2.5.3向量的数量积第二课时教学设计-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第 2 课时教学设计 （一）课时教学内容 向量数量积的运算性质，向量数量积的坐标表示 （二）课时教学目标 （1）通过复习数量积的定义和投影向量定义，类比实数的乘法研究数量积的运算律，提升数学抽象的核心素养； （2）通过对数量积几何性质的利用，从“特殊关系”入手，比如“同向”“反向”“垂直”等，探究数量积的几何性质，提升直观想象、逻辑推理的核心素养； （3）通过类比向量线性运算的表示，探究向量数量积的坐标表示和坐标的性质。 （三）课时重点难点 重点：平面向量数量积运算性质和坐标； 难点：向量数量积的坐标表示。 （四）教学过程流程： 复习引入 构建新知 应用强化 回顾提升 （五）教学过程： 环节 1：复习思考，提出问题 问题 1：上节课我们学习了数量积的定义，哪位学生来回答一下，我们学习了数量积的哪些知识？ 预设：1、两个非零向量a与b，a ∙ b = |a||b|cos < a,b >= |a||b|cosθ。 规定：零向量与任一向量的数量积为 0. 注意：数量积的结果是实数，两个向量中间的“ ∙ ”不可省略 2、已知两个非零向量a和b，作OA = a,OB = b，过点 A 向直线 OB 作垂线， 垂足为A'，得到a在b上的投影γ = OA'，γ称为投影向量,|a|cos < a,b > 称为 投影向量γ的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，表示为a ∙ |bb| 3、数量积的几何意义：向量a在b上的投影数量与b的长度|b|的乘积，或向量b在a方向上的投影数量与a的长度|a|的乘积。 师：为了检测大家的学习效果，请大家快速判断下列问题的对错。 快问快答：判断下列说法是否正确： （1）若a ≠ 0，则对任意向量b，a ∙ b ≠ 0； 错 （2）若a ≠ 0,b ≠ 0，则a ∙ b ≠ 0； 错 （3）若a ≠ 0，a ∙ b ≠ 0，则b = 0； 错 （4）若a ∙ b = 0，则a，b至少有一个为0； 错 （5）若a ≠ 0，a ∙ b = a ∙ c，则b = c. 错 设计意图：回顾平面向量的数量积的定义以及投影向量的定义，为接下来学习数量积的运算性质奠定基础。 评价方式：检测学生对向量数量积的定义的理解，学生可以迅速判断问题的对错。 环节 2：类比研究，探究性质 根据平面向量的研究路径，接下来我们研究数量积的性质。 问题 2：向量兼具“数”与“形”的双重形态，你认为可以从哪些角度研究数量积的性质？ 预设：向量数量积的性质既有几何性质也有代数性质。 追问 1：从代数角度来看，数量积可以看做是向量与向量的乘法，可以类比实数的乘法运算，那么数量积有哪些运算律呢？请大家在小组内讨论，并总结结果。 实数乘法运算律 平面向量数量积运算律 预设：学生有可能提出以下几条性质： （1）a ∙ b = b ∙ a； （2）λ(a ∙ b) = (λa) ∙ b = a ∙ (λb) （3）(a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c) （4）(a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c 师：这位同学说的非常好，哪位同学愿意点评一下，有什么要补充或者更正的地方吗？ 预设：三个向量之间的结合律是不正确的。左边表示的是与c共线的向量， 右边表示的是与a共线的向量，a ∙ b与b ∙ c，并且c与a不一定共线，因此这个 不一定正确。 师：这两位同学回答的都非常好，类比实数的乘法运算律我们得到了数量积 的运算律：任意向量a,b,c和实数λ： （1）交换律：a ∙ b = b ∙ a； （2）与数乘的结合律：λ(a ∙ b) = (λa) ∙ b = a ∙ (λb) （3）关于加法的分配律：(a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c 从代数角度研究数量积的运算律后，接下来我们从几何的角度来研究数量积的几何性质。数量积的几何意义表现在向量的长度和夹角两个方面。 问题 3：我们可以从长度和夹角找一些特殊情形进行研究，有哪些比较特殊的情形呢？ 预设：做数量积的向量可以特殊化，比如取单位向量；两个向量的夹角可以特殊化，比如垂直，共线等 追问：请大家列出数量积的几何性质。 学生展示，其余学生补充点评，师生共同整理得： (1)两个向量有一个取“特殊值”单位向量，如 b =e ，则有 a ×e =e ×a =|a | cosq 作用：一个向量在另一个方向上的投影数量. (2)两个向量的方向有特殊关系，包括 i)当 a ^b 时， a ×b =0 ； ii)当 a 与 b 同向时， a ×b =| a || b | ；当 a 与 b 反向时, a ×b =- | a || b | 特别地， a ×a =|a |2 r r2 . 或 | a |= a