第4章 2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦两角和与差的正弦、正切公式这一核心知识点，基于两角和与差的余弦公式推导，通过类比引入、公式梳理（含名称、公式、简记符号及条件）及变形特例构建学习支架，衔接公式推导与化简、求值、求角等应用。 资料以“思想的自行车”类比激发兴趣，通过问题驱动引导学生类比推导公式，培养逻辑推理（数学思维）。分题型示例及通性通法总结，帮助学生用数学语言解决问题，课中辅助教师引导探究，课后通过判断、练习助力学生查漏补缺，提升数学运算能力。

2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用 【基础落实】 知识点 sin αcos β＋cos αsin β　　kπ＋（k∈Z）　 自我诊断 1.（1）√　（2）√　（3）×　（4）×　（5）√　 2.C　原式＝＝tan（45°＋15°）＝tan 60°＝. 3. 【典例研析】 【例1】　解：（1）原式＝ ＝ ＝＝. （2）因为＝tan（12°＋33°）＝tan 45°＝1， 所以tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°， 所以tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1. （3）原式＝（tan 10°－tan 60°）· ＝· ＝· ＝－· ＝－＝－2. 跟踪训练 　解：（1）原式＝tan 10°·tan 20°＋[tan（10°＋20°）·（1－tan 10°tan 20°）]＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1. （2）原式＝sin（α＋β）cos α－[sin（α＋α＋β）－sin（α＋β－α）]＝sin（α＋β）cos α－[sin αcos（α＋β）＋cos αsin（α＋β）－sin（α＋β）cos α＋cos（α＋β）sin α] ＝sin（α＋β）cos α－×2sin αcos（α＋β） ＝sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）sin α ＝sin（α＋β－α）＝sin β. 【例2】　解：（1）因为＜α＜， 所以＜＋α＜π，所以sin＝＝. 因为0＜β＜，所以＜＋β＜π， 所以cos＝－＝－. 所以sin（α＋β）＝－sin（π＋α＋β） ＝－sin ＝－［sincos＋ cossin（＋β）］ ＝－ ＝. （2）由（1）可得tan ＝＝－， 于是tan α＝tan ＝ ＝＝7. 跟踪训练 1.A　tan α＝tan[（α－β）＋β]＝＝＝. 2.0　解析：因为α为锐角，sin α＝，所以cos α＝.因为β是第四象限角，cos β＝，所以sin β＝－.所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝0. 【例3】　解：∵tan β＝－，tan（α－β）＝， ∴tan α＝tan[（α－β）＋β]＝＝＝. tan（2α－β）＝tan[（α－β）＋α]＝＝＝1. ∵tan α＝＞0，tan β＝－＜0， ∴α∈，β∈， ∴α－β∈（－π，0）. 又∵tan（α－β）＝＞0， ∴α－β∈，2α－β＝α＋（α－β）∈（－π，0）. 又tan（2α－β）＝1，∴2α－β＝－π. 跟踪训练 　解：因为α∈，β∈，且sin α＝－，cos β＝，所以cos α＝，sin β＝，所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝－×＋×＝.又因为α∈，β∈，所以α＋β∈，故α＋β＝. 随堂检测 1.A　sin 35°cos 5°－cos 35°sin 5°＝sin（35°－5°）＝sin 30°＝. 2.A　＝＝tan（－45°）＝－1. 3.C　f（x）＝sin x·cos －cos x·sin ＋cos x·cos ＋sin x·sin ＝sin x－cos x＋cos x＋sin x＝sin x，∵－1≤sin x≤1，∴函数f（x）的最大值是.故选C. 4.　解析：∵B为锐角，sin B＝，∴cos B＝，∴tan B＝，∴tan（A＋B）＝＝＝1.∵0＜A＋B＜π，∴A＋B＝. 5.解：∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120° ＝tan 60°（1－tan 18°tan 42°）＋tan 120° ＝－tan 60°tan 18°tan 42°， ∴原式＝－1. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用 课标要求 1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式（逻辑推理）. 2.能够运用两角和与差的正弦、正切公式解决三角函数的化简、求值问题（逻辑推理、数学运算）. 　　乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的思想达到想象中任何角落的工具，并且功能多样，他用类比介绍了这一引领信息时代的创新发明.我们一旦开始给予类比密切的关注，就会发现它在生活中随处可见，类比可以推动创新. 【问题】　你能用类比的方法推导出sin（α±β）吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　两角和与差的正弦、正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正弦 sin（α＋β）＝　　　　 Sα＋β α，β∈R 两角差的正弦 sin（α－β）＝　　　 Sα－β 两角和的正切 tan（α＋β）＝ Tα＋β α，β，α＋β≠　　　　 两角差的正切 tan（α－β）＝　　　 Tα－β α，β，α－β≠kπ＋（k∈Z） 　　提醒：两角和与差的正切公式的变形与特例：①变形公式：tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）；tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）；tan αtan β＝1－.②公式的特例：tan＝；tan（－α）＝. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.（　　） （2）存在α，β∈R，使得sin（α－β）＝sin α－sin β成立.（　　） （3）sin（α－β）＝sin βcos α－sin αcos β.（　　） （4）tan能根据公式tan（α＋β）直接展开.（　　） （5）存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tan α＋tan β成立.（　　） 2.＝（　　） A. B.－ C. D.－ 3.在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C＝　　　　. 题型一｜给角化简求值 【例1】　化简下列各式： （1）； （2）tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°； （3）（tan 10°－）·. 尝试解答 通性通法 解决给角化简求值问题的策略 （1）化简：三角函数式化简的主要思路有：①观察角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角；②观察函数特点，向同名转化，弦切互化，通常是切化弦； （2）求值：运用两角和与差的正弦公式求三角函数值主要有以下几种形式：一是将非特殊角转化为特殊角的三角函数，如sin 15°＝sin（45°－30°）＝sin（60°－45°）；二是逆用公式凑成特殊角求值，如sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°＝sin（13°＋17°）＝sin 30°；三是进行拆角、拼角，整体代换求值，这一点与两角和与差的余弦公式的应用基本一致，如α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β. 【跟踪训练】 化简下列各式： （1）tan 10°·tan 20°＋（tan 10°＋tan 20°）； （2）sin（α＋β）cos α－[sin（2α＋β）－sin β]. 题型二｜给值求值 【例2】　已知＜α＜，0＜β＜，cos＝－，sin＝. （1）求sin（α＋β）的值； （2）求tan α的值. 尝试解答 通性通法 给值求值的解题策略 　　在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： （1）当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差； （2）当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角. 【跟踪训练】 1.若tan β＝3，tan（α－β）＝－2，则tan α＝（　　） A. B.－ C.1　 D.－1 2.已知α为锐角，sin α＝，β是第四象限角，cos β＝，则sin（α＋β）＝　　　　　　. 题型三｜给值求角 【例3】　已知tan（α－β）＝，tan β＝－，α，β∈（0，π），求2α－β的值. 尝试解答 通性通法 　　根据三角函数值求角时，一般先求出该角的某个三角函数值，再确定该角的取值范围，最后得出该角的大小.至于求该角的哪一个三角函数值，这要取决于该角的取值范围，然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定.一般地，若θ∈（0，π），则通常求cos θ或tan θ；若θ∈，则通常求sin θ或tan θ，否则容易导致增解. 【跟踪训练】 已知sin α＝－，cos β＝，且α∈，β∈，求α＋β的值. 1.sin 35°cos 5°－cos 35°sin 5°＝（　　） A.　　　B.1　　　C.2　　　D.2sin 40° 2.＝（　　） A.－1 B.1 C.－ D.－ 3.函数f（x）＝sin＋cos的最大值是（　　） A. B.1 C. D.2 4.已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝　　　　. 5.求的值. 提示：完成课后作业　第四章　§2　2.2 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $