第2章 5.2,5.3 向量数量积的坐标表示&利用数量积计算长度与角度（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦向量数量积的坐标表示及应用，通过问题驱动梳理从向量分解到数量积坐标公式推导的过程，构建“定义—坐标表示—长度、角度、垂直计算”的完整学习支架。 以问题链引导自主推导培养逻辑推理，分题型（坐标运算、模长、夹角）配例题与反思提升数学运算，课中助教师分层教学，课后自主检验与小结帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

5．2　向量数量积的坐标表示 5．3　利用数量积计算长度与角度 学习目标 素养要求 1．掌握向量数量积的坐标表示，会进行向量数量积的坐标运算． 2．会利用向量数量积的坐标运算与度量公式解决有关长度、角度、垂直等问题． 1．通过推导数量积、模长、夹角的坐标表示，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过数量积的坐标运算及应用，提升数学运算的核心素养， [自主梳理] 知识点　向量数量积的坐标表示 [问题]　 已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). (1)若i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量，则a，b如何用i，j表示？ (2)|a|，|b|分别用坐标怎样表示？ (3)能用a，b的坐标表示a·b吗？ 答：(1)a＝x1i＋y1j ，b＝x2i＋y2j. (2)|a|＝＝； |b|＝＝. (3)a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j) ＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2 ＝x1x2＋y1y2. ►知识填空 1．平面向量数量积的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__x1x2＋y1y2__． 2．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＝0__． 3．四个重要公式 (1)向量模长公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝ ____． (2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝____． (3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝ ____． (4)点到直线的距离的向量表示 已知定点A和向量，点P是直线AB外一点，若n⊥，则P点到直线AB的距离的向量表示d＝____． [自主检验] 1．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　) A．1　　　　　　　　 B． C．2 D．4 解析：选C　∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2 ＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0， ∴n2＝3，∴|a|＝ ＝2. 2. 已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 解析：选B　∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5. ∴cos 〈a，b〉＝＝＝. 又∵a，b的夹角范围为[0，π]. ∴a与b的夹角为. 3．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，4)，B(－2，3)，C(2，－1)，若(－t)⊥，则实数t＝(　　) A．－ B．－1 C． D．1 答案：B 4．设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________． 答案： 题型一　向量数量积的坐标运算 [例1]　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　) A．10　　　　　　　　 B．－10 C．3 D．－3 (2)已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 (3)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________． 解析：(1)因为a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. (2)由题意可得，8a－b＝(6，3)， 又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)， ∴18＋3x＝30，解得x＝4. (3)以A为坐标原点，AB，AD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(，0). 设F(t，2)，(0<t≤)， 由·＝得t＝， ∴t＝1，即F(1，2)， ∴＝(1－，2)，＝(，1)， 即·＝－2＋2＝. 答案：(1)B　(2)C　(3) [反思感悟] 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解． 已知向量a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10. (1)求向量a的坐标； (2)若向量c＝(2，－1)，求(a·c)b. 解：(1)因为向量a与b同向，且b＝(1，2)， 所以a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0). 又因为a·b＝10，所以λ＋4λ＝10， 所以λ＝2，a＝(2，4). (2)因为a·c＝2×2＋4×(－1)＝0， 所以(a·c)b＝0. 题型二　利用坐标运算解决向量模长问题 [例2]　(1)设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝__________． (2)已知向量a在向量b＝(1，)方向上的投影为2，且|a－b|＝，则|a|＝__________． 解析：(1)由⇒⇒ ∴a＝(2，1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1). ∴|a＋b|＝. (2)由已知得|b|＝2，＝2， 所以a·b＝4， 所以由|a－b|＝ ，得a2－2a·b＋b2＝5， 所以a2－8＋4＝5，所以|a|＝3. 答案：(1)　(2)3 [反思感悟] 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算：利用|a|2 ＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则|a|＝ . 1. 已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　) A． B． C．5 D．25 解析：∵a＝(2，1)，∴a2＝5， 又|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50， 即a2＋2a·b＋b2＝50， ∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5. 答案：C 2．若向量a的始点为A(－2，4)，终点为B(2，1)，则： (1)向量a的模长为__________； (2)与a平行的单位向量的坐标为__________． 解析：(1)∵a＝＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)， ∴|a|＝ ＝5. (2)与a平行的单位向量是±＝±(4，－3)， 即坐标为或. 答案：(1)5　(2)或 题型三　向量的夹角、垂直问题 [例3]　(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________． (2)如图，△AOE和△BOE都是边长为1的等边三角形，延长OB到C使|BC|＝t(t>0)，连接AC交BE于点D，连接OD. ①用t表示向量和的坐标； ②当＝时，求向量和的夹角的大小． 解析：(1)因为a＋b＝(m－1，3)，a＋b与a垂直， 所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7. 答案：7 (2)①由已知得点C是－60°角终边上的点，且|OC|＝|OB|＋|BC|＝t＋1， 所以点C的坐标为((t＋1)cos (－60°)，(t＋1)sin (－60°)，即， 所以＝， 同理可得＝. 因为＝t，所以＝t，＝， 所以＝－＝， 所以＝， 所以＝＋＝. ②由已知t＝， 所以＝，＝， 所以·＝－＋＝. 又因为||＝，||＝＝， 设向量与的夹角为θ，则cos θ＝＝， 所以向量与的夹角为60°. [反思感悟] 因为两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝来判断，可将θ分五种情况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝ 90°；cos θ＝ －1，θ＝180°；cos θ<0，且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ>0，且cos θ≠1，θ为锐角． 1．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于(　　) A．2 B． C．0 D．－ 解析：因为a＝(1，)，b＝(3，m). 所以|a|＝2，|b|＝，a·b＝3＋m， 又a，b的夹角为，所以＝cos ， 即＝，所以＋m＝， 解得m＝. 答案：B 2．已知四边形ABCD的顶点分别为A(2，1)，B(5，4)，C(2，7)，D(－1，4)，求证：四边形ABCD为正方形． 证明：由四边形ABCD的顶点坐标得＝(3，3)，＝(3，3)，＝(－3，3). ∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形． 又·＝3×(－3)＋3×3＝0. ∴⊥，∴平行四边形ABCD为矩形． 又||＝ ＝3，||＝ ＝3， ∴||＝||，∴矩形ABCD为正方形． [课堂小结] 1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．在学习中要不断提高利用向量工具解决数学问题的能力． 2．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $