第2章 5.2 向量数量积的坐标表示 5.3 利用数量积计算长度与角度(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

5.2　向量数量积的坐标表示　5.3　利用数量积计算长度与角度 课标要求 1.掌握向量数量积的坐标表示（数学运算）. 2.会利用数量积计算向量的模与夹角（数学运算）. 　　通过前面的学习，我们知道，已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），我们可以求出a＋b，a－b以及λa（λ≠0）的坐标. 【问题】　那么如何用a与b的坐标来表示a·b呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　平面向量数量积、模、夹角的坐标表示 1.平面向量数量积的坐标表示 已知两个向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝　　　　　　.这就是说，两个向量的数量积等于它们　　　　　　　　　　. 2.平面向量模的坐标表示 （1）设a＝（x，y），则｜a｜2＝　　　　　　，或｜a｜＝　　　　　　； （2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），那么a＝（x2－x1，y2－y1），｜a｜＝　　　　　，这就是平面直角坐标系中两点间的距离公式. 3.平面向量垂直的充要条件的坐标表示 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b⇔　　　　　　　　. 4.平面向量夹角的坐标表示 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝　　　　　　　　（｜a｜｜b｜≠0）. 【想一想】 1.向量垂直与向量平行的坐标表示有什么区别？ 2.已知向量a＝（x，y），你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b⇔x1y2－x2y1＝0.（　　） （2）若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＞0，则两向量的夹角θ一定是锐角.（　　） （3）若A（x1，y1），B（x2，y2），则｜｜＝.（　　） （4）两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），满足x1y2－x2y1＝0，则向量a与b的夹角为0°.（　　） 2.已知＝（2，3），＝（3，t），｜｜＝1，则·＝（　　） A.－3　　　　　　　 B.－2 C.2 D.3 3.已知向量a＝（1，），b＝（，1），则a与b夹角的大小为　　　　. 题型一｜平面向量数量积的坐标运算 角度1　数量积的坐标运算 【例1】　已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2）. （1）求a·（a－b）； 尝试解答 （2）求（a＋b）·（2a－b）； （3）若c＝（2，1），求（a·b）·c，a·（b·c）. 尝试解答 角度2　数量积的坐标运算在几何图形中的应用 【例2】　如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若＝－7，3＝，则·＝（　　） A.11　　　　　　　　　 B.10 C.－10 D.－11 尝试解答 通性通法 数量积运算的途径及注意点 （1）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先将向量用基表示，再利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算； （2）对于以图形为背景的向量数量积运算题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解. 【跟踪训练】 1.a＝（2，1），b＝（2，－1），c＝（0，1），则（a＋b）·c＝　　　　；a·b＝　　　　. 2.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝　　　　. 题型二｜与平面向量模有关的问题 【例3】　（2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（　　） A.　　　 B.　　　 C.　　　D.1 尝试解答 通性通法 求向量的模的两种基本策略 （1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a·a，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题； （2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝｜a｜2＝x2＋y2，于是有｜a｜＝. 【跟踪训练】 　在▱ABCD中，已知＝（－4，2），＝（2，－6），那么｜2＋｜＝（　　） A.5 B.2 C.2 D. 题型三｜向量的夹角与垂直问题 【例4】　已知向量a＝（2，－1），b＝（m，3），若（a＋b）⊥a，则a，b的夹角为（　　） A. B. C. D. 尝试解答 通性通法 解决向量夹角问题的方法及注意事项 （1）先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及｜a｜｜b｜，再由cos θ＝求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是[0，π]； （2）由于0≤θ≤π，利用cos θ＝来判断角θ时，要注意cos θ＜0有两种情况，一是θ为钝角，二是θ＝π；cos θ＞0也有两种情况，一是θ为锐角，二是θ＝0. 【跟踪训练】 1.已知向量a＝（3，1），b＝（1，0），c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝　　　　. 2.已知a＝（1，2），b＝（－2，－4），｜c｜＝. （1）求｜a＋2b｜； （2）若（a＋b）·c＝，求向量a与c的夹角. 1.已知a＝（3，4），b＝（－2，－1），则（a－b）·（a＋2b）＝（　　） A.5　　　B.10　　　C.15　　　D.20 2.已知平面向量a＝（3，1），b＝（x，－3），且a⊥b，则x＝（　　） A.－3 B.－1 C.1 D.－9 3.已知平面向量＝（2，1），＝（－3t，3），若∥，则｜｜＝（　　） A.2 B.20 C. D.2 4.〔多选〕已知a＝（3，－1），b＝（1，－2），则下列结论正确的有（　　） A.a·b＝5 B.a的单位向量是 C.＜a，b＞＝ D.与b垂直的单位向量是 5.设向量a与b的夹角为θ，且a＝（3，3），2b－a＝（－1，1），则cos θ＝　　　　. 提示：完成课后作业　第二章　§5　5.2　5.3 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2　向量数量积的坐标表示 5.3　利用数量积计算长度与角度 【基础落实】 知识点 1.x1x2＋y1y2　对应坐标的乘积的和 2.（1）x2＋y2　 （2）｜｜＝ 3.x1x2＋y1y2＝0 4. 想一想 1.提示：向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点： 坐标表示 记忆口诀 垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 对应相乘和为0 平行 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0 交叉相乘差为0 2.提示：设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±（，），其中正号、负号分别表示与a同向和反向.易知b＝（－y，x）和a＝（x，y）垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±，其中正、负号表示不同的方向. 自我诊断 1.（1）×　 （2）×　 （3）√　 （4）× 2.C　因为＝－＝（1，t－3），所以｜｜＝＝1，解得t＝3，所以＝（1，0），所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C. 3.　解析：由题意得｜a｜＝＝2，｜b｜＝＝2，a·b＝1×＋×1＝2.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝.∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 【典例研析】 【例1】　解：（1）a·（a－b）＝a·a－a·b＝（－1）2＋22－[（－1）×3＋2×2]＝4. （2）因为a＋b＝（－1，2）＋（3，2）＝（2，4）， 2a－b＝2（－1，2）－（3，2）＝（－2，4）－（3，2）＝（－5，2），所以（a＋b）·（2a－b）＝（2，4）·（－5，2）＝2×（－5）＋4×2＝－2. （3）（a·b）·c＝[（－1，2）·（3，2）]·（2，1）＝（－1×3＋2×2）·（2，1）＝（2，1）. a·（b·c）＝（－1，2）·[（3，2）·（2，1）]＝（－1，2）·（3×2＋2×1）＝8（－1，2）＝（－8，16）. 【例2】　D　如图，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（4，0），E（1，4），F（5，1），所以＝（5，1），＝（－3，4），所以·＝－15＋4＝－11. 跟踪训练 1.0　3　解析：∵a＝（2，1），b＝（2，－1），c＝（0，1），∴a＋b＝（4，0），∴（a＋b）·c＝4×0＋0×1＝0，∴a·b＝2×2＋1×（－1）＝3. 2.　解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A（0，2），E（2，1），D（2，2），B（0，0），C（2，0）， 因为＝2，所以F.所以＝（2，1），＝－（2，0）＝，所以·＝（2，1）·＝2×＋1×2＝. 【例3】　B　因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，又因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而｜b｜＝.故选B. 跟踪训练 D　设＝a，＝b，则a＋b＝＝（－4，2）.b－a＝＝（2，－6），所以b＝（－1，－2），a＝（－3，4），所以2＋＝2a＋b＝（－7，6），所以｜2＋｜＝＝. 【例4】　C　因为a＝（2，－1），b＝（m，3），所以a＋b＝（2＋m，2）.因为（a＋b）⊥a，所以（a＋b）·a＝4＋2m－2＝0，所以m＝－1.因为cos＜a，b＞＝＝＝－，所以向量a，b的夹角为. 跟踪训练 1.－　解析：c＝（3，1）＋（k，0）＝（3＋k，1），a·c＝3（3＋k）＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－. 2.解：（1）a＋2b＝（1，2）＋2（－2，－4）＝（－3，－6）， ∴｜a＋2b｜＝＝3. （2）∵b＝（－2，－4）＝－2（1，2）＝－2a， ∴a＋b＝－a，∴（a＋b）·c＝－a·c＝. 设a与c的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝－. ∵0≤θ≤π，∴θ＝π， 即a与c的夹角为π. 随堂检测 1.A　（a－b）·（a＋2b）＝（5，5）·（－1，2）＝－1×5＋2×5＝5. 2.C　因为a⊥b，所以a·b＝3x－3＝0，解得x＝1. 3.A　因为平面向量＝（2，1），＝（－3t，3），且∥，所以2×3－1×（－3t）＝0，解得t＝－2，所以＝（6，3），所以＝－＝（6－2，3－1）＝（4，2），所以｜｜＝＝2.故选A. 4.ABC　已知a＝（3，－1），b＝（1，－2），则a·b＝3×1＋（－1）×（－2）＝5，故A正确；因为a＝（3，－1），｜a｜＝，所以a的单位向量是，故B正确；因为cos＜a，b＞＝＝＝，＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝，故C正确；设与b垂直的单位向量是（x，y），可得解得或故D错误.故选A、B、C. 5.　解析：设b＝（x，y），则2b－a＝（2x，2y）－（3，3）＝（2x－3，2y－3）＝（－1，1），所以2x－3＝－1，2y－3＝1，解得x＝1，y＝2.所以b＝（1，2）.所以cos θ＝＝＝. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $