第4章 2.1 两角和与差的余弦公式及其应用(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦两角和与差的余弦公式这一核心知识点，前承三角函数基本概念，后启和差角其他公式应用，通过试验验证错误猜想、推导公式、分题型（简单应用、给值求值、给值求角）构建学习支架，帮助学生逐步掌握公式推导与应用。 该资料以问题驱动（如“cos(α-β)=cosα-cosβ是否正确”）引导学生用数学眼光发现问题，通过公式推导和思考题培养逻辑推理（如由Cα-β推导Cα+β），例题中“拆角凑角”方法提升数学运算能力。课中助力教师引导探究，课后练习题与跟踪训练帮助学生巩固应用，查漏补缺。

2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 课标要求 1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义（数学抽象、逻辑推理）. 2.能够运用两角和与差的余弦公式解决、化简求值问题（数学运算）. 很多同学认为两角差的余弦cos（α－β）＝cos α－cos β，那么这个结论正确吗？让我们做一个试验：cos（60°－30°）与cos 60°－cos 30°的值作比较，cos（60°－30°）＝cos 30°＝，cos 60°－cos 30°＝－，显然，cos（60°－30°）≠cos 60°－cos 30°，由此可得cos（α－β）＝cos α－cos β不一定成立. 【问题】　如何用α，β的正、余弦值表示cos（α－β）呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 Cα－β cos（α－β）＝　　　 α，β∈R 两角和的余弦公式 Cα＋β cos（α＋β）＝　　　 α，β∈R 　　提醒：（1）公式中的角α，β是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos（α－β），cos（α＋β）是一个整体；（2）公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正、号相反”记忆公式. 【想一想】 1.如何由公式Cα－β推导公式Cα＋β？ 2.诱导公式cos＝sin α与公式Cα－β有何关系？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两角和与差的余弦公式中，角α，β是任意的.（　　） （2）cos（60°＋30°）＝cos 60°＋cos 30°.（　　） （3）∃α，β∈R，cos（α＋β）＝cos α－cos β成立.（　　） 2.cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝（　　） A.　　　B.－　　　C.0　　　D.1 3.已知cos α＝－，α∈（0，π），则cos＝　　　　. 题型一｜两角差（和）的余弦公式的简单应用 【例1】　求下列各式的值： （1）cos（－375°）； （2）cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； （3）cos（α＋45°）cos α＋sin（α＋45°）sin α. 尝试解答 通性通法 利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路 （1）把非特殊角转化为特殊角的差或和，正用公式直接求解； （2）在转化过程中，充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值. 【跟踪训练】 　 求下列各式的值： （1）cos（θ＋21°）cos（θ－24°）＋sin（θ＋21°）·sin（θ－24°）； （2）cos. 题型二｜给值求值 【例2】　（1）已知cos α－2cos β＝－，sin α－2sin β＝，求cos（α－β）的值； （2）已知α，β∈，且sin α＝，cos（α＋β）＝－，求cos β的值. 尝试解答 通性通法 给值求值的解题策略 （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角； （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：①α＝（α－β）＋β；②α＝＋；③2α＝（α＋β）＋（α－β）；④2β＝（α＋β）－（α－β）. 【跟踪训练】 　已知cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝－，＜α＋β＜2π，＜α－β＜π，求cos 2α的值. 题型三｜给值求角 【例3】　已知cos α＝，cos（α－β）＝，且0＜β＜α＜，求β的值. 尝试解答 通性通法 已知三角函数值求角的解题步骤 （1）确定角的范围.根据条件确定所求角的范围； （2）求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数； （3）结合三角函数值及角的范围求角. 提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案. 【跟踪训练】 　已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值. 1.cos 50°＝（　　） A.cos 70°cos 20°－sin 70°sin 20° B.cos 70°sin 20°－sin 70°cos 20° C.cos 70°cos 20°＋sin 70°sin 20° D.cos 70°sin 20°＋sin 70°cos 20° 2.cos（α－35°）cos（25°＋α）＋sin（α－35°）·sin（25°＋α）的值为（　　） A.－ B. C.－ D. 3.已知点P（1，2）是角α终边上一点，则cos（－α）＝（　　） A. B. C.－ D. 4.若α∈，sin α＝－，则cos＝　　　　. 5.若a＝（cos 60°，sin 60°），b＝（cos 15°，sin 15°），则a·b＝　　　　. 提示：完成课后作业　第四章　§2　2.1 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ §2　两角和与差的三角函数公式 2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 【基础落实】 知识点 cos αcos β＋sin αsin β　cos αcos β－sin αsin β 想一想 1.提示：在公式Cα－β中令－β代替β即可. 2.提示：诱导公式cos＝sin α是公式Cα－β中，β＝的特殊情况. 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）√ 2.C　逆用两角和的余弦公式可得cos 75°·cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos（75°＋15°）＝cos 90°＝0. 3.　解析：因为α∈（0，π），且cos α＝－，所以sin α＝＝，所以cos＝coscos α＋sin sin α＝×＋×＝. 【典例研析】 【例1】　解：（1）cos（－375°）＝cos 375°＝cos 15°＝cos（45°－30°）＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝. （2）cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos（75°－15°）＝cos 60°＝. （3）cos（α＋45°）cos α＋sin（α＋45°）sin α ＝cos[（α＋45°）－α]＝cos 45°＝. 跟踪训练 　解：（1）原式＝cos[θ＋21°－（θ－24°）]＝cos 45°＝. （2）cos＝cos＝cos ＝cos＝cos cos －sin sin ＝×－×＝. 【例2】　解：（1）由 得 两式相加，得5－4cos（α－β）＝， 所以cos（α－β）＝. （2）因为α，β∈，所以0＜α＋β＜π， 由cos（α＋β）＝－，得sin（α＋β）＝， 又sin α＝，所以cos α＝， 所以cos β＝cos[（α＋β）－α] ＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α ＝×＋×＝. 跟踪训练 　解：因为cos（α＋β）＝，＜α＋β＜2π， 所以sin（α＋β）＝－＝－. 因为cos（α－β）＝－，＜α－β＜π， 所以sin（α－β）＝＝. 所以cos 2α＝cos[（α＋β）＋（α－β）]＝cos（α＋β）cos（α－β）－sin（α＋β）sin（α－β） ＝×－×＝－. 【例3】　解：由cos α＝，0＜α＜，得sin α＝＝＝. 由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜. 又∵cos（α－β）＝， ∴sin（α－β）＝＝＝. ∵β＝α－（α－β）， ∴cos β＝cos[α－（α－β）] ＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β） ＝×＋×＝. ∵0＜β＜，∴β＝. 跟踪训练 　解：∵α，β均为锐角， ∴sin α＝，sin β＝. ∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β ＝×＋×＝. 又sin α＜sin β， ∴0＜α＜β＜， ∴－＜α－β＜0. 故α－β＝－. 随堂检测 1.C　cos 50°＝cos（70°－20°）＝cos 70°·cos 20°＋sin 70°sin 20°. 2.B　原式＝cos[（α－35°）－（α＋25°）]＝cos 60°＝. 3.A　由题意可得sin α＝，cos α＝，则cos（－α）＝cos cos α＋sin sin α＝×＋×＝.故选A. 4.　解析：因为α∈，sin α＝－，所以cos α＝，于是cos＝cos ·cos α＋sin sin α＝×＋×＝. 5.　解析：a·b＝cos 60° ·cos 15°＋sin 60°·sin 15°＝cos（60°－15°）＝cos 45°＝. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $