第五章 复数 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学复数单元复习课件系统梳理了复数的概念、运算、几何意义及应用，通过知识框架图将复数定义、分类、模、四则运算与几何表示等核心内容串联，构建完整的知识网络，体现知识点间的逻辑联系。 其亮点在于采用“分层探究-考教衔接-单元检测”模式，如探究点通过一题多问从基础概念到综合应用，培养数学思维与运算能力，考教衔接结合高考真题溯源教材，提升数学语言表达与应用意识，分层设计满足不同学生需求，助力教师精准复习。

章末综合提升 　 第五章　复数 体系构建 1 分层探究 2 考教衔接 3 单元检测卷 4 内容索引 体 系 构 建 返回 返回 分 层 探 究 返回 探究点一　复数的概念 (一题多问)已知复数z＝＋i，其中a∈R. (1)若z∈R，求a的值； 解：由z∈R，得a2－7a＋6＝0，解得a＝1或a＝6. 典例 1 (2)若z是纯虚数，求a的值； 解：由z是纯虚数，得所以a＝－2. (3)若＝18＋6i，求a的值； 解：由＝18＋6i，可知z＝18－6i，得所以a＝4. (4)若z对应的点在第一象限，求实数a的取值范围. 解：由z对应的点在第一象限，得 解得a＞6或a＜－2.所以实数a的取值范围为∪. 处理复数概念问题的两个注意点 1.当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部. 2.求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根. 规律方法 对点练1.(1)已知a为实数，复数z＝(a－2i)(1＋i)＋i为纯虚数，则a＝ A.－1 B.1 C.－2 D.2 √ 复数z＝(a－2i)(1＋i)＋i＝a＋2＋(a－1)i为纯虚数， 则a＋2＝0，且a－1≠0，解得a＝－2. (2)(双空题)已知(x＋y)－xyi＝－5＋24i，其中x，y∈R，且x＞y，则x＝______；y＝________. 3 －8 由(x＋y)－xyi＝－5＋24i，得又x＞y，所以x＝3，y＝－8. 探究点二　复数的几何意义 已知复数z＝a＋bi，满足＝，z2的实部为3，且z在复平面内对应的点位于第一象限. (1)求z，和z＋2； 解：因为z2＝a2－b2＋2abi，所以a2－b2＝3. 因为z在复平面内对应的点位于第一象限，所以a＞0，b＞0. 又＝＝， 则由 所以z＝2＋i，＝2－i，z＋2＝6－i. 典例 2 (2)设z，，z＋2在复平面内对应的点分别为A，B，C，试判断△ABC的形状，并求△ABC的面积. 解：由(1)可得A，B，C， 所以＝2，＝4，＝2， 所以＋＝，所以AB⊥BC， 故△ABC为直角三角形； 在△ABC中，因为＝2，＝4， 所以△ABC的面积＝·＝4. 规律方法 在复平面内确定复数对应的点的步骤 第一步：由复数确定有序实数对，即z＝a＋bi(a，b∈R)确定有序实数对(a，b)； 第二步：由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b). 对点练2.(1)已知＝b－i3，则复数a＋bi在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 依题意，得2a＋1－2i＋ai＝b＋i，则则a＋bi＝3＋7i，其在复平面内对应的点为位于第一象限.故选A. (2)(多选题)已知复数z1＝3i，z2＝1－2i(i为虚数单位)，则 A.＝－3i B.z2的虚部为－2i C.＞ D.在复平面内对应的点位于第四象限 √ √ 对于A，＝－3i，故A正确；对于B，z2＝1－2i的虚部为－2，故B错误；对于C，＝3，＝＝，故＞，故C正确；对于D，＝＝＝＝－＋i，所以在复平面内对应的点(－，)位于第二象限，故D错误.故选AC. 探究点三　复数的四则运算 已知复数z＝. (1)求复数z的模； 解：因为z＝， 所以z＝＝＝3－2i， 所以＝＝. 典例 3 (2)若az＋＋b＝7－4i，求a，b的值. 解：依题意，az＋＋b＝a＋3＋2i＋b＝－i. 又az＋＋b＝7－4i，所以解得a＝3，b＝－5. 1.复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算. (1)复数的加、减运算类似于实数中的多项式的加、减运算，含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可； (2)复数的乘法运算中要注意i的幂的性质；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘分母的共轭复数). 2.利用复数相等，可实现复数问题的实数化. 规律方法 对点练3.(1)(多选题)已知复数z＝a＋i在复平面内对应的点在直线x＋2y＝0上，则 A.是纯虚数 B.z·＝ C.＝1 D.z＞1－i √ √ 因为z＝a＋i，依题意得a＋2＝3a－6＝0，解得a＝2，则z＝2－i.对于A，＝＝4－8i＋4i2＝－8i为纯虚数，故A正确；对于B，＝2＋i，则z·＝·＝5，故B错误；对于C，＝＝＝＝＋i，故＝＝1，故C正确；对于D，两个虚数不能比较大小，故D错误.故选AC. (2)设i为虚数单位，若复数z满足z·＋z－＝4＋2i，则＝_______. 2 设复数z＝a＋bi，a，b∈R，则＝a－bi.所以z·＋z－＝＋a＋bi－＝a2＋b2＋2bi.因为z·＋z－＝4＋2i，所以a2＋b2＋2bi＝4＋2i，则所以z＝±＋i，所以＝＝2. 探究点四　实系数的一元二次方程的解法 已知复数z＝x＋yi满足＝5，且z－3是纯虚数. (1)求z及； 解：因为z－3＝x－3＋yi为纯虚数，所以x＝3. 因为＝＝5且y＞0，所以y＝4，z＝3＋4i， 所以＝＝＝－i. 典例 4 (2)若方程x2＋ax＋b＝0有一虚根为z，求a和b的值. 解：由(1)知，方程x2＋ax＋b＝0的一根为z＝3＋4i，则另一根为＝ 3－4i， 则 解得a＝－6，b＝25. 　　实系数的一元二次方程如果有虚根，则成对出现并且互为共轭复数，另外韦达定理也成立. 规律方法 对点练4.已知复数z＝bi(b∈R)，为实数. (1)求； 解：由z＝bi，为实数，则＝＝＋i为实数. 所以＝0，b＝2，即z＝2i，z2＝－4， 所以＝＝2. (2)若复数(m＋z)2在复平面内对应的点在第四象限，且z为实系数方程x2＋x＋4＝0的根，求实数m的值. 解：由＝＝m2－4＋4mi在复平面内对应的点在第四 象限， 所以解得m＜－2. 又z＝2i为实系数方程x2＋x＋4＝0的根， 则4＋2i－4＝0，所以m2－9＝0，m＝±3. 又m＜－2，所以m＝－3. 返回 考 教 衔 接 返回 (2024·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则｜z｜＝ A.0 B.1 C. D.2 真题 1 √ ｜z｜＝｜－1－i｜＝＝.故选C. 溯源：(教材P179例4) 在复平面内作出表示下列复数的点，并分别求出它们的模和共轭复数： (1)z1＝3－2i； (2)z2＝－1＋i. 点评：高考试题直接考查复数模的计算，与教材例题考查角度相同、难度相当，体现了高考试题源于教材的特点. (2024·全国甲卷)若z＝5＋i，则i(＋z)＝ A.10i B.2i C.10 D.2 真题 2 √ 因为z＝5＋i，所以＝5－i，所以i(＋z)＝10i.故选A. 溯源：(教材P183例5) 计算：(－2－i)(3＋i). 点评：高考试题直接考查共轭复数的概念以及复数的四则运算，综合性强，与教材例题考查角度相似，难度高于教材例题的难度，体现了高考试题源于教材、高于教材的特点. (2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 真题 3 √ 因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限.故选A. 溯源：(教材P201A组T4与P180A组T6) 4.计算： (1)(－8－7i)(－3i)； (2)(4－3i)(－5－4i)； (3)(－＋i)(1＋i)； (4)(1－2i)(2＋i)(3－4i). 6.当＜m＜1时，复数z＝3m－2＋(m－1)i在复平面内的对应点位于第______象限. 点评：高考试题与教材习题都是以复数的四则运算为载体，高考试题是教材习题的综合，考查复数的几何意义，难度相当. (2023·北京卷)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，)，则z的共轭复数＝ A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i 真题 4 √ z在复平面内对应的点是(－1，)，根据复数的几何意义得，z＝－1＋i，由共轭复数的定义可知，＝－1－i.故选D. 溯源：(教材P180A组T3与T4) 3.在复平面内作出表示下列复数的点： (1)－1＋2i； (2)＋i； (3)3i； (4)5. 4.求下列复数的模和共轭复数： (1)3－4i； (2)－i； (3)－6； (4)－5i. 点评：高考试题与教材习题都考查了复数的几何意义与共轭复数的概念，高考试题是教材习题的综合，难度相当. (2023·全国乙卷)｜2＋i2＋2i3｜＝ A.1 B.2 C. D.5 真题 5 √ 由题意可得2＋i2＋2i3＝2－1－2i＝1－2i，则｜2＋i2＋2i3｜＝｜1－2i｜＝＝.故选C. 溯源：(教材P187练习T2与P180A组T4) 2.计算： (1)i·i2·i3·i4； (2)i＋i2＋i3＋i4＋i5＋i6＋i7＋i8. 4.求下列复数的模和共轭复数： (1)3－4i； (2)－i； (3)－6； (4)－5i. 点评：高考试题与教材习题都考查了虚数单位i的性质与复数的四则运算和模的计算，高考试题是课本习题的综合，难度相当. (2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝ A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i 真题 6 √ 因为＝1＋i，所以z＝(z－1)(1＋i)，即z＝z－1＋zi－i，即zi＝1＋i，所以z＝＝＝1－i.故选C. 溯源：(教材P202B组T3) 求一个复数z，使得z＋为实数，且｜z－2｜＝2. 点评：高考试题与教材习题都考查了复数的四则运算，高考试题的难度低于教材习题的难度； 但考查角度相似. 返回 单 元 检 测 卷 返回 1.已知复数z1＝3－i，z2＝－1＋2i，则在复平面内表示复数z1＋z2的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 由z1＝3－i，z2＝－1＋2i，得z＝z1＋z2＝3－i－1＋2i＝2＋i.由复数的几何意义，可知z＝z1＋z2对应的点(2，1)位于第一象限.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.如果复数z满足z＋＝2＋4i，那么 z＝ A.3＋4i B.－3＋4i C.5＋4i D.－5＋4i √ 设z＝a＋bi，a，b∈R，则z＋＝a＋bi＋＝a＋＋bi＝2＋4i，所以b＝4，a＋＝2，所以a2＋16＝＝a2－4a＋4，解得a＝－3，所以z＝－3＋4i.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.已知复数z＝3－，为z的共轭复数，则的虚部为 A.－i B.i C. D.－ √ 因为z＝3－＝3－＝3－i，则＝3＋i.因此，.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.如图，在复平面内，复数z对应的点为P，则复数的虚部为 A. B.i C. D.i √ 由图得P，则z＝－1＋2i，所以＝＝＝，虚部为.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.已知复数z满足z＋＝4，z－＝－4i，则｜z｜＝ A.2 B.2 C.4 D.4 √ 因为z＋＝4，z－＝－4i，所以2z＝4－4i，z＝2－2i.所以＝＝2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.(新情境)1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程x(10－x)＝40的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为5＋和5－，数系扩充后这两个根分别记为5＋i和5－i.若z(5＋i)＝5－i，则复数z＝ A.1－i B.1＋i C. D. √ 由z(5＋i)＝5－i，得z＝＝＝＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.设z1，z2是方程x2＋x＋1＝0在复数范围内的两个解，则 A.＝ B.＝ C.z1＋z2＝1 D.z1z2＝1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由方程x2＋x＋1＝0得Δ＝1－4＝－3＜0，由求根公式得x＝＝，不妨设z1＝－＋i，z2＝－－i.＝｜i｜＝，故A错误；对于B，＝＝＝1，故B错误；对于C，z1＋z2＝－1，故C错误；对于D，z1z2＝＝－＝1，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.已知z1，z2为复数，下列结论错误的是 A.＝＋ B.＝· C.若｜z1｜＝｜z2｜，则＝ D.若z1·z2＝0，则z1＝0或z2＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d∈R)，对于A，＝＝(a＋c)－(b＋d)i＝(a－bi)＋(c－di)＝＋，故A正确；对于B，z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，＝(ac－bd)－(ad＋bc)i，·＝(a－bi)(c－di)＝(ac－bd)－(ad＋bc)i，＝·，故B正确；对于C，设z1＝1，z2＝i，显然满足｜z1｜＝｜z2｜，但＝1，＝－1，不满足＝，故C错误；对于D，由z1·z2＝0，得(ac－bd)＋(ad＋bc)i＝0，即则a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2＝0，即(a2＋b2)(c2＋d2)＝0，因此a＝b＝0或c＝d＝0，即z1＝0或z2＝0，故D正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9.已知z1＝3＋2i，z2＝4－i，则 A.z1＋z2的虚部为1 B.4z1－3z2是纯虚数 C.z1z2在复平面内所对应的点位于第一象限 D.＝＋4 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，z1＋z2＝＋＝7＋i，所以z1＋z2的虚部为1，故A正确；对于B，4z1－3z2＝4－3＝11i为纯虚数，故B正确；对于C，z1z2＝＝14＋5i，所以z1z2在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限，故C正确；对于D，＝＝＝－1－4i，所以＝＝，＝＝，所以≠＋4，故D错误.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.下列命题正确的是 A.若z＝＋i为纯虚数，a∈R，则a＝±1 B.若＋i＝－1＋5i，m，n∈R，则m＝1，n＝－2 C.若在复平面内z对应的点的坐标为，则z＝1 D.若－4＋3i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的根，则p＝8 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，因为z＝＋i为纯虚数，a∈R，所以解得a＝1，故A错误；对于B，因为＋i＝－1＋5i，m，n∈R，所以故B正确；对于C，因为在复平面内z对应的点的坐标为，所以z＝－1＋i，所以＝－1－i，z＝(－1＋i)(－1－i)＝1－i2＝2，故C错误；对于D，因为－4＋3i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的根，所以(－4＋3i)2＋p(－4＋3i)＋q＝0，所以16－9－24i－4p＋3pi＋q＝0，整理得7－4p＋q＋(3p－24)i＝0，所以故D正确.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.已知z1，z2是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是 A.5＋i＞4＋i B.i2＋i4＋i6＋…＋i2 026＝－1 C.若＞，则＞ D.＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，复数的虚部不为0，所以不能比较大小，故A错误；对于B，因为i4n＋i4n＋2＝1＋i2＝1－1＝0，所以i2＋i4＋i6＋…＋i2 026＝i2＝－1，故B正确；对于C，若z1＝a＋bi，z2＝c＋di，当a，b，c，d均不为0时，，均为虚部不为0的复数，所以不能比较大小，故C错误；对于D，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则z1z2＝＝ac－bd＋i，则＝＝，＝，＝，＝，所以＝，D选项正确.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.已知复数z1＝a＋2i，z2＝b－3i，且z1＋z2＝bi，，则a2 025＋ b2 026＝_______. 2 由z1＝a＋2i，z2＝b－3i，则z1＋z2＝＋＝－i＝bi，所以解得a＝1，b＝－1.所以a2 025＋b2 026＝12 025＋(－1)2 026＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.已知复数z1，z2的模长为1，且＋＝1，则z1＋z2＝______. 1 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，因为＋＝1，所以＋＝1.因为z1＝1，z2＝1，所以＋＝1，所以a－bi＋c－di＝－i＝1，所以a＋c＝1，b＋d＝0，所以z1＋z2＝＋i＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.(双空题、新定义)著名数学家棣莫弗在概率论和三角学方面发表了许多重要论文.1707年棣莫弗提出了公式：[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)，其中r＞0，n∈N＋.根据这个公式可知，＝______；若＝－16，则r＝______(本题第一空2分，第二空3分). i 2 ＝cos＋isin(6×)＝cos＋isin＝i.＝r4(cos π＋isin π)＝－r4＝－16，所以r＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15.(13分)已知复数z＝1＋ai(a∈R，i为虚数单位). (1)若·z为纯虚数，求实数a的值； 解：依题意，得z＝＝＋i. 因为·z为纯虚数，所以解得a＝－，所以a＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若ω＝，且复数ω在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数a的取值范围. 解：由ω＝＝＝＝＝＋i， 由复数ω在复平面内所对应的点位于第四象限，得解得－1＜a＜1. 所以实数a的取值范围为(－1，1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)已知复数z＝3＋bi，且·z为纯虚数. (1)求复数z； 解：依题意，得·＝＋i. 因为·z是纯虚数，所以所以b＝1，所以z＝3＋i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若复数ω＝，求复数－i的模. 解：依题意，得ω＝＝＝＝＝－i. 所以＝＋i，所以－i＝＋i－i＝－i. 所以＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(15分)设z＋1为关于x的方程x2＋mx＋n＝0的虚根，i为虚数单位. (1)当复数z＝－1＋i时，求m，n的值； 解：当z＝－1＋i时，则z＋1＝i， 可得方程x2＋mx＋n＝0的两根分别为i，－i， 则解得m＝0，n＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2＋4i所对应的点为Q，试求的取值范围. 解：当n＝1时，方程为x2＋mx＋1＝0. 设z＝a＋bi，则z＋1＝a＋1＋bi，＝a＋1－bi， 可得a＋1＋bi，a＋1－bi为方程x2＋mx＋1＝0的两根， 则·＝＋b2＝1. 设a＝－1＋cos θ，b＝sin θ，θ∈， 由复数的几何意义可知， ＝＝＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 其中tan φ＝，φ∈， 因为sin∈，可得∈， 所以. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)(开放题)关于复数z＝a＋bi(a，b∈R，i 为虚数单位)，有下列四个命题：①a＝2；②b＝；③z·＝4；④z＋＝｜｜；且上述四个命题中只有一个是假命题. (1)请问假命题是哪一个，并求出复数z； 解： 由③得，＝4，即a2＋b2＝4.由④得2a＝. 若①是假命题，则b＝，a2＋b2＝4，且2a＝，所以a＝1， 所以z＝1＋i，符合要求. 若②是假命题，则需满足a＝2，a2＋b2＝4，且2a＝，无解，故不符合要求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 若③是假命题，则需满足a＝2，b＝，2a＝，又a＝2，b＝时，2a≠，故不符合要求. 若④是假命题，则需满足a＝2，b＝，a2＋b2＝4，显然不符合要求. 所以假命题为①，即②③④皆成立， 所以z＝1＋i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)设复数z1，z2满足＝＝，｜z1＋z2｜＝2，求｜z1－z2｜. 解：由(1)得＝＝＝2. 设复数z1，z2 在复平面内分别对应向量，， 则｜｜＝｜｜＝2，｜＋｜＝2， 所以＋2·＋＝4， 即2·＝－4， 所以｜－｜2＝－2·＋＝12， 即｜－｜＝2，所以＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)(新定义)对于z0，z1，z2∈C，记k＝为z1，z2关于z0的“差比模”.若取遍＝r，记z1，z2关于＝r的“差比模”的最大值为kmax，最小值为kmin，若kmax＋kmin＝2，则称z1，z2关于r的“差比模”是协调的. (1)若z0＝＋i，z1＝1，z2＝－1，求z1，z2关于z0的“差比模”； 解：依题意，得k＝＝＝＝＝＝＝， 故z1，z2关于z0的“差比模”为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若z1＝1＋i，z2＝1－i，是否存在r＜2，使得z1，z2关于r的“差比模”是协调的？若存在，求出r的值；若不存在，说明理由. 解：先证明共轭复数有如下性质：若任意z1，z2∈C，则±＝，＝. 证明：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)， 则＝＝a±c－i， 而±＝a－bi±＝a±c－i， 所以±＝. 则＝＝＝－i. ＝＝＋i＝－i， 所以＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 综上，共轭复数的性质±＝，＝得证. 记当“差比模”取最大值kmax时的复数z0为zmax，即kmax＝. 由已知z1＝1＋i，z2＝1－i发现z1＝，z2＝ 由已证明共轭复数的性质与复数模的性质＝可得 ＝＝＝＝＝， 所以若当z0＝zmax时取得kmax，则z0＝时取到kmin， 故可知kmax·kmin＝1， 由取遍＝r，k＝不恒为常数，则kmax≠kmin， 故由基本不等式可得kmax＋kmin＞2， 故不存在r＜2，使得z1，z2关于r的“差比模”是协调的. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 章末综合提升 返回 $