1 1.1 基本关系式&1.2 由一个三角函数值求其他三角函数值-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§1　同角三角函数的基本关系　 1.1 　基本关系式　1.2　由一个三角函数值求其他三角函数值 知识层面 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式．　2.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.　3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值． 素养层面 通过对同角三角函数基本关系式的推导，培养学生逻辑推理素养；通过由一个三角函数值求其他三角函数值培养学生数学运算素养． 知识点一　 基本关系式 问题1.观察下表，你能发现什么？ α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 提示：对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1. 问题2.如图所示，如果对于任意角α的终边与单位圆的交点为P(cos α，sin α)，那么角α的三个三角函数值sin α，cos α与tan α之间的关系是什么呢？ 提示：sin2α＋cos2α＝1；tanα＝(α≠kπ＋，k∈Z). 1．同角三角函数的基本关系 基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 tanα＝(α≠kπ＋，k∈Z) 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 [微提醒]　(1)“同角”的含义：一是“角相同”，与角的表示形式无关．如sin2＋cos2＝1成立，这里的同角是指.二是对“任意”一个角，关系式都成立．(2)sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝仅对α≠＋kπ，k∈Z成立． 2．公式变形 sin2α＋cos2α＝1⇒ tan α＝⇒(α≠kπ＋，k∈Z). 学生用书第106页 例1　(1)对任意角α，β，下列等式恒成立的为(　　) A．sin23α＋cos23α＝1 B．＝tan C．若sin2＋cos2＝1，则sin2α＋cos2β＝1 D．sinα＝cos α tan α (2)设x∈R，则“sin x＝0”是“cos x＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)由同角三角函数的基本关系知sin23α＋cos23α＝1恒成立．故选A． (2)若sin x＝0，则sin 2x＝1－cos 2x＝0⇒cos x＝±1，故充分性不成立，若cos x＝1，则cos 2x＝1－sin 2x＝1⇒sin x＝0，故必要性成立，故“sin x＝0”是“cos x＝1”的必要不充分条件．故选B． 1．同角三角函数的基本关系式中的角都是“同一个角”，注意平方关系式和商数关系式中的角α的取值范围． 2．利用三角函数的定义解决与三角函数的有关问题，是解决三角函数问题的一个基本思路．比如利用三角函数的定义证明同角三角函数关系式．　　 对点练1.(1)设角θ满足条件则θ所在的象限是(　　) A．一、二 B．二、三 C．二、四 D．不能确定 (2)(多选)若α是第二象限角，则下列各式中成立的是(　　) A．cos α＝－ B．＝sin α－cos α C．cos α＝－ D．＝sin α＋cos α 答案：(1)C　(2)BC 解析：(1)因为sin θ＝，cos θ＝，且sin2θ＋cos2θ＝1，所以＋2＝1，解得k＝0或k＝8，若k＝0，则sinθ＝－，cos θ＝，此时θ所在象限是第四象限；若k＝8，则sin θ＝，cos θ＝－，此时θ所在象限是第二象限，所以θ为第二象限或第四象限角．故选C． (2)对于A，由同角三角函数的基本关系式，知cos α＝，所以A错误；对于B，＝＝|sin α－cos α|，因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以原式＝sin α－cos α，所以B正确；对于C，α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以有cos α＝－，所以C正确；对于D，＝＝|sin α＋cos α|，但是α是第二象限角，所以sin α＋cos α符号不确定，所以D错误．故选BC． 知识点二　由一个三角函数值求其他三角函数值 问题3.已知一个角的某一个三角函数值，能否求这个角其他三角函数值？ 提示：能求． 由角α的某一个三角函数值，利用sin2α＋cos2α＝1和tanα＝这两个关系式，可以求出其他三角函数值． [微提醒]　(1)若已知sin α＝m，先求cos α＝±，再由公式tanα＝(α≠＋kπ，k∈Z)求tan α. (2)若已知cos α＝m，先求sin α＝±，再由公式tanα＝(α≠＋kπ，k∈Z)求tan α. (3)若已知tan α＝m，则由tan α＝＝m，可得sin α＝m cos α，再结合sin2α＋cos2α＝1，通过方程组求解． (4)注意要根据角的终边所在的象限，判断三角函数值的符号． 角度1　已知角的终边的位置 例2　(链教材P146例1)已知cosα＝－，α是第二象限角，求sin α，tan α的值． 解：当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0， 所以sin α＝＝＝， 所以tanα＝＝＝－. 已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法 1．已知一个三角函数值求其他三角函数值时，一般是先选平方关系，再用商数关系． 2．利用平方关系求三角函数值时，应根据角α的终边所在的象限确定所求三角函数值的符号．　　 学生用书第107页 对点练2.已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α和cos α的值． 解：因为tan α＝，所以＝，即sin α＝cos α. 因为sin2α＋cos2α＝1，所以＋cos2α＝1，则cos2α＝. 又α是第三象限角，所以cosα＝－，则sin α＝－. 角度2　未知角的终边的位置 例3　(链教材P146例2，P147例3)已知tan θ＝a(a≠0)，求sin θ和cos θ. 解：因为tan θ＝a，所以＝a，所以sin θ＝a cos θ， 又因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以a2cos2θ＋cos2θ＝1， 解得cos2θ＝， 因为tanθ＝a(a≠0)，所以θ的终边不在x轴上， 所以cos θ＝ 所以sin θ＝cos θtan θ ＝ 1．如果已知三角函数值，但没有指定角的终边在哪个象限，那么先由已知三角函数值确定角终边可能在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解． 2．如果所给的三角函数值含字母，且没有指定角的终边在哪个象限，那么就需要进行分类讨论．　　 对点练3.(1)已知sin α＝，求cos α，tan α的值； (2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． 解：(1)因为sin α＝>0，所以α是第一或第二象限角． ①当α为第一象限角时，cos α＝＝＝，tanα＝＝； ②当α为第二象限角时，cos α＝－，tan α＝－. (2)因为cos α＝－<0， 所以α是第二或第三象限角． ①当α是第二象限角时，则sin α＝ ＝＝， tan α＝＝＝－. ②当α是第三象限角时，则sin α＝－＝－，tanα＝. 基本关系式的综合应用 例4　已知sin θ＝，cos θ＝，求tan θ的值． 解：由sin2θ＋cos2θ＝1，得＋＝1， 解得m＝0或m＝8. 当m＝0时sinθ<0，不符合<θ<π，所以m＝0舍去； 当m＝8时，sin θ＝，cos θ＝－，所以tan θ＝－. 在利用基本关系式求值时，要注意符号的选取，且注意sin2α＋cos2α＝1变形的应用．　　 对点练4.(新定义)在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r>0)，规定：比值叫做α的正余混弦，记作sch α.若sch α＝(0<α<π)，则tan α＝____________. 答案： 解析：因为0<α<π，则sin α>0，由正余混弦的定义可得sch α＝＝－＝sin α－cos α. 则有解得 因此，tan α＝＝. 知识 1.同角三角函数关系式的理解.2.已知某一个三角函数值，求其他三角函数值 方法 解方程(组)法、分类讨论法 易错误区 求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论 学生用书第108页 1．下列四个命题中正确的是(　　) A．sin α＝且cos α＝ B．sin α＝0且cos α＝－1 C．tan α＝1且cos α＝－1 D．tan α＝－(α为第二象限角) 答案：B 解析：由sin2α＋cos2α＝1可知A不正确，B正确；D不正确，tanα＝；C不正确，若cos α＝－1，则α＝π＋2kπ(k∈Z)，则tan α＝0.故选B． 2．已知cos α＝－，且π<α<，则sin α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：A 解析：由题设得sin α＝－＝－.故选A． 3．(2024·江西南昌高一测试)已知tan α＝，α∈(π，)，则cos α的值是(　　) A．± B． C．－ D． 答案：C 解析：由tan α＝，可得＝，又sin2α＋cos2α＝1，可得cos2α＋cos2α＝1，解得cos2α＝，因为α∈(π，)，所以cosα＝－.故选C． 4．若sin A＝，且A是三角形的一个内角，则＝________． 答案：6或－ 解析：因为sin A＝>0，且A是三角形的一个内角，所以A为锐角或钝角．当A为锐角时，cos A＝＝，所以原式＝＝6；当A为钝角时，cosA＝－＝－，所以原式＝＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$