第4章 1.1 基本关系式 1.2 由1个三角函数值求其他三角函数值 1.3 综合应用(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦同角三角函数基本关系这一核心知识点，从单位圆几何意义出发推导sin²α+cos²α=1与sinα/cosα=tanα，构建“概念推导—基础应用（知一求二）—综合拓展（齐次式、sin±cos与sin cos关系、化简证明）”的学习支架。 该资料以数学眼光通过单位圆图形抽象数量关系，以数学思维设计分层题型（判断、选择、解答）及通性通法总结，培养逻辑推理与数学运算。课中助教师系统授课，课后通过跟踪训练与练习题帮助学生查漏补缺，强化应用能力。

第四章　三角恒等变换 §1　同角三角函数的基本关系 1.1　基本关系式 1.2　由一个三角函数值求其他三角函数值 1.3　综合应用 【基础落实】 知识点 平方和　tan α　商　正切 想一想 1.提示：公式sin2α＋cos2α＝1对α∈R成立，公式tan α＝适用的条件为. 2.提示：成立. 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）× 2.B　因为cos α＝，且α是第四象限角.所以sin α＝－＝－，所以tan α＝＝－. 3.0或8　解析：由sin2θ＋cos2θ＝1得，m＝0或8. 【典例研析】 【例1】　解：（1）因为sin α＝－，α是第三象限角， 所以cos α＝－＝－＝－. 所以tan α＝＝－×（－）＝. （2）因为cos α＝＞0， 且cos α≠1， 所以α是第一或第四象限角. 当α是第一象限角时， sin α＝＝＝， 所以tan α＝＝. 当α是第四象限角时， sin α＝－＝－＝－， 所以tan α＝＝－. （3）依题意，得 解得cos2α＝. 又α∈（π，）， 所以cos α＝－，sin α＝－. 跟踪训练 1.B　因为α是第四象限角，cos α＝，所以sin α＝－＝－＝－. 2.C　由tan φ＝－＜0，且φ为三角形的内角，知φ为钝角.将sin φ＝－cos φ代入sin2φ＋cos2φ＝1中，得cos2φ＝，所以cos φ＝－. 【例2】　（1）－1　（2）　（3）1 解析：（1）注意到分式的分子和分母均是关于sin α，cos α的一次齐次式，由题意得cos α≠0，所以可将分子分母同时除以cos α，然后整体代入tan α＝2的值. ＝＝＝－1. （2）注意到分式的分子和分母均是关于sin α，cos α的二次齐次式，因为cos2α≠0，所以分子分母可同时除以cos2α，则＝＝＝. （3）似乎跟前两题没什么联系，但若能注意到sin2α＋cos2α＝1，则有4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝＝，这样便使得分子分母均为二次齐次式. 同（2）有＝＝＝1. 跟踪训练 1.D　由已知易得cos2α≠0，∵cos2α＝＝，且tan α＝2，∴cos2α＝＝. 2.C　∵log4（2sin α＋cos α）＋log4（sin α＋2cos α）＝1，∴log4[（2sin α＋cos α）（sin α＋2cos α）]＝1，即（2sin α＋cos α）（sin α＋2cos α）＝4，化简得2sin2α＋5sin αcos α＋2cos2α＝4，∴＝4，＝4，即2tan2α－5tan α＋2＝0，解得tan α＝或tan α＝2. 【例3】　解：已知sin α＋cos α＝， ① 两边平方得1＋2sin αcos α＝， 即2sin αcos α＝－. 又α∈（0，π），故cos α＜0＜sin α， 所以sin α－cos α＞0.因此（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α＝， 即sin α－cos α＝. ② 由①②可得sin α＝，cos α＝， 因此tan α＝＝－（2＋）. 跟踪训练 　B　∵（cos α－sin α）2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝1－2×＝，∴cos α－sin α＝±.又＜α＜，sin α＞cos α，∴cos α－sin α＝－. 【例4】　解：（1）原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝sin α＋cos α. （2）证明：法一　左边＝ ＝ ＝ ＝＝右边，所以原等式成立. 法二　因为－ ＝ ＝＝＝0， 所以＝. 法三　因为1－sin2α＝cos2α， 所以（1－sin α）（1＋sin α）＝cos2α， 由已知得cos α≠0，1－sin α≠0， 所以＝， 所以＝. 跟踪训练 　解：（1）因为α是第二象限角， 所以sin α＞0，cos α＜0. 故tan α·＝tan α· ＝tan α·＝·＝·＝－1. （2）证明：左边＝ ＝＝＝＝右边. 所以原式成立. 随堂检测 1.C　由同角三角函数的基本关系式得sin α＝－（α是第四象限角）是成立的. 2.A　＝＝｜sin 50°－cos 50°｜＝sin 50°－cos 50.故选A. 3.B　易知cos α≠0，则＝＝＝. 4.B　∵sin A＋cos A＝，∴1＋2sin A·cos A＝，∴sin A cos A＝－＜0，又∵A∈（0，π），sin A＞0，∴cos A＜0，A为钝角.故选B. 5.证明：由tan2α＝2tan2β＋1，可得tan2β＝（tan2α－1）， 即＝， 故＝＝×，整理得＝， 即sin2β（1－sin2α）＝（1－sin2β）（ sin2α－）， 展开得sin2β＝sin2α＋sin2β－，即sin2β＝2sin2α－1. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1　基本关系式　1.2　由一个三角函数值求其他三角函数值　1.3　综合应用 课标要求 1.理解同角三角函数基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x（逻辑推理、数学运算）. 2.会根据同角三角函数的基本关系式解决已知一个角的某个三角函数值求其他三角函数值（简称“知一求二”）及简单的三角恒等式的证明问题、化简问题（逻辑推理、数学运算）. 因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系.我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系.如图，设点P（x，y）是角α的终边与单位圆的交点. 【问题】　你能根据图形推导出同角三角函数的关系式吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的　　　　等于1 商数关系 　　　　＝ 同一个角α的正弦、余弦的　 　等于角α的　 　 【想一想】 1.同角三角函数的基本关系式成立的条件分别是什么？ 2.对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）sin2α＋cos2β＝1.（　　） （2）对任意角α，＝tan .（　　） （3）利用平方关系求sin α或cos α时，会得到正负两个值.（　　） （4）若sin α＝，则cos α＝.（　　） 2.已知cos α＝，α是第四象限角，则tan α＝（　　） A.　　B.－　　C.　　D.－ 3.已知sin θ＝，cos θ＝，则m＝　　　　. 　　 题型一｜由一个三角函数值求其他三角函数值 【例1】　（1）若sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值； （2）若cos α＝，求tan α的值； （3）已知α∈（π，），且tan α＝2，求sin α，cos α的值. 尝试解答 通性通法 　　已知角α的某个三角函数值，求角α的其他三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系， 再用商数关系.另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin2α＋cos2α”. 【跟踪训练】 1.若α是第四象限角，且cos α＝，则sin α＝（　　） A. B.－ C. D.－ 2.已知tan φ＝－，且φ为三角形的内角，则cos φ的值为（　　） A.－ B. C.－ D.－2 题型二｜关于sin α，cos α的齐次式的求值 【例2】　已知tan α＝2，则 （1）＝　　　　； （2）＝　　　　； （3）4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝　　　　. 尝试解答 通性通法 求关于sin α，cos α齐次式的值的基本方法 　　已知角α的正切值，求由sin α和cos α构成的齐次式（每个单项式的次数相同或分子、分母的次数相同）的值. （1）形如的分式，可将分子、分母同时除以cos α；形如的分式，可将分子、分母同时除以cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值； （2）形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，可将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的分式求解. 【跟踪训练】 1.已知tan α＝2，则cos2α＝（　　） A.　　　B.　　　C.　　D. 2.若α∈R，且log4（2sin α＋cos α）＋log4（sin α＋2cos α）＝1，则tan α的值是（　　） A. B.2 C.或2 D.不存在 题型三｜利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系求值 【例3】　已知sin α＋cos α＝，α∈（0，π），求tan α的值. 尝试解答 通性通法 　　sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α，利用此关系求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号. 【跟踪训练】 　已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α＝（　　） A.　　B.－　　C.　　D.－ 题型四｜利用同角三角函数关系化简、证明 【例4】　（1）化简：； （2）求证：＝. 尝试解答 通性通法 1.三角函数的化简方法 （1）化切为弦，即把非正弦、余弦函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的； （2）对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的； （3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的. 2.证明三角恒等式常用的方法 （1）从一边开始，证得它等于另一边； （2）证明左右两边都等于同一个式子； （3）变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其等价的等式. 【跟踪训练】 （1）化简tan α·，其中α是第二象限角； （2）求证：＝. 1.若α是第四象限角，则下列各式中，成立的是（　　） A.tan α＝－ B.cos α＝－ C.sin α＝－ D.tan α＝ 2.化简的结果为（　　） A.sin 50°－cos 50° B.sin 50°＋cos 50° C.cos 50°－sin 50° D.－sin 50°－cos 50° 3.若tan α＝2，则＝（　　） A.0　　　B.　　　C.1　　 D. 4.已知角A是三角形的一个内角，sin A＋cos A＝，则这个三角形是（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 5.已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 提示：完成课后作业　第四章　§1　1.1　1.2　1.3 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $