HC1并延长，交DC的延长线于点K，可得CK＝8.因为＝，故G，B，K三点共线，则过C1，E，F三点的截面为EFBC1，周长为2＋2×2＋4＝6＋4. 2.解：连接并延长NQ交CC1的延长线于点G.因为G∈CC1，所以G∈平面AA1C1C，故连接GM交A1C1于点H，四边形QNMH即为所求截面，截面形状为梯形. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　空间两直线的位置关系、基本事实4及等角定理 课标要求 1.理解并掌握平行线的传递性、等角定理（逻辑推理）. 2.理解异面直线的概念、画法，会求异面直线所成的角（数学抽象）. 3.了解空间四边形的概念（逻辑推理）. 　　观察如图长方体，回答下面的问题： 【问题】　（1）图中直线AB与CD，直线AB与A1B是什么关系？ （2）图中直线A1B与CC1平行吗？相交吗？它们是什么关系？ （3）图中AA1∥DD1，AA1∥BB1，那么BB1与DD1平行吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　基本事实4 1.文字表述：平行于同一条直线的两条直线　　　　.这一性质通常称为　　　　. 2.符号表达：⇒　　　　. 　　提醒：基本事实4说明把平行线的传递性推广到空间也能成立，这个基本事实是判断两条直线平行的重要方法之一，其关键在于寻找联系所证两条平行直线的第三条直线. 知识点二　空间两直线的位置关系 1.异面直线的概念 （1）定义：不同在　　　　　　平面内（不共面）的两条直线； （2）异面直线的画法（衬托平面法） 如图①②所示，为了表示异面直线不共面的特点，画图时，通常用一个或两个平面衬托. （3）判断两直线为异面直线的方法 ①定义法；②两直线既不平行也不相交. 2.空间两条直线的位置关系 【想一想】 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ 知识点三　等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应　　　，那么这两个角　　　　　　　. 　　提醒：等角定理的符号语言与图形语言及作用：①图形语言：如图（ⅰ）（ⅱ）所示. 　　②符号语言：已知OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB＝∠A'O'B'或∠AOB＋∠A'O'B'＝180°；③作用：判断或证明两个角相等或互补. 知识点四　异面直线的夹角 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b 结论 我们把a'与b'所成的　　　　　的角称为异面直线a，b的夹角 范围 记异面直线a与b的夹角为θ，则　　　 特殊 情况 当θ＝　　　　时，a与b互相垂直，记作：　　　　 　　提醒：对异面直线夹角的认识：①研究异面直线的夹角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线.这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题；②异面直线夹角的大小不能是0°，若两条直线的夹角是0°，则这两条直线平行，不可能异面；③两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）没有公共点的两条直线是异面直线.（　　） （2）两直线若不是异面直线，则必相交或平行.（　　） （3）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行.（　　） （4）如果两个角的对应边互相平行，且方向都相反，则两个角互补.（　　） 2.已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则（　　） A.a∥b　　　　　　 B.a与b异面 C.a与b相交 D.a与b无公共点 3.如图所示，正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别为平面A'B'C'D'与AA'D'D的中心，则EF与CD夹角的大小是　　　　　. 题型一｜基本事实4的应用 【例1】　如图所示，点P是△ABC所在平面外一点，点D，E分别是△PAB和△PBC的重心.求证：DE∥AC，DE＝AC. 尝试解答 通性通法 证明空间两条直线平行的方法 （1）借助平面几何知识，如三角形的中位线性质、平行四边形的性质、成比例的线段平行； （2）利用基本事实4，即证明两条直线都与第三条直线平行. 【跟踪训练】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1A，C1C的中点，求证：四边形MBND1为平行四边形. 题型二｜等角定理的应用 【例2】　如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证： （1）四边形MNA1C1是梯形； （2）∠DNM＝∠D1A1C1. 尝试解答 通性通法 　　有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径 （1）利用等角定理；（2）利用三角形相似；（3）利用三角形全等. 【跟踪训练】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点.求证：∠BGC＝∠FD1E. 题型三｜异面直线的判定 【例3】　 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，证明：直线BC1与直线A1C是异面直线. 尝试解答 通性通法 判定两条直线是异面直线的方法 （1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内. （2）连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线. （3）反证法：假设两条直线不是异面直线，由此推出一个矛盾的结论. 【跟踪训练】 1.在三棱锥S-ABC中，与SA是异面直线的是（　　） A.SB B.SC C.BC D.AB 2.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（　　 ） A.平行 B.异面 C.相交 D.平行、相交或异面 题型四｜异面直线的夹角 【例4】　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝. （1）在长方体的棱所在直线中找出与直线AB是异面直线的所有直线； （2）求异面直线AD1与DB1夹角的余弦值. 尝试解答 【母题探究】（变条件）将本例变为：如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝，求异面直线AD和BC夹角的大小. 通性通法 求异面直线夹角的步骤 （1）作：根据夹角的定义，用平移法作出异面直线的夹角； （2）证：证明作出的角就是要求的角； （3）计算：求角的值，常利用解三角形得出. 可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线的夹角θ的取值范围是0°＜θ≤90°. 【跟踪训练】 如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： （1）BE与CG夹角的大小； （2）FO与BD夹角的大小. 1.不平行的两条直线的位置关系是（　　） A.相交　　　　　 B.异面 C.平行 D.相交或异面 2.“直线l与平面α没有公共点”是“直线l与平面α平行”的（　　 ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.〔多选〕如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，与AA1不是异面直线的有（　　） A.AB　B.BB1　C.DD1　D.B1C1 4.已知正方体ABCD-EFGH，则AH与FG的夹角是　　　　. 1.平行于底面的截面 （1）用一个平行于棱柱底面的平面去截棱柱得到的截面与底面全等； （2）用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥得到的截面与底面相似； （3）用一个平行于棱台底面的平面去截棱台得到的截面与两个底面都相似. 2.经过不相邻的两条侧棱的截面 （1）在棱柱中（三棱柱除外），经过不相邻的两条侧棱的截面（也称为棱柱的对角面）是平行四边形； （2）在棱锥中（三棱锥除外），经过不相邻的两条侧棱的截面是三角形.正棱锥（正三棱锥除外）的截面是等腰三角形； （3）在棱台中（三棱台除外），经过不相邻的两条侧棱的截面是梯形. 3.正方体的截面 通过尝试、归纳，有如下结论： （1）截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形； （2）截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行； （3）截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是正五边形； （4）截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形. 对应截面图形如图中各图形所示. 【问题探究】 【例】　如图，点A，B，C确定的平面与点D，E，F确定的平面相交于直线l，且AB∩l＝G，EF∩l＝H.试作出平面ABD与平面CEF的交线. 尝试解答 【迁移应用】 1.如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，则过点C1，E，F的截面的周长为　　　　. 2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N，Q分别是AA1，BB1，B1C1的中点.在图中画出过M，N，Q三点的截面，并说出截面的形状. 提示：完成课后作业　第六章 §3 3.1 3.2 第二课时 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $