第4章 2.4 积化和差与和差化积公式(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦积化和差与和差化积公式，通过回顾两角和差的正弦、余弦公式，引导学生对公式进行加减运算推导新公式，构建从已知到未知的学习支架。 该资料以问题驱动推导过程，培养学生逻辑推理与数学运算核心素养，如“想一想”环节深化公式理解，题型分类（应用、证明）配合例题与跟踪训练，课中助力教师教学，课后帮助学生巩固提升。

2.4　积化和差与和差化积公式 课标要求 了解积化和差与和差化积公式，并会简单应用（逻辑推理、数学运算）. 　观察下列学过的两组公式： 　（1）sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β， ① sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β； ② （2）cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β， ③ cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β. ④ 尝试一下，对①②③④做一些“运算”，例如①＋②，①－②等等，看看能得到些什么？ 【问题】　（1）如何用sin（α＋β），sin（α－β）表示sin αcos β及cos αsin β 的值？ （2）如何用cos（α＋β），cos（α－β）表示cos αcos β及sin αsin β 的值？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　积化和差与和差化积公式 1.积化和差公式 cos αcos β＝　　　　　　　　； sin αsin β＝　　　　　　　　； sin αcos β＝　　　　　　　　； cos αsin β＝　　　　　　　　. 2.和差化积公式 sin x＋sin y＝　　　　　　　　； sin x－sin y＝　　　　　　　　； cos x＋cos y＝　　　　　　　　； cos x－cos y＝　　　　　　　　.【想一想】 1.公式中α，β是任意角吗？ 2.积化和差公式与两角和与差的正弦、余弦公式有何联系？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）cos αsin β＝[sin（α－β）－sin（α＋β）].（　　） （2）cos θ－cos φ＝2sinsin.（　　） （3）cos x＋＝2coscos.（　　） 2.sin 64°cos 20°化成和差形式为（　　） A.（sin 84°＋sin 44°） B.（sin 84°－sin 44°） C.（cos 84°＋cos 44°） D.（cos 84°－cos 44°） 3.sin 101°＋sin 19°化为积的形式为　　　　. 　　 题型一｜积化和差公式的应用 【例1】　把下列各式化成和或差的形式： （1）2sin 64°cos 10°；（2）sin 80°cos 132°； （3）cos cos ；（4）sin 2sin 1. 尝试解答 通性通法 　　在利用积化和差公式化简求值时，应注意：左端是异名函数乘积形式时右端是正弦的和、差形式，左端是同名函数乘积形式时右端是余弦的和、差形式. 【跟踪训练】 求cos 15°cos 60°cos 75°的值. 题型二｜和差化积公式的应用 【例2】　把下列各式化成积的形式： （1）sin 44°＋sin 76°； （2）cos 50°＋cos 42°； （3）cos 3x－cos 5x； （4）sin 50°－sin 70°. 尝试解答 通性通法 利用和差化积公式化简求值时应注意以下2点 （1）必须是同名的三角函数和与差的形式才能化为乘积形式； （2）若不同名，应用诱导公式化为同名的三角函数和与差的形式再利用和差化积公式. 【跟踪训练】 将下列各式化成积的形式： （1）sin－sin； （2）sin x＋. 题型三｜利用积化和差与和差化积公式证明三角恒等式 【例3】　在△ABC中，求证：sin A＋sin B＋2sin ·cos ＝4cos cos cos . 尝试解答 通性通法 1.证明三角恒等式从某种意义上来说，可以看成已知结果的三角函数式的化简与求值. 2.证明三角恒等式的总体要求：通过三角公式进行恒等变形，论证等式左右两边相等，论证过程要清晰、完整、推理严密. 【跟踪训练】 求证：tan－tan＝. 1.cos cos ＝（　　） A.　　　　　　　　 B.－ C.－ D.＋ 2.将sin 40°＋化为积的形式为（　　） A.sin 50°sin 10° B.－sin 50°sin 10° C.sin 50°cos 10° D.－sin 50°cos 10° 3.2sin 50°cos 10°＝（　　） A.－sin 40° B.＋sin 40° C.－sin 40° D. 4.把cos x＋化为积的形式为　　　　. 5.求函数y＝sinsin的最小正周期. 提示：完成课后作业　第四章　§2　2.4 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4　积化和差与和差化积公式 【基础落实】 知识点 1.[cos（α＋β）＋cos（α－β）]　－[cos（α＋β）－cos（α－β）]　[sin（α＋β）＋sin（α－β）]　[sin（α＋β）－sin（α－β）] 2.2sincos　2cossin　2coscos　 －2sinsin 想一想 1.提示：是任意角. 2.提示：cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β， ① cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β， ② sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β， ③ sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β， ④ 利用①±②和③±④即得出积化和差公式. 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√ 2.A　sin 64°cos 20°＝[sin（64°＋20°）＋sin（64°－20°）]＝（sin 84°＋sin 44°）. 3.cos 41°　解析：sin 101°＋sin 19°＝2sincos＝2sin 60°cos 41°＝cos 41°. 【典例研析】 【例1】　解：（1）2sin 64°cos 10°＝sin（64°＋10°）＋sin（64°－10°）＝sin 74°＋sin 54°. （2）sin 80°cos 132°＝cos 132°sin 80° ＝[sin（132°＋80°）－sin（132°－80°）] ＝（sin 212°－sin 52°） ＝－（sin 32°＋sin 52°）. （3）cos cos ＝［cos＋cos］＝［cos ＋cos］＝（cos ＋cos ）. （4）sin 2sin 1＝－[cos（2＋1）－cos（2－1）]＝－（cos 3－cos 1）. 跟踪训练 　解：原式＝cos 15°cos 75° ＝×[cos（15°＋75°）＋cos（15°－75°）] ＝（0＋cos 60°）＝. 【例2】　解：（1）原式＝2sin·cos＝2sin 60°cos 16°＝cos 16°. （2）原式＝2coscos＝2cos 46°cos 4°. （3）原式＝－2sinsin ＝2sin 4xsin x. （4）原式＝2cossin ＝2cos 60°sin（－10°）＝－sin 10°. 跟踪训练 　解：（1）原式＝2cos·sin ＝2cos αsin ＝cos α. （2）sin x＋＝sin x＋sin ＝2sin cos ＝2sincos. 【例3】　证明：由A＋B＋C＝180°，得C＝180°－（A＋B）， 即＝90°－，∴cos ＝sin ， ∴sin A＋sin B＋2sin cos ＝2sin cos ＋2sin cos ＝2sin （cos ＋cos ） ＝2cos ·2cos ·cos（－） ＝4cos cos cos ， ∴原等式成立. 跟踪训练 　证明：法一　∵tan－tan＝－＝＝＝ ＝ ＝. ∴原式成立. 法二　∵ ＝ ＝ ＝－ ＝tan－tan. ∴原式成立. 随堂检测 1.D　cos cos ＝［cos（＋）＋cos］＝＋cos ＝＋. 2.C　sin 40°＋＝（sin 40°＋sin 60°）＝sin 50°cos 10°. 3.B　2sin 50°cos 10°＝sin（50°＋10°）＋sin（50°－10°）＝sin 60°＋sin 40°＝＋sin 40°. 4.2coscos 解析：cos x＋＝cos x＋cos ＝2cos·cos ＝2coscos. 5.解：y＝sincos x ＝［sin＋sin ］ ＝sin＋， ∴函数的最小正周期T＝＝π. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $