第4章 3.2 半角公式(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦半角公式这一核心知识点，通过从倍角公式推导半角公式，建立三角恒等式的内在联系，系统涵盖公式推导、化简与求值应用等环节，构建完整的学习支架。 资料以问题驱动（如电脑输入法半角类比、cos30°求sin15°）培养数学眼光，通过“三变”通性通法和四类变换提升数学思维，结合例题与跟踪训练强化数学运算，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

3.2　半角公式 课标要求 1.能从倍角公式推导出半角公式，并了解它们的内在联系（逻辑推理、数学运算）. 2.能够运用半角公式，解决化简、求值问题（数学运算）. 　　类似电脑输入法有“半角”和“全角”之分（如图），三角中也有倍角公式与半角公式，由两角和与差的正弦公式和余弦公式还可以推导出哪些三角恒等式？ 【问题】　由cos 30°的值能否求出sin 15°和cos 15°的值？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　半角公式 　　提醒：（1）半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，sin，cos，tan 的值便可求出；（2）由于tan＝及tan＝不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）半角公式对任意角都适用.（　　） （2）cos＝.（　　） （3）tan ＝，只需满足α≠2kπ＋π（k∈Z）.（　　） 2.若cos α＝，且α∈（0，π），则sin ＝（　　） A.－ B. C. D.－ 3.已知α∈（0，），cos α＝，tan ＝　　　　. 题型一｜应用半角公式求值 【例1】　已知sin α＝－，π＜α＜，求sin，cos，tan的值. 尝试解答 通性通法 利用半角公式求值的思路 （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解； （2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. 【跟踪训练】 1.求值cos ＝　　　　. 2.已知cos 2θ＝－，＜θ＜π，求tan的值. 题型二｜三角函数式的化简 【例2】　化简：. 尝试解答 通性通法 化简问题中的“三变” （1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择适当的公式； （2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切； （3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等. 【跟踪训练】 　化简sin2（ α－）＋sin2（ α＋）－sin2α的结果是　　　　. 题型三｜三角恒等变换的综合应用 【例3】　已知函数f（x）＝sin＋2cos2x－1. （1）化简f（x）； （2）求函数f（x）的最大值及其相应的x的取值集合. 尝试解答 【母题探究】 1.（变设问）本例条件不变，若＜α＜且f（α）＝，求cos 2α的值. 2.（变条件）若本例中的“函数f（x）＝sin＋2cos2x－1”换为“f（x）＝sin2x＋asin xcos x－cos2x且f＝1”. （1）化简f（x）； （2）求f（x）的最大值及相应x的取值集合. 通性通法 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 【跟踪训练】 　已知函数f（x）＝2sin xcos x＋2cos2x－1. （1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）当x∈时，求函数f（x）的最大值及相应的x值. 1.sin ＝（　　） A.　　 　　　 B. C. D. 2.下列各式与tan α相等的是（　　） A. B. C. D. 3.已知cos θ＝－，π＜θ＜，则tan ＝（　　） A.－ B. C.－ D. 4.已知tan ＝，则cos α＝　　　　. 5.化简：＝　　　　. 类型一｜变角——角的变换 当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果. 【例1】　已知tan（α＋β）＝4，tan（α－β）＝2，则sin 4α＝　　　　. 尝试解答 类型二｜变名——函数名称变换 对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函数间的关系入手，寻求统一函数名称的变换途径.正确选用三角变换公式，通过变换尽量减少三角函数的种类，从而提高解题效率. 【例2】　当0＜x＜时，函数f（x）＝的最小值是　　　　. 尝试解答 类型三｜变幂——升幂与降幂变换 分析三角函数中的次数，看是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题目中的要求，正确选用半角公式、倍角公式等三角公式，从而达到化简解题的目的. 【例3】　已知α为第二象限角，且sin α＝，则＝　　　　. 尝试解答 类型四｜变数——常数变换 【例4】　已知tan（＋α）＝2，则＝　　　　. 尝试解答 提示：完成课后作业　第四章　§3　3.2 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2　半角公式 【基础落实】 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√ 2.B 3.　解析：因为α∈（0，），cos α＝，所以sin α＝.所以tan ＝＝＝. 【典例研析】 【例1】　解：∵π＜α＜，sin α＝－， ∴cos α＝－，且＜＜， ∴sin ＝ ＝， cos ＝ －＝－， tan＝＝－2. 跟踪训练 1.　解析：cos＝＝＝. 2.解：因为cos 2θ＝－，＜θ＜π，由半角公式得 sin θ＝＝＝， cos θ＝－＝－＝－， 所以tan＝＝＝. 【例2】　解：∵＜α＜2π，∴＜＜π， ∴原式＝ ＝ ＝cos2－sin2＝cos α. 跟踪训练 　　解析：原式＝ ＋－sin2α＝1－［cos（ 2α－）＋cos（ 2α＋）］－sin2α＝1－cos2α·cos－sin2α＝＋－＝. 【例3】　解：（1）f（x）＝sin＋2cos2x－1＝sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x＝·sin 2x＋cos 2x＝sin，故f（x）＝sin. （2）当2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即 x＝kπ＋，k∈Z时，f（x）max＝1.故f（x）取最大值时x的取值集合为{xx＝kπ＋，k∈Z}. 母题探究 1.解：由题意f（α）＝sin＝. 由＜α＜，得＜2α＋＜， 所以cos＝－. 因此cos 2α＝cos＝coscos＋sinsin＝. 2.解：（1）∵f＝1， ∴sin2＋asincos－cos2＝1， 解得a＝2. ∴f（x）＝sin2x＋2sin xcos x－cos2x＝sin 2x－cos 2x＝sin. （2）当2x－＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z）时，f（x）有最大值，此时x的取值集合为{x｜x＝kπ＋，k∈Z}. 跟踪训练 　解：f（x）＝2sin xcos x＋2cos2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝2sin. （1）令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z）， 得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）， ∴f（x）的单调递增区间为（k∈Z）. （2）由x∈， 可得≤2x＋≤. ∴当2x＋＝，即x＝时，f（x）取最大值，最大值为2. 随堂检测 1.B　sin ＝＝＝＝＝.故选B. 2.D　＝＝＝tan α. 3.C　由已知得sin θ＝－＝－，则tan ＝＝＝－. 4.　解析：因为tan ＝±， 所以tan2＝. 所以＝， 解得cos α＝. 5.1　解析：原式＝＝＝1. 拓视野　三角恒等变换中的“四变”策略 【例1】　－　解析：因为tan 2α＝tan[（α＋β）＋（α－β）]＝＝－，所以sin 4α＝＝－. 【例2】　4　解析：因为0＜x＜，所以0＜tan x＜1，所以f（x）＝＝≥4，当且仅当tan x＝时取“＝”. 【例3】　－　解析： ＝ ＝＝. 又α为第二象限角，且sin α＝， 所以cos α＝－， 所以＝＝－. 【例4】　　解析：由tan（＋α）＝＝2，得tan α＝，于是＝＝＝. 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $