第2章 4.2 平面向量及运算的坐标表示(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

4.2　平面向量及运算的坐标表示 课标要求 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示（数学抽象）. 2.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算（数学运算）. 3.能用坐标表示平面向量共线的条件（数学运算）. 　　三坐标雷达亦称三维电扫描雷达，可获得目标的距离、方向和高度信息，比其他二坐标雷达（仅提供方位和距离信息的雷达）多提供了一维高度信息.这使其成为对飞机引导作战的关键设备.此类雷达主要用于引导飞机进行截击作战和给武器系统提供目标指示数据，正如向量，也可以利用平面或空间中的坐标来表示. 【问题】　你知道平面向量的坐标如何表示吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　平面向量的坐标表示 1.定义：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基.对于坐标平面内的任意向量a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.我们把（x，y）称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，记作a＝　　　　. 2.平面向量运算的坐标表示 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），λ∈R，则 文字描述 符号表示 加 法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的　　 a＋b＝　　　 减 法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的　　　 a－b＝　　　 数 乘 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积 λa＝　　　　 　 重要结论 一个向量的坐标等于其　　　　的坐标减去　　　　的坐标 已知A（x1，y1）， B（x2，y2），则＝（x2－x1，y2－y1） 3.中点坐标公式：若点A（x1，y1），点B（x2，y2），线段AB的中点M的坐标为（x，y），则 【想一想】 1.在直角坐标平面内，O为原点，向量的坐标与点A的坐标有什么关系？ 2.向量的坐标与向量终点的坐标一致吗？ 3.如果a＝xi＋yj，那么能不能说向量a的坐标为（x，y），即a＝（x，y）？ 知识点二　平面向量平行的坐标表示 　设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），当b≠0时，向量a，b共线的充要条件是 　　　　. 　　提醒：（1）a∥b（b≠0）⇔a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系；（2）a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了代数运算；（3）a∥b⇔＝，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例.通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若a＝（x1，y1），则－a＝（－x1，－y1）.（　　） （2）单位向量a的坐标为（0，1）或（1，0）.（　　） （3）两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.（　　） （4）向量的坐标就是向量终点的坐标.（　　） （5）设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b⇔x1y2＝x2y1.（　　） 2.若A（2，－1），B（－1，3），则的坐标是（　　） A.（1，2）　　　　　　　　B.（－1，－2） C.（－3，4） D.（3，－4） 3.设i＝（1，0），j＝（0，1），向量a＝2i－3j，则向量a的坐标为　　　　. 题型一｜平面向量的坐标表示 【例1】　如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形. （1）求向量a，b的坐标； （2）求向量的坐标； （3）求点B的坐标. 尝试解答 通性通法 求点和向量坐标的常用方法 （1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标； （2）在求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标. 【跟踪训练】 已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），且＝3，＝2，求M，N及的坐标. 题型二｜平面向量的坐标运算 【例2】　（1）已知向量a＝（1，2），b＝（3，－4），c＝（－2，6），试求a＋3b，3a－2b＋c； （2）已知平面上三个点A（4，6），B（7，5），C（1，8），求，，＋，－，2＋. 尝试解答 通性通法 平面向量坐标运算的步骤 （1）各向量分别用坐标表示； （2）按照向量的加、减、数乘的坐标运算法则进行计算.解题过程中注意方程思想的运用及运算法则的正确使用. 【跟踪训练】 1.若向量a＝（1，1），b＝（－1，1），c＝（4，2），则c＝（　　） A.3a＋b　　　　　　　　 B.3a－b C.－a＋3b D.a＋3b 2.已知A（2，3），B（－1，5），＝，＝3，求点C，D的坐标. 题型三｜平面向量平行的条件及应用 【例3】　（1）已知A，B，C三点的坐标分别为（－1，0），（3，－1），（1，2），＝，＝.求证：∥； （2）已知a＝（1，2），b＝（－3，2），当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时，它们是同向还是反向？ 尝试解答 通性通法 利用向量坐标判断向量共线或三点共线 （1）利用向量的坐标判断两向量平行时，可先求出需要判断的向量的坐标，再依据坐标关系来说明两个向量平行，即：若已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且x1y2－x2y1＝0，则a∥b； （2）对于根据向量共线的条件求参数值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线（平行）向量基本定理a＝λb列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0或＝直接求解； （3）利用向量解决三点共线问题的思路：先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ使得两个向量共线.因为两个向量过同一点，所以两个向量所在的直线必重合，即三点共线. 【跟踪训练】 　已知a＝（1，0），b＝（2，1）. （1）当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？ （2）若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值. 1.已知点A（1，1），B（2，4），将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得向量＝（　　） A.（2，0） B.（3，3） C.（1，3） D.（3，4） 2.已知＝（3，1），＝（－4，－3），则＝（　　） A.（－7，－4） B.（7，4） C.（－1，4） D.（1，4） 3.已知A（3，－1），B（3，2），O为坐标原点，＝2＋λ（λ∈R）.若点P在x轴上，则λ＝（　　） A.0　　　B.1 C.－1　　D.－2 4.已知a＝（1，2），b＝（1，0），c＝（3，4），则当（a＋λb）∥c时，λ＝　　　　. 5.已知A（2，－3），＝（3，－2），则线段AB的中点坐标为　　　　. 提示：完成课后作业　第二章　§4　4.2 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $null