第五章 复数 单元检测卷-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

**基本信息** 高中数学复数单元检测卷，覆盖复数概念、运算、几何意义及综合应用，通过基础巩固与能力提升题梯度设计，培养抽象能力、运算能力和模型意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|虚部、向量伸长、“理想复数”新定义|基础概念与新情境结合，如第3题“理想复数”考查抽象能力| |多选|3/18|复数模、复平面点性质|多角度辨析，如第10题结合坐标与纯虚数考查推理能力| |填空|3/15|复数几何表示、实系数方程根|几何与代数转化，如第14题等边三角形复数表示| |解答|5/77|复数模、复平面几何、纯虚数综合|分层设问，如第15题先求模最小值再结合函数图像，培养模型意识|

复数检测卷解析 1、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．复数的虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 2.设复数对应的向量为，把沿原方向伸长3倍所得到的向量对应的复数是（ ） A. B. C. D. 3.若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知为“理想复数”，则（ ） A. B. C. D. 4.已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 5.已知，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 6.设，是方程在复数范围内的两个根，则（ ） A. B. C. D. 7.已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数为 C. D. 在复平面内对应的点在第二象限 8.设，是复数，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9.已知复数满足，则（ ） A. 的虚部是1 B. C. D. 10.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点的坐标为，则是纯虚数 C. 若，则的虚部为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 11.已知复数，满足，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知复数在复平面内对应的向量为为坐标原点，与实轴正方向的夹角为 ，且复数的模为2，则复数_____ 13．若是关于的实系数方程的一个根，则______. 14．如图所示，等边三角形的两个顶点，所表示的复数分别是和2，则点所表示的复数为__________________________________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．其中15题13分，16、17题每题15分，18、19每题17分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.已知为实数，复数. （1） 当为何值时，复数的模最小？ （2） 当复数的模最小时，复数在复平面内对应的点位于函数的图象上，其中，，求与满足的关系式. 16．在复平面内，，三点对应的复数分别为1，，. （1） 求，，对应的复数； （2） 判断的形状； 17.已知复数，，其中是正实数. （1） 若，求实数的值； （2） 若是纯虚数，求的值. 18．已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. （1） 求复数的模； （2） 复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 19.已知复数满足，为纯虚数，若复数在复平面内对应的点在第一象限. （1） 求复数； （2） 复数，，在复平面内对应的向量分别为，，，已知，求 的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 复数检测卷解析 1、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．复数的虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 答案：D 2.设复数对应的向量为，把沿原方向伸长3倍所得到的向量对应的复数是（ ） A. B. C. D. 答案: B 解析:把沿原方向伸长3倍所得到的向量对应的复数是. 3.若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知为“理想复数”，则（ ） A. B. C. D. 答案: D 【解析】.由题意知，， 则. 4.已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2 答案: C 【解析】. 5.已知，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 答案: A 解析: ，，.故选A. 6.设，是方程在复数范围内的两个根，则（ ） A. B. C. D. 答案: D 解析:由得，不妨设，，则，A错误；，B错误；，C错误；，D正确. 7.已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数为 C. D. 在复平面内对应的点在第二象限 答案: B 解析:，的虚部为4,的共轭复数为，，在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限. 8.设，是复数，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 答案： D 解析：在A中，若，则,的实部和虚部都相等，，故A中说法正确； 在B中，若，则,的实部相等，虚部互为相反数，，故B中说法正确； 在C中，若，则，故C中说法正确； 在D中，如，但，故D中说法错误. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9.已知复数满足，则（ ） A. 的虚部是1 B. C. D. 答案：BCD 解析： ，，故，的虚部为，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D正确. 10.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点的坐标为，则是纯虚数 C. 若，则的虚部为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 答案：BD 解析：对于A，若，则，所以A错误；对于B，由于点的坐标为，所以，所以，是纯虚数，所以B正确；对于C，的虚部为，所以C错误；对于D，设，则，因为，所以，所以点的集合所构成的图形的面积为 ，所以D正确.故选. 11.已知复数，满足，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 答案：BD 解析： 对于A，C，设，，则，，，不满足，也不满足，故A，C错误； 对于B，设，在复平面内对应的向量分别为，，且，，由向量加法的几何意义知，故，故B正确； 对于D，设，，，，，，则，所以， ，故D正确.故选. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知复数在复平面内对应的向量为为坐标原点，与实轴正方向的夹角为 ，且复数的模为2，则复数_____ 答案： 解析：根据题意可画出图形如图. 设点的坐标为， 因为， 所以，， 即点的坐标为，所以. 13．若是关于的实系数方程的一个根，则______. 答案：3 解析：解法一：将代入方程得，化简得，即，解得. 解法二：因为是关于的实系数方程的一个根，所以方程的另一个根是， 由根与系数的关系得. 14．如图所示，等边三角形的两个顶点，所表示的复数分别是和2，则点所表示的复数为__________________________________. 答案： 解析：因为，所表示的复数分别是和2，所以所表示的复数为，把绕点逆时针旋转 得到，则对应的复数为，，即点对应的复数是. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．其中15题13分，16、17题每题15分，18、19每题17分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.已知为实数，复数. （1） 当为何值时，复数的模最小？ （2） 当复数的模最小时，复数在复平面内对应的点位于函数的图象上，其中，，求与满足的关系式. 解析： （1） ，即当时，复数的模最小，为. （2） 当复数的模最小时，，又点在函数的图象上，所以. 16．在复平面内，，三点对应的复数分别为1，，. （1） 求，，对应的复数； （2） 判断的形状； （3） 求的面积. 解析： （1） 对应的复数为.对应的复数为.对应的复数为. （2） 由（1）知，，，所以，所以为直角三角形. （3） . 17.已知复数，，其中是正实数. （1） 若，求实数的值； （2） 若是纯虚数，求的值. 解析: （1） ，，，解得. （2） 依题意得 ，是纯虚数，解得或.又是正实数，. 18．已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. （1） 求复数的模； （2） 复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 解析: （1） ，则，为纯虚数，则解得，，故. （2） ，， 复数在复平面内对应的点在第一象限，解得， 实数的取值范围是. 19.已知复数满足，为纯虚数，若复数在复平面内对应的点在第一象限. （1） 求复数； （2） 复数，，在复平面内对应的向量分别为，，，已知，求 的值. 解析: （1） 设，则，，又为纯虚数，则，且，又复数在复平面内对应的点在第一象限，则，，可得，故复数. （2） 由题意可得，，，则，，由，得，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $