第4章 三角形恒等变换 章末整合提升 体系构建 素养提升(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学单元复习讲义围绕三角函数，以逻辑推理、数学运算、数学建模为核心构建知识体系，通过例题解析系统呈现三角函数性质、化简证明、恒等变换求值及实际应用等内容，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于结合高考真题设计分层练习，如2024年全国甲卷三角函数求值题、新高考Ⅰ卷三角恒等变换题，通过逻辑推理分析性质、数学运算提升变换能力、数学建模解决农田规划问题，助力不同层次学生掌握方法，教师可精准实施复习教学。

一、逻辑推理 　　逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.逻辑推理在本章中主要体现在三角函数的性质及三角函数式的化简与证明中. 培优一｜三角函数的性质 【例1】　（1）函数f（x）＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别是（　C　） A.3π和　B.3π和2　C.6π和　D.6π和2 解析：因为函数f（x）＝sin＋cos＝（sin＋cos）＝（sincos＋cossin）＝sin，所以函数f（x）的最小正周期T＝＝6π，最大值为.故选C. （2）函数f（x）＝cos x－cos 2x，试判断函数的奇偶性及最大值（　D　） A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2 C.奇函数，最大值为 D.偶函数，最大值为 解析：由题意，f（－x）＝cos（－x）－cos（－2x）＝cos x－cos 2x＝f（x），所以该函数为偶函数，又f（x）＝cos x－cos 2x＝－2 cos2x＋cos x＋1＝－2＋，所以当cos x＝时，f（x）取最大值.故选D. 培优二｜三角函数式的化简与证明 【例2】　化简：＋ （π＜α＜π）. 解：因为π＜α＜π，所以＜＜π， 所以＝｜cos｜＝－cos， ＝｜sin｜＝sin， 所以＋ ＝＋ ＝＋ ＝－cos. 【例3】　证明：（1＋tan xtan）＝tan x. 证明：因为左边＝（1＋tan xtan） ＝（1＋·tan） ＝sin x（1＋）＝· ＝·＝＝tan x＝右边，所以原式成立. 二、数学运算 　　数学运算在本章中通过三角恒等变换与求值进一步培养学生的数学运算核心素养. 培优三｜三角恒等变换与求值 【例4】　（1）（2024·全国甲卷8题）已知＝，则tan（α＋）＝（　B　） A.2＋1 B.2－1 C. D.1－ 解析：根据题意有＝，即1－tan α＝，所以tan α＝1－，所以tan（α＋）＝＝＝2－1，故选B. （2）（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知cos（α＋β）＝m， tan αtan β＝2，则cos（α－β）＝（　A　） A.－3m B.－ C. D.3m 解析：因为cos（α＋β）＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m，而tan αtan β＝2，即＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，从而cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝3cos αcos β＝－3m.故选A. 三、数学建模 　　数学建模在本章中主要体现在三角函数模型在物理及现实生活中的应用中. 培优四｜三角函数模型在现实生活中的应用 【例5】　某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.用θ分别表示出矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sin θ的取值范围. 解：如图所示，设PO的延长线交MN于H，则PH⊥MN，所以OH＝10. 过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN， 所以∠COE＝θ， 故OE＝40cos θ，EC＝40sin θ， 则矩形ABCD的面积为2×40cos θ（40sin θ＋10）＝800（4sin θcos θ＋cos θ）， △CDP的面积为×2×40cos θ（40－40sin θ） ＝1 600（cos θ－sin θcos θ）. 过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK＝KN＝10. 连接OG，令∠GOK＝θ0，则sin θ0＝＜，可知θ0∈. 当θ∈时，才能作出满足条件的矩形ABCD， 所以sin θ的取值范围是. 故矩形ABCD的面积为800（4sin θcos θ＋cos θ）平方米，△CDP的面积为1 600（cos θ－sin θcos θ）平方米，sin θ的取值范围是. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $