第6章 3.1 3.2 第1课时 空间点、线、面的位置关系及基本事实1、2、3(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦空间点、线、面的位置关系及基本事实1、2、3，系统梳理点与直线、点与平面、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，通过图形与符号语言表示，结合基本事实及推论，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以生活实例（如三脚架支撑、直尺与白纸关系）导入，培养用数学眼光观察现实世界的能力，通过三种语言转化训练提升数学语言表达，证明题（如点线共面）强化逻辑推理的数学思维。课中辅助教师引导学生理解，课后练习题帮助学生巩固，查漏补缺。

第一课时　空间点、线、面的位置关系及基本事实1、2、3 课标要求 1.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系（数学抽象）. 2.掌握空间中点与直线、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（逻辑推理）. 3.了解基本事实1，2，3及推论1，2，3（数学抽象）. 　　 【问题】　（1）观察图①，把直尺边缘上的任意两点放在一张白纸上，直尺的边缘上的其余点和白纸有何关系？ （2）观察图②，生活中常见到这样的现象：三脚架可以牢固的支撑照相机或测量用的平板仪等，这是为什么？ （3）观察图③，把三角板的一个角立在桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间图形基本的位置关系 1.点与直线、点与平面的位置关系 位置关系 图形语言 符号语言 点与直线的 位置关系 点A在直线a外 A∉a 点B在直线a上 B∈a 点与平面的 位置关系 点A在平面α内 A∈α 点B在平面α外 B∉α 2.直线与直线的位置关系 位置关系 图形语言 符号语言 相交 不相交 3.空间中直线与平面的位置关系 位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线在平面内 有　　个公共点 直线与平面相交 有　　公共点 直线与平面平行 　　　 ⇔a∩α＝∅ 没有公共点 4.空间中平面与平面的位置关系 位置关系 图形语言 符号语言 公共点 两个平面不相交（平行） 　　　 ⇔α∩β＝∅ 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 【想一想】 在空间中不相交的两条不重合直线一定是平行直线吗？ 知识点二　三个基本事实及其推论 1.基本事实1，2，3 基本 事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 给定三点A，B，C，若A∉直线BC，则有且只有一个平面α（或平面ABC），使得A∈α，B∈α，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l，其中l表示一条直线 2.基本事实1，2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 一条直线和该直线外一点确定一个平面 点A∉a⇒a与A共面于平面α，且平面唯一 推论2 两条相交直线确定一个平面 a∩b＝P⇒a与b共面于平面α，且平面唯一 推论3 两条平行直线确定一个平面 直线a∥b⇒直线a，b共面于平面α，且平面唯一 【想一想】 1.平面与平面的公共点可以是有限个吗？ 2.三条直线两两相交最多可以确定多少个平面？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.（　　） （2）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.（　　） （3）空间不同三点确定一个平面.（　　） 2.能确定一个平面的条件是（　　） A.空间三个点　　　 B.一个点和一条直线 C.无数个点 D.两条相交直线 3.若平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是　　　　. 题型一｜立体几何三种语言的相互转化 角度1　点与直线、点与平面的位置关系 【例1】　如图，点O是长方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的中点，判断点A与直线AB，BC，CC1，C1O，平面ABCD、平面BCC1B1的位置关系，并用符号表示. 尝试解答 通性通法 　　判断点是否在直线上和是否在平面内时，要注意利用直线是无限延伸的、平面是无限延展的，同时要注意利用题目的隐含条件，例如平行四边形的对角线互相平分、棱台的棱延长后交于一点. 【跟踪训练】 如图，点O是棱台ABCD-A1B1C1D1的两条侧棱 BB1，CC1的延长线的交点，判断点O与直线BB1，BC，AA1，平面BCC1B1、平面ABCD、平面ADD1A1的位置关系，并用符号表示. 角度2　直线与直线、直线与平面的位置关系 【例2】　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断直线AB与直线BC，CD，C1D1，平面ABCD、平面BCC1B1、平面A1B1C1D1的位置关系，并用符号表示. 尝试解答 通性通法 　　直线与直线的位置关系分为相交与不相交两种；直线和平面的位置关系分为直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种，其中直线与平面相交、直线与平面平行这两种情况可以统称为直线在平面外. 【跟踪训练】 如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，判断直线AA1与直线AB，CD，BB1，平面ABCD、平面BCC1B1、平面ADD1A1的位置关系，并用符号表示. 角度3　平面与平面的位置关系 【例3】　三个平面α，β，γ，平面α，β互相平行，平面α与平面γ交于直线m，平面β与平面γ交于直线n，画出上述语句对应的图形并用符号语言表示. 尝试解答 通性通法 　　用大写字母表示平面时，例如平面ABCD，“平面”两个字一般不能省略，用希腊字母α，β等表示平面时，“平面”两个字可以省略. 【跟踪训练】 用符号语言表示下列语句，并画出图形. 三个平面α，β，γ交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC. 题型二｜证明点、线共面问题 【例4】　证明：两两相交且不过同一点的三条直线共面. 尝试解答 【母题探究】 （变条件）若把本例中的“不过同一点”删掉，这三条直线是否共面？并说明理由. 通性通法 证明点、线共面问题的常用方法 （1）先由部分点、线确定一个平面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”； （2）先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”； （3）假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”. 【跟踪训练】 如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α. 题型三｜证明三点共线问题 【例5】　已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图.求证：P，Q，R三点共线. 尝试解答 通性通法 证明三点共线的方法 （1）首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这三点都在两个平面的交线上； （2）选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上. 【跟踪训练】 　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O1是A1C1与B1D1的交点，长方体体对角线A1C交平面AB1D1于点P.求证：O1，P，A三点在同一条直线上. 题型四｜线共点问题 【例6】　如图所示，在空间四边形ABCD的各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上. 尝试解答 通性通法 证明三线共点的方法 　　证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合基本事实3，证明该点在不重合的两个平面内，即该点在两个平面的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点. 【跟踪训练】 　求证：三棱台A1B1C1-ABC三条侧棱延长后相交于一点. 1.下列关于点、线和面的关系表示错误的是（　　 ） A.点A⊂平面α　 B.直线l∩平面α＝A C.直线l⊂平面α D.平面α∩平面β＝m 2.下列命题中正确的是（　　） A.过三点确定一个平面 B.两个相交平面把空间分成四个区域 C.三条直线两两相交，则确定一个平面 D.A∈α，A∈β，则α∩β＝A 3.若平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B必在　　　　. 4.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是　　　　. 提示：完成课后作业 第六章 §3 3.1 3.2 第一课时 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ §3　空间点、直线、平面之间的位置关系 3.1　空间图形基本位置关系的认识 3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理 第一课时　空间点、线、面的位置关系及基本事实1、2、3 【基础落实】 知识点一 2.a∩l＝B　b∩l＝∅　3.a⊂α　无数　a∩α＝A　一个　a∥α　4.α∥β　α∩β＝l 想一想 提示：不一定，如正方体的棱AB与棱CC1所在直线不相交也不是平行直线. 知识点二 想一想 1.提示：不可以，由基本事实3可知平面与平面要么无公共点，要么有一条公共直线，即有无数个公共点. 2.提示：最多可以确定3个平面. 自我诊断 1.（1）×　（2）×　 （3）× 2.D 3.a∥β 【典例研析】 【例1】　解：点A在直线AB上，在直线BC，CC1外，在直线C1O上，在平面ABCD内，在平面BCC1B1外；符号表示分别是A∈AB，A∈/BC，A∈/CC1，A∈C1O，A∈平面ABCD，A∈/平面BCC1B1. 跟踪训练 解：点O在直线BB1上，在直线BC外，在直线AA1上，在平面BCC1B1内，在平面ABCD外，在平面ADD1A1内；符号表示分别是O∈BB1，O∈/BC，O∈AA1，O∈平面BCC1B1，O∈/平面ABCD，O∈平面ADD1A1. 【例2】　解：直线AB与BC相交于点B，与CD不相交，与C1D1不相交，在平面ABCD内，与平面BCC1B1相交于点B，与平面A1B1C1D1平行. 用符号表示分别为AB∩BC＝B，AB∩CD＝∅，AB∩C1D1＝∅，AB⊂平面ABCD，AB∩平面BCC1B1＝B，AB∥平面A1B1C1D1. 跟踪训练 解：如图，设棱台侧棱所在直线交点为E， 直线AA1与直线AB相交于点A，与直线CD不相交，与直线BB1相交于点E，与平面ABCD相交于点A，与平面BCC1B1相交于点E，在平面ADD1A1内. 用符号表示分别为AA1∩AB＝A， AA1∩CD＝∅， AA1∩BB1＝E，AA1∩平面ABCD＝A，AA1∩平面BCC1B1＝E，AA1⊂平面ADD1A1. 【例3】　解：图形如图所示. 用符号语言表示为α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n. 跟踪训练 解：用符号语言表示为α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.图形表示如图所示. 【例4】　解：已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线l1，l2，l3在同一平面内. 证明：法一（纳入平面法）　因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α. 因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.又l2⊂α，所以B∈α. 同理可证C∈α.因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α. 所以直线l1，l2，l3在同一平面内. 法二（辅助平面法）　因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β. 因为A∈l2，l2⊂α，所以A∈α.因为A∈l2，l2⊂β，所以A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内. 所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内. 母题探究 解：不一定共面.若三条直线两两相交，且过同一个点. 这三条直线在同一个平面内相交，如图①. 这三条直线不共面.如图②. 若三条直线两两相交，且不过同一个点，由例题可知，这三条直线共面. 跟踪训练 　证明：∵PQ∥a，∴PQ与a确定一个平面β. ∴直线a⊂β，点P∈β. ∵P∈b，b⊂α，∴P∈α. 又∵a⊂α，∴α与β重合.∴PQ⊂α. 【例5】　证明：法一　因为AB∩α＝P，所以P∈AB，P∈平面α. 又AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC. 所以由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上， 所以P，Q，R三点共线. 法二　因为AP∩AR＝A， 所以直线AP与直线AR确定平面APR. 又AB∩α＝P，AC∩α＝R， 所以平面APR∩平面α＝PR. 因为B∈平面APR，C∈平面APR，所以BC⊂平面APR. 因为Q∈BC，所以Q∈平面APR. 又Q∈α，所以Q∈PR，所以P，Q，R三点共线. 跟踪训练 证明：因为O1∈平面AB1D1，O1∈平面AA1C1C，A∈平面AB1D1，A∈平面AA1C1C， 所以平面AB1D1∩平面AA1C1C＝AO1. 又因为A1C∩平面AB1D1＝P， 所以P∈直线A1C，P∈平面AB1D1， 所以P∈平面AA1C1C， 所以P∈直线AO1， 即O1，P，A三点在同一条直线上. 【例6】　证明：若EF，GH交于一点P， 则E，F，G，H四点共面， 又因为EF⊂平面ABD， GH⊂平面CBD， 所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD， 又因为平面ABD∩平面CBD＝BD， 由基本事实3可得P∈BD. 跟踪训练 证明：如图，延长AA1，BB1， 设AA1∩BB1＝P，又BB1⊂平面BCC1B1，所以P∈平面BCC1B1， AA1⊂平面ACC1A1，所以P∈平面ACC1A1， 所以P为平面BCC1B1和平面ACC1A1的公共点， 又因为平面BCC1B1∩平面ACC1A1＝CC1， 所以P∈CC1，即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P. 随堂检测 1.A　根据点、线、面的位置关系的符号表示，可知A错误，应改为点A∈平面α；B、C、D正确.故选A. 2.B　A，过不共线三点确定一个平面，错误；B，两个相交平面把空间分成四个区域，正确；C，三条直线两两相交，若第三条在另两条确定的平面内可以确定一个平面，否则不能确定一个平面，错误；D，∵A∈α，A∈β，∴A∈（α∩β），由基本事实3可知α∩β为过点A的一条直线，错误. 3.α与β的交线上　解析：设α∩β＝l，因为A，B∈α且A，B∈β，所以A，B∈l. 4.共线　解析：如图，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.∵l∩α＝O，∴O∈α. 又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $