章末检测（一） 三角函数-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

章末检测（一）　三角函数 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. sin 600°＋tan 240°＝（　　） A. － B. C. － ＋ D. ＋ 解析：　 sin 600°＝ sin （360°＋240°）＝ sin 240°＝ sin （180°＋ 60°）＝－ sin 60°＝－ ，tan 240°＝tan（180°＋60°）＝tan 60°＝ ，所以 sin 600°＋tan 240°＝－ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·必修第二册（BSD） 2. 直角坐标系内，角β的终边过点P（ sin 2， cos 2），则与角β的终边重 合的角可表示成（　　） A. －2＋2kπ，k∈Z B. ＋2＋kπ，k∈Z C. 2＋2kπ，k∈Z D. －2＋2kπ，k∈Z 解析：　∵角β的终边过点P（ sin 2， cos 2），即P（ cos （ －2）， sin （ －2）），∴与角β的终边重合的角可表示成 －2＋2kπ，k∈Z. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 3. 已知 sin （θ＋π）＜0， cos （θ－π）＞0，则θ的终边所在象限是 （　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　由 sin （θ＋π）＝－ sin θ＜0⇒ sin θ＞0， cos （θ－π）＝－ cos θ＞0⇒ cos θ＜0，由 可知θ是第二象限角. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 4. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P 为其终边上一点，则 sin ＝（　　） A. － B. － C. D. 解析：　因为P 在角α的终边上，所以 cos α＝－ .所以 sin ＝ cos α＝－ ，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 5. 设函数f（x）＝ sin ，x∈R，则f（x）是（　　） A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为 的偶函数 解析：　f（x）的最小正周期为T＝ ＝π.∵ sin （2x－ ）＝－ sin ＝－ cos 2x，∴f（x）＝－ cos 2x.又f（－x）＝－ cos （－ 2x）＝－ cos 2x＝f（x），∴f（x）是最小正周期为π的偶函数. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 6. 智能主动降噪耳机工作的原理如图①所示，是通过耳机两端的噪声采集 器采集周围的噪声，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波抵消 噪声.已知某噪声的声波曲线y＝A sin （ωx＋ ）（A＞0，ω＞0）在［－ ， ］上的大致图象如图②所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反 向声波曲线可以为（　　） A. y＝2 sin （πx＋ ） B. y＝ sin （ x＋ ） C. y＝ sin （ x－ ） D. y＝2 sin （πx－ ） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：　易知A sin （0＋ ）＝1，∴A＝2.再根据五点作图法，可得 ω× ＋ ＝π，∴ω＝π，故噪声声波曲线的解析式为y＝2 sin （πx＋ ）. 由于在平面直角坐标系中，反向声波曲线与噪声声波曲线关于x轴对称， 设反向声波曲线为y1＝2 sin （πx＋φ），则有2 sin （πx＋ ）＋2 sin （πx ＋φ）＝0，可令πx＋ －（πx＋φ）＝π，得φ的一个值为－ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 7. 已知ω＞0，｜φ｜≤ ，在函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）和g（x）＝ cos （ωx＋φ）的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为 ，且f（x）的图象关于点（－ ，0）对称，则g（ ）＝（　　） A. 1 B. C. D. 0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：　因为f（x）和g（x）的图象上相邻两个交点的横坐标之差的绝 对值为 ，所以函数f（x）的最小正周期T＝π，即 ＝π，得ω＝2，所以 f（x）＝ sin （2x＋φ）.又f（x）的图象关于点（－ ，0）对称，所以 2×（－ ）＋φ＝kπ（k∈Z），得φ＝ ＋kπ（k∈Z），因为｜φ｜ ≤ ，所以φ＝ ，所以g（x）＝ cos （2x＋ ），g（ ）＝ cos （2× ＋ ）＝ cos ＝0.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 8. 已知f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，φ为常数），若f（x）在区间 （ ， ）上单调，且f（ ）＝f（ ）＝－f（ ），则φ的值可以是 （　　） A. － B. － C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：　对于函数f（x）＝ sin （ωx＋φ），ω＞0，因为f（x）在区间 （ ， ）上单调，所以 － ＝ ≤ ＝ ，即0＜ω≤3.因为 － ＝ ≤ ，f（ ）＝f（ ），所以直线x＝ ＝ 为f（x）图象的一条对 称轴，因为（ ， ）⫋（ ， ），且f（x）在（ ， ）上单调，f （ ）＝－f（ ），所以点 ，即点（ ，0）为f（x）图象的 一个对称中心，因为 － ＝ ＜ ≤ ，所以直线x＝ 和点（ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 0）分别是f（x）图象的同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则 ＝ － ，即T＝π，所以ω＝ ＝2∈（0，3]，所以f（x）＝ sin （2x＋φ）， 又点（ ，0）为f（x）图象的一个对称中心，所以2× ＋φ＝kπ， k∈Z，则φ＝－ ＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝－ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分） 9. 函数y＝ sin 的图象是由函数y＝ sin x的图象经过变换得到， 则这个变换可以是（　　） A. 先将图象向左平移 个单位长度再将图象上所有点的横坐标变为原来 的 倍 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） B. 先将图象向右平移 个单位长度再将图象上所有点的横坐标变为原来 的 倍 C. 先将图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，再将图象向左平移 个单 位长度 D. 先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向左平移 个单 位长度 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：A选项：y＝ sin x的图象向左平移 个单位长度，得到y＝ sin 的图象，再将图象上所有的点横坐标变为原来的 倍，得到y＝ sin 的图象，正确；B选项：y＝ sin x的图象向右平移 个单位长 度，得到y＝ sin 的图象，再将图象上所有的点横坐标变为原来的 倍，得到y＝ sin ＝ sin 的图象，正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） C选项：y＝ sin x的图象上所有的点横坐标变为原来的 倍，得到y＝ sin 2x的图象，再将图象向左平移 个单位长度，得到y＝ sin 2 ＝ sin 的图象，正确；D选项：y＝ sin x的图象上所有的点横坐标变 为原来的2倍，得到y＝ sin x的图象，再将图象向左平移 个单位长度， 得到y＝ sin ＝ sin 的图象，错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 10. 对于函数f（x）＝ sin 2x和g（x）＝ sin （2x－ ），下列说法中正 确的有（　　） A. f（x）与g（x）有相同的零点 B. f（x）与g（x）有相同的最大值 C. f（x）与g（x）有相同的最小正周期 D. f（x）与g（x）的图象有相同的对称轴 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：A选项，令f（x）＝ sin 2x＝0，解得x＝ ，k∈Z，即为f（x）零点，令g（x）＝ sin （2x－ ）＝0，解得x＝ ＋ ，k∈Z，即为g（x）零点，显然f（x），g（x）零点不同，A选项错误；B选项，显然f（x）max＝g（x）max＝1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f（x），g（x）的周期均为 ＝π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质，f（x）的对称轴满足2x＝kπ＋ ⇔x＝ ＋ ，k∈Z，g（x）的对称轴满足2x－ ＝kπ＋ ⇔x＝ ＋ ，k∈Z，显然f（x），g（x）图象的对称轴不同，D选项错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 11. 下列关于函数y＝tan 的说法正确的是（　　） A. 在区间 上单调递增 B. 最小正周期是π C. 图象关于 成中心对称 D. 图象关于 成中心对称 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：当x∈ 时，2x－ ∈ ，所以y＝tan 在区间 上单调递增，故A正确；函数y＝tan 的最小正周期是 ，故B错误；当x＝ 时2x－ ＝ ，所以函数y＝tan 的图象关于 成中心对称，故C正确；当x＝ 时2x－ ＝0，所以函数y＝tan 的图象关于 成中心对称，故D正确；故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 已知 cos （ ＋φ）＝ ，且｜φ｜＜ ，则tan φ＝ 　－ 　. 解析：由 cos （ ＋φ）＝ ，得 sin φ＝－ .又｜φ｜＜ ，∴φ＝－ ， ∴ cos φ＝ ，∴tan φ＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 13. 已知函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）在区间（0，π）上有最大 值，无最小值，则ω的取值范围为 ⁠. 解析：设z＝ωx＋ ，当x∈（0，π）时，z＝ωx＋ ∈ （ ，ωπ＋ ），作出y＝ sin z的大致图象，如图.要使f （x）在区间（0，π）上有最大值，无最小值，需使 ＜ ωπ＋ ≤ ，解得 ＜ω≤ ，即ω的取值范围为（ ， ］. （ ， ］ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 14. 已知函数f（x）＝2 sin （2x－ ）－m.若f（x）≤0在x∈［0， ］ 上有解，则实数m的取值范围是 ；若方程f（x）＝0在 x∈［0， ］上有两个不同的解，则实数m的取值范围是 ⁠. [－1，＋∞） [1，2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：f（x）≤0，即m≥2 sin （2x－ ），当x∈［0， ］ 时，2x－ ∈［－ ， ］，所以2 sin （2x－ ）∈[－1， 2]，所以y＝2 sin （2x－ ）在［0， ］上的最小值为－1， 所以实数m的取值范围是[－1，＋∞）.方程f（x）＝0在x∈［0， ］上有两个不同的解，等价于函数y＝2 sin （2x－ ），x∈［0， ］的图象与直线y＝m有两个交点，函数y＝2 sin （2x－ ），x∈［0， ］的图象如图所示，由图可知，m的取值范围是[1，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）化简与求值： （1）化简： ； 解：原式＝ ＝ ＝－ cos α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （2）求值： . 解：原式＝ ＝ ＝ ＝2－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 16. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）＋B（A＞ 0，ω＞0，｜φ｜＜ ）的部分图象如图所示. （1）求f（x）的解析式，并说明函数y＝f（x）的图象是如何由函数y＝ sin x的图象变换而得到的； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解：设f（x）的最小正周期为T，由函数图象可得 T＝ － ＝ ， 所以T＝ ，由T＝ 得ω＝3. 由 解得 令3× ＋φ＝2kπ，k∈Z， 可得φ＝2kπ－ ，k∈Z，又｜φ｜＜ ， 令k＝0，可得φ＝－ . 所以f（x）＝2 sin （3x－ ）＋1. 将函数y＝ sin x的图象向右平移 个单位长度得到函数y＝sin （x－ ）的图象， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 再将y＝ sin （x－ ）的图象，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 得到y ＝ sin （3x－ ）的图象，然后再将y＝ sin （3x－ ）的图象，横坐标不 变，纵坐标伸长为原来的2倍得到函数y＝2 sin （3x－ ）的图象，再将函 数y＝2 sin （3x－ ）的图象沿y轴向上平移1个单位长度即得到f（x）＝ 2 sin （3x－ ）＋1的图象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （2）若当x∈［0， ］时，方程f（x）＝m恰有两个不同的实根，求实 数m的取值范围. 解：由（1）知方程f（x）＝m可化为 sin （3x－ ）＝ . 令t＝3x－ ，s＝ ， 又x∈［0， ］，则t∈［－ ， ］， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 所以方程f（x）＝m在x∈［0， ］上恰有两个不同的实根，即 sin t＝s 在t∈［－ ， ］上有两个不同的实根，等价于函数y＝ sin t与y＝s的 图象有两个不同的交点.在同一坐标系中作出两函数的图象如图所示， 由图可得s∈［ ，1），即 ∈［ ，1），可得m∈[＋1，3）. 故实数m的取值范围为[＋1，3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 17. （本小题满分15分）已知某地一天4～16时的温度变化曲线近似满足函 数y＝10 sin ＋20，x∈[4，16]. （1）求该地区这一段时间内温度的最大温差； 解：由函数易知，当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30 ℃，当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 ℃，所以最大温差为30－10＝20（℃）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （2）若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该 细菌最多能生存多长时间？ 解：令10 sin ＋20＝15， 可得 sin ＝－ ， 而x∈[4，16]，所以x＝ . 令10 sin ＋20＝25， 可得 sin ＝ ， 而x∈[4，16]，所以x＝ . 故该细菌能存活的最长时间为 － ＝ （小时）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 18. （本小题满分17分）在①函数f 为奇函数；②当x＝ 时，f （x）＝ ；③ 是函数f（x）的一个零点，这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中，并解答，已知函数f（x）＝2 sin （ωx＋φ） ，f（x）的图象相邻两条对称轴间的距离为 π， 　　　　. （1）求函数f（x）的解析式； （2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解：∵函数f（x）的图象相邻两条对称轴间的距离为π， ∴T＝ ＝2π，∴ω＝1，∴f（x）＝2 sin （x＋φ）. 选条件①. ∵f ＝2 sin 为奇函数， ∴φ－ ＝kπ，k∈Z，解得φ＝ ＋kπ，k∈Z. （1）∵0＜φ＜ ，∴φ＝ ， ∴f（x）＝2 sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （2）由－ ＋2kπ≤x＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z， 得－ ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z， ∴令k＝0，得－ ≤x≤ ， 令k＝1，得 ≤x≤ ， ∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 选条件②. f ＝2 sin ＝ ， ∴ sin ＝ ， ∴φ＝2kπ，k∈Z或φ＝ ＋2kπ，k∈Z. （1）∵0＜φ＜ ，∴φ＝ ， ∴f（x）＝2 sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （2）由－ ＋2kπ≤x＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z， 得－ ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z， ∴令k＝0，得－ ≤x≤ ， 令k＝1，得 ≤x≤ ， ∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 选条件③. ∵ 是函数f（x）的一个零点， ∴f ＝2 sin ＝0，∴φ＝kπ－ ，k∈Z. （1）∵0＜φ＜ ，∴φ＝ ，∴f（x）＝2 sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （2）由－ ＋2kπ≤x＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z， 得－ ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z， ∴令k＝0，得－ ≤x≤ ， 令k＝1，得 ≤x≤ ， ∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 19. （本小题满分17分）对于分别定义在D1，D2上的函数f（x），g （x）以及实数k，若存在x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）－g（x2）＝ k，则称函数f（x）与g（x）具有关系M（k）. （1）若f（x）＝ cos x，x∈[0，π]；g（x）＝ sin x，x∈[0，π]，判断 f（x）与g（x）是否具有关系M（－2），并说明理由； 解：f（x）与g（x）具有关系M（－2），理由如下： 当x∈[0，π]时，f（x）＝ cos x∈[－1，1]，g（x）＝ sin x∈[0，1]， 当x1＝π时，f（x1）＝f（π）＝－1，当x2＝ 时，g（x2）＝g（ ）＝1， 此时f（π）－g（ ）＝－2，则f（x）与g（x）具有关系M（－2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （2）若f（x）＝ cos x－1与g（x）＝－2 sin 2x＋ sin x＋1具有关系M （k），求实数k的取值范围； 解：由函数f（x）＝ cos x－1∈[－2，0]， 且g（x）＝－2 sin 2x＋ sin x＋1＝－2（ sin x－ ）2＋ ， 因为 sin x∈[－1，1]，所以当 sin x＝－1时，g（x）min＝－2×（－1－ ）2＋ ＝－2，当 sin x＝ 时，g（x）max＝ ， 所以g（x）∈［－2， ］， 所以[f（x1）－g（x2）]∈［－ ，2］，所以k∈［－ ，2］，即实数 k的取值范围为［－ ，2］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （3）已知a＞0，h（x）为定义在R上的奇函数，且满足：①在[0，2a] 上，当且仅当x＝ 时，h（x）取得最大值1；②对任意x∈R，有h（a ＋x）＋h（a－x）＝0. 判断是否存在实数a（a＞0），使得f（x）＝ sin 2πx＋h（x）与g （x）＝h（x）－ cos 2πx具有关系M（4），若存在，求出a的值；若不 存在，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解：不存在实数a使得f（x）与g（x）具有关系M（4）.理由如下： 因为在[0，2a]上，当且仅当x＝ 时，h（x）取得最大值1，且h（x） 为定义在R上的奇函数， 所以在[－2a，0]上，当且仅当x＝－ 时，h（x）取得最小值－1，故h （x）的值域为[－1，1]， 由对任意x∈R有h（a＋x）＋h（a－x）＝0，可得y＝h（x）关于点 （a，0）对称， 又h（a＋x）＝－h（a－x）＝h（x－a），故h（x）的周期为2a， 又 sin 2πx∈[－1，1]， cos 2πx∈[－1，1]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 所以当h（x1）＝1时，x1＝ ＋2na，n∈Z， sin 2πx1＝1时，x1＝ ＋ k，k∈Z， 若 ＋2na＝ ＋k，即a＝ ，k，n∈Z，此时有f（x1）＝ sin 2πx1＋ h（x1）＝2； 当h（x2）＝－1时，x2＝－ ＋2ma，m∈Z， cos 2πx2＝1时，x2＝t， t∈Z， 若－ ＋2ma＝t，则a＝ ，t，m∈Z时，有g（x2）＝h（x2）－ cos 2πx2＝－2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 因为 ≠ ，所以 sin 2πx1＋h（x1）＋ cos 2πx2－h（x2）＜4， 所以不存在x1∈R，x2∈R使得 sin 2πx1＋f（x1）＋ cos 2πx2－f（x2） ＝4， 故不存在实数a使得f（x）＝ sin 2πx＋h（x）与g（x）＝h（x）－ cos 2πx具有关系M（4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） $