第2章 平面向量及其应用 章末整合提升 体系构建 素养提升(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

一、数学抽象 　　数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号 或者数学术语予以表征.在本章中主要表现为理解向量的基本概念. 培优一｜平面向量的基本概念 【例1】　（1）〔多选〕下列命题中，其中正确的是（　　） A.a∥b⇔存在唯一的实数λ∈R，使得b＝λa B.e为单位向量，且a∥e，则a＝±｜a｜e C.｜a·a·a｜＝｜a｜3 D.若a·b＝b·c且b≠0，则a＝c （2）若向量a＝（x，2），b＝（2，3），c＝（2，－4），且a∥c，则a在b上的投影向量为（　　） A. B. C. D. 尝试解答 二、数学运算 　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.在本章中主要表现在向量的线性运算、数量积运算及解三角形中. 培优二｜平面向量的线性运算 【例2】　（1）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（　　） A.－ B.－ C.＋ D.＋ （2）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝（　　） A.3m－2n B.－2m＋3n C.3m＋2n D.2m＋3n 尝试解答 培优三｜平面向量的数量积运算 【例3】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（　　） A.－2　　　B.－1 C.1　　　D.2 （2）（2022·全国甲卷13题）设向量a，b的夹角的余弦值为，且｜a｜＝1，｜b｜＝3，则（2a＋b）·b＝　　　　. 尝试解答 培优四｜利用正、余弦定理解三角形 【例4】　记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，cos B＝. （1）求△ABC的面积； （2）若sin Asin C＝，求b. 尝试解答 三、逻辑推理 　　逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.在本章中，主要表现在利用向量判定平行与垂直及利用正弦、余弦定理判定三角形的形状等问题中. 培优五｜平面向量的应用 【例5】　（1）O是△ABC所在平面内的一定点，P是△ABC所在平面内的一动点，若（－）·（＋）＝（－）·（＋）＝0，则O为△ABC的（　　） A.内心　　B.外心　　C.重心　　D.垂心 （2）若＝（a＋5b），＝－2a＋8b，＝3（a－b），则共线的三点是　　　　. 尝试解答 培优六｜判定三角形的形状 【例6】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.若sin B·sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（　　） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 尝试解答 培优七｜向量在平面几何中的应用 【例7】　如图所示，在正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且分别靠近点A，点B，AE，CD交于点P.求证：BP⊥DC. 尝试解答 四、数学建模 　　数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.在本章中主要表现在利用正弦、余弦定理解决实际问题中. 培优八｜余弦定理、正弦定理在实际问题中的应用 【例8】　某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度.该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆MC（C在水平面）垂直于水平面，水平面上两点A，B的距离为 m，测得∠MBA＝θ，∠MAB＝－θ，其中sin θ＝，在A点处测得旗杆顶点的仰角为φ，sin φ＝，则该旗杆的高度为（单位：m）（　　） A.9 B.12 C.15 D.18 尝试解答 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末整合提升 【例1】　（1）BC　（2）C　解析：（1）若a为零向量，则A不成立.根据向量数量积的概念可知D错误.易知B、C正确. （2）因为a＝（x，2），c＝（2，－4），且a∥c，所以－4x＝4，解得x＝－1.所以a＝（－1，2），所以a在b上的投影向量为b＝（2，3）＝（2，3）＝.故选C. 【例2】　（1）A　（2）B　解析：（1）＝＋＝＋＝×（＋）＋（－）＝－.故选A. （2）法一　因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋ 3（－）＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B. 法二（作图法）　如图，利用平行四边形法则，合成出向量，由图易知（即向量m）的系数为负数，排除A、C、D，故选B. 【例3】　（1）D　（2）11　解析：（1）法一　因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D. 法二　因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得x＝2，故选D. （2）（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝2｜a｜·｜b｜·cos＜a，b＞＋｜b｜2＝2×1×3×＋32＝11. 【例4】　解：（1）由S1－S2＋S3＝，得（a2－b2＋c2）＝，即a2－b2＋c2＝2， 又a2－b2＋c2＝2accos B，所以accos B＝1. 由cos B＝得ac＝＝， 则△ABC的面积S＝acsin B＝××＝. （2）由sin Asin C＝，ac＝及正弦定理知＝＝＝， 即b2＝×＝，得b＝. 【例5】　（1）B　（2）A，B，D 解析：（1）由（－）·（＋）＝0，知·2＝0（其中D为CB的中点），所以O在BC的垂直平分线上.同理，O在AC的垂直平分线上，故O为△ABC的外心. （2）因为＝＋＝a＋5b，所以＝，则A，B，D三点共线. 【例6】　C　由b2＋c2＝a2＋bc及余弦定理知A＝，又由sin B·sin C＝sin2A及正弦定理得bc＝a2＝b2＋c2－bc，所以（b－c）2＝0，即b＝c，所以△ABC为一个内角为的等腰三角形，即为等边三角形. 【例7】　证明：设＝λ，并设△ABC的边长为a，则有＝＋＝λ＋＝λ＋＝（2λ＋1）－λ，＝－. ∵∥， ∴（2λ＋1）－λ＝k－k， 则有 解得λ＝. ∴＝. ＝＋＝＋＝＋， ∴·＝·＝a2－a2－a2cos 60°＝0，∴⊥，∴BP⊥DC. 【例8】　B　在△ABM中，AB＝，∠AMB＝，sin∠MBA＝，∵＝，∴MA＝15，在Rt△ACM中，MC＝MAsin∠MAC＝15×sin φ＝15×＝12.故选B. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $