第二章平面向量及其应用章末检测（能力提升）-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第二章《平面向量及其应用》章末检测（能力提升） 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C A A C C D C AB BCD ACD 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【解析】D 因为，所以， 所以即，故. 2. 已知在梯形中，，，，若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【解析】A 因为，所以， 所以，所以， 所以 ， 所以，. 3. 已知向量，，设，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【解析】C 因为，， 所以， ， 所以，， ， 设与的夹角为， 则，又， 所以，即与的夹角为. 4. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 【解析】C因为，， 所以在上的投影向量为. 5. 已知，均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】C 因为，所以或， 当时，则，同向共线， 则，则充分性不成立， 若，则，反向共线， 则，此时，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 6. 已知在中，，，点沿运动，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【解析】A 在中，，，可得， 当点在上运动时，设，则，所以， 又因，所以，所以， 所以， 当时，取得最小值. 当点在上运动时，设，则， 所以， 又因为，所以，所以， 所以， 当时，取得最小值， 综上可得，的最小值是. 7. 设为单位向量，，当和夹角最大时，（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【解析】B 若，而，则终点位置在直线上，如下图示， 其中，则， 设，则， 而，显然， 所以，则， 又，可得， 所以，要最大，即最小， 而，当且仅当时取等号， 所以. 8. 已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【解析】D 和相互垂直， 则，则， 结合图象，， 则 ， 因为恒成立，则， 即，则， 对称轴时： ，即. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是（ ） A. 与共线 B. 与的夹角余弦值为 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，则 【解析】BD 对于A，，又，，与不共线，故A错误； 对于B，，又，，故B正确； 对于C，向量在向量上的投影向量为，故C错误； 对于D，，则，故D正确. 10. 记的内角，，的对边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【解析】BCD 对于A，因为，，所以，所以，所以A错误， 对于B，因为，所以由余弦定理得， 所以由正弦定理得，所以， 因为，所以或， 若，则，所以，此时， 所以，则，此时，所以B正确， 对于C，由选项B可知，所以，所以，所以C正确， 对于D，由正弦定理得 ， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以，所以D正确. 11. 已知平面向量，，，，满足，，，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为14 D. 【解析】ACD 对于A，，故A正确； 对于B，，因为， 所以，故B错误； 对于C，建立如图坐标系， 可知，，，, 所以 ， 又因为，所以， 即，代入上式得： ， 由得： ， 不妨设，则 ，其中 当，即此时取到最大值，故C正确； 对于D, 利用代入得： ， 其中，取最值条件就是和， 即此时取到最大值， 即此时取到最小值， 故D正确. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量 ，满足，，且，则 ，夹角的余弦值为________． 【解析】，解得， 所以. 13. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是___________. 【解析】如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，，，，； ∴，，； ∴， ∴. 14. 设G为的重心，满足．若．则实数的值为________． 【解析】在中，， 则，由正弦定理得， 由G为的重心，，得， 即，则， 即，因此，所以. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求； （2）当为何值时，与垂直? 【解析】（1）因为，， 所以，即，则， 所以； （2）若与垂直， 则， 即， 即，解得. 16. 在中，内角、、对边分别为、、，且. （1）求角； （2）若是锐角三角形，且，求的取值范围. 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 因为、，则，所以，， 则有，故. （2）因为为锐角三角形，则，所以，， 所以，，则， 由正弦定理可得， 所以，， 即的取值范围是. 17. 已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【解析】（1）因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . （2）因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. （3）因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，，解得，此时，点为线段的中点. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）如图，为的外接圆的上一动点（含端点），. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）当且点不重合时，求. 【解析】（1）因为， 所以， 即， 所以， 因为，则，所以， 因为，所以. （2）（ⅰ）在中，由余弦定理可得， 所以圆的直径为， 又为的外接圆的上一动点（含端点），， 所以，所以的取值范围是. （ⅱ）在中，由正弦定理可得， 所以. 因为为外接圆上一点，所以， 因为，所以， 又， 所以. 19. 如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记. （1）在仿射坐标系中. ①若，求； ②若，且，的夹角为，求； （2）如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值. 【解析】（1）①因为， ， 所以； ②由，即， 得， ， ， 因为与的夹角为， 则，得； （2）依题意设， ， 因为为中点，则， 为中点，所以， 所以 ， 因为， 则， 在中依据余弦定理得，所以，代入上式得， ， 在中，由正弦定理， 设，则， ，其中，是取等号， 则. ( 第 1 页 共 15 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章《平面向量及其应用》章末检测（能力提升） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知在梯形中，，，，若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知向量，，设，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 5. 已知，均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知在中，，，点沿运动，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 3 7. 设为单位向量，，当和夹角最大时，（ ） A. 4 B. 5 C. D. 8. 已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是（ ） A. 与共线 B. 与的夹角余弦值为 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，则 10. 记的内角，，的对边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知平面向量，，，，满足，，，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为14 D. 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量 ，满足，，且，则 ，夹角的余弦值为________． 13. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是___________. 14. 设G为的重心，满足．若．则实数的值为________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求； （2）当为何值时，与垂直? 16. 在中，内角、、对边分别为、、，且. （1）求角； （2）若是锐角三角形，且，求的取值范围. 17. 已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）如图，为的外接圆的上一动点（含端点），. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）当且点不重合时，求. 19. 如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记. （1）在仿射坐标系中. ①若，求； ②若，且，的夹角为，求； （2）如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值. ( 第 1 页 共 15 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$