第4章 3 培优课 三角恒等变换的综合问题(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦三角恒等变换核心知识点，系统梳理其与解三角形、三角函数、向量的综合应用，通过高考真题例题、通性通法图示步骤及跟踪训练搭建学习支架，帮助学生构建知识脉络。 资料以高考真题为载体，引导学生用数学眼光发现问题，通性通法提炼解题思维路径培养推理能力，跟踪训练强化数学语言表达，课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固提升、查漏补缺。

培优课　三角恒等变换的综合问题 【典例研析】 【例1】　解：（1）法一（辅助角公式法）　由sin A＋cos A＝2，可得sin A＋cos A＝1，即sin（A＋）＝1， 由于A∈（0，π）⇒A＋∈（，），故A＋＝，解得A＝. 法二（同角三角函数的基本关系法）　由sin A＋cos A＝2，又sin2A＋cos2A＝1，消去sin A得4cos2A－4cos A＋3＝0⇔（2cos A－）2＝0，解得cos A＝， 又A∈（0，π），故A＝. （2）由题设条件和正弦定理，bsin C＝csin 2B⇔sin Bsin C＝2sin C·sin Bcos B， 又B，C∈（0，π），则sin Bsin C≠0，进而cos B＝，得到B＝， 于是C＝π－A－B＝，sin C＝sin（π－A－B）＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋sin Bcos A＝. 法一（基本量法）　由正弦定理可得，＝＝，即＝＝， 解得b＝2，c＝＋， 故△ABC的周长为2＋＋3. 法二（整体思想法）　由正弦定理＝＝，得＝＝＝4， 所以a＋b＋c＝4（sin A＋sin B＋sin C）＝4×（＋＋）＝2＋＋3， 所以△ABC的周长为2＋＋3. 跟踪训练 　解：（1）因为＝， 所以＝， 所以＝， 所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B， 所以cos（A＋B）＝sin B， 所以sin B＝－cos C＝－cos ＝， 因为B∈，所以B＝. （2）由（1）得cos（A＋B）＝sin B， 所以sin＝sin B，且0＜A＋B＜， 所以0＜B＜，0＜－（A＋B）＜， 所以－（A＋B）＝B，解得A＝－2B， 由正弦定理得＝ ＝＝ ＝ ＝ ＝＝4cos2B＋－5≥2－5 ＝4－5，当且仅当cos2B＝时取等号， 所以的最小值为4－5. 【例2】　解：（1）f（x）＝sin 2ωx－cos 2ωx－4×＋a ＝sin 2ωx＋cos 2ωx－2＋a ＝sin（2ωx＋）＋a－2. 由已知得函数f（x）的最小正周期T＝π， 即＝π，所以ω＝1， 所以f（x）＝sin（2x＋）＋a－2. 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以f（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）. （2）当0≤x≤时，≤2x＋≤， 所以－≤sin（2x＋）≤1. 这时f（x）的最小值为a－. 由已知，得a－＝－， 所以a＝2， 所以f（x）＝sin（2x＋）， 所以f（x）的值域为[－，]. 跟踪训练 　解：（1）因为f（x）的图象过点（，0）， 所以f（）＝asin（2×－）－2cos2（＋）＝a－＝0，所以a＝1， 所以f（x）＝sin（2x－）－2cos2（x＋）＝sin（2x－）－cos［2（x＋）］－1＝2sin（2x－）－1，最小正周期为π. （2）由f（x）＝2sin（2x－）－1＝1，整理得sin（2x－）＝1.因为x∈[0，m]，所以2x－∈［－，2m－］，由于f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解， 所以2m－∈［，）， 即m∈［，）. 【例3】　解：（1）∵a⊥b， ∴a·b＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ. 又∵sin2θ＋cos2θ＝1， ∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝， ∴sin2θ＝. 又∵θ∈（ 0，），∴sin θ＝，cos θ＝. （2）∵5cos（θ－φ）＝5（cos θcos φ＋sin θsin φ）＝cos φ＋2sin φ＝3cos φ， ∴cos φ＝sin φ，∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝. 又∵0＜φ＜，∴cos φ＝. 跟踪训练 　解：（1）因为a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β）， ｜a－b｜＝ ＝＝， 所以2－2cos（α－β）＝，所以cos（α－β）＝. （2）因为0＜α＜，－＜β＜0，所以0＜α－β＜π. 因为cos（α－β）＝，sin β＝－， 所以sin（α－β）＝，cos β＝， 所以sin α＝sin[（α－β）＋β]＝sin（α－β）·cos β＋cos（α－β）sin β＝×＋×（－）＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题型一｜三角恒等变换与解三角形 【例1】　（2024·新高考Ⅱ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. （1）求A； （2）若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长. 尝试解答 通性通法 解三角形与三角恒等变换综合问题的一般步骤 【跟踪训练】 （2022·新高考Ⅰ卷18题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. （1）若C＝，求B； （2）求的最小值. 题型二｜三角恒等变换与三角函数 【例2】　已知函数f（x）＝sin（2ωx－）－4sin2ωx＋a（ω＞0），其图象相邻两个最高点之间的距离为π. （1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）设函数f（x）在［0，］上的最小值为－，求函数f（x）（x∈R）的值域. 尝试解答 通性通法 　　解决三角恒等变换与三角函数的综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式进行变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数，再解决与图象和性质有关的问题.在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想（切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩变换、和差与积的互化、角的变换）的运用，还要注意一般的数学思想方法（如换元法等）的运用. 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝asin（2x－）－2cos2（x＋）（a＞0），且满足f（x）的图象过点（，0）. （1）求函数f（x）的解析式及最小正周期； （2）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围. 题型三｜三角恒等变换与向量 【例3】　已知向量a＝（sin θ，－2）与b＝（1，cos θ）互相垂直，其中θ∈（ 0，）. （1）求sin θ和cos θ的值； （2）若5cos（θ－φ）＝3cos φ，0＜φ＜，求cos φ的值. 尝试解答 通性通法 　　向量坐标运算中的数量积、向量的平行与垂直、向量的模等与三角恒等变换知识交汇的一类题，是常考的一种重要题型.解题时通常应用向量的坐标运算及三角恒等变换等运算最终化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k或y＝Acos（ωx＋φ）＋k的形式，再进一步研究其性质.通过解决此类问题，有利于提升学生数学运算能力. 【跟踪训练】 已知向量a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），｜a－b｜＝. （1）求cos（α－β）的值； （2）若－＜β＜0＜α＜，且sin β＝－，求sin α的值. 提示：完成课后作业　第四章　培优课 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $