章末检测（五） 复数-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学复数单元复习课件系统梳理了复数的概念、运算及几何意义，通过单项选择巩固模、共轭复数等基础概念，多项选择强化运算规律，解答题综合应用代数基本定理与几何图形，构建“概念-运算-应用”的完整知识网络。 其亮点在于采用“基础巩固-综合应用-拓展探究”的分层设计，如第8题结合复平面轨迹培养几何直观（数学眼光），第19题用代数基本定理推理方程根培养逻辑推理（数学思维）。这种设计让学生逐步提升，教师可精准定位薄弱点，有效提升复习效率。

章末检测（五）　复数 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数2＋2i－｜ ＋i｜等于（　　） A. 0 B. 2 C. －2i D. 2i 解析：2＋2i－｜ ＋i｜＝2＋2i－ ＝2＋2i－2＝2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·必修第二册（BSD） 2. 复数i3（1＋i）2＝（　　） A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i 解析：　i3（1＋i）2＝－i·（2i）＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 3. 复数z1＝1＋xi（x∈R），z2＝y＋i（y∈R），若z1＝z2，则 等于 （　　） A. 1＋i B. 1－i C. －1＋i D. －1－i 解析：　由题意知z1＝z2，即1＋xi＝y＋i，即x＝1，y＝1，因为z1＝1 ＋i，所以 ＝1－i. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 4. 在复平面内，一个正方形的三个顶点按顺序分别对应的复数是1＋2i， －2＋i，0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（　　） A. 3＋i B. 3－i C. 1－3i D. －1＋3i 解析：在复平面内通过已知三个点易知第四个顶点对应的复数为－1＋3i. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 5. 已知i为虚数单位，若复数z＝ （a∈R）的虚部为－3，则｜z｜＝ （　　） A. B. 2 C. D. 5 解析：因为z＝ ＝ ＝ ＝ － i，所 以－ ＝－3，解得a＝5，所以z＝－2－3i，所以｜z｜＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 6. 复数2＋i与复数 在复平面上的对应点分别是A，B，若O为坐标原 点，则∠AOB＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：　∵ ＝ ＝ － i，∴它在复平面上的对应点为 B ，而复数2＋i在复平面上的对应点是A（2，1），则 cos ∠AOB＝ ＝ ＝ ，∴∠AOB＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 7. 设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋ 为纯虚数”的 （　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：　因为a＋ ＝a－bi为纯虚数，所以必有a＝0且b≠0，所以ab ＝0，因此“ab＝0”是“复数a＋ 为纯虚数”的必要条件.而当ab＝0 时，有a＝0或b＝0，当b＝0时，a＋ 为实数，因此“ab＝0”不是“复 数a＋ 为纯虚数”的充分条件.故“ab＝0”是“复数a＋ 为纯虚数”的 必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 8. 若复数z满足｜z｜＝2，则｜1＋ i＋z｜的取值范围是（　　） A. [1，3] B. [1，4] C. [0，3] D. [0，4] 解析：设复数z与复平面内的点Z（a，b）相对应，∵复数z满足｜z｜＝2，∴在复平面内，复数z对应的点Z（a，b）的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆，｜1＋ i＋z｜表示复平面内点Z（a，b）与点（－1，－ ）之间的距离.∵点（－1，－ ）到原点的距离为2，∴点（－1，－ ）在点Z（a，b）的轨迹上，∴｜1＋ i＋z｜的最小值是0，最大值是4. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分） 9. 已知复数z1＝1＋i，z2＝1－i，则下列选项正确的是（　　） A. ｜z1｜＝2 B. ＝z2 C. z1·z2对应的点在复平面的虚轴上 D. 在复平面内，设z1，z2对应的点分别为A，B，则｜AB｜＝2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：　｜z1｜＝ ＝ ，A错误； ＝1－i＝z2，B正确；z1·z2 ＝（1＋i）（1－i）＝2，其在复平面内对应的点为（2，0），不在虚轴 上，C错误；在复平面内，设z1，z2对应的点分别为A（1，1），B（1， －1），则｜AB｜＝1－（－1）＝2，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 10. 已知复数z1＝ ＋（a2－2）i，z2＝1－ai（a∈R），若z1＋ 为实 数，则下列选项正确的是（　　） A. a＝1 B. z1· ＝ C. 为纯虚数 D. 在复平面内的对应点位于第二象限 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：　因为z1＝ ＋（a2－2）i，z2＝1－ai（a∈R），所以z1＋ ＝ ＋（a2－2）i＋1＋ai＝ ＋（a2＋a－2）i，因为z1＋ 为实 数，所以 解得a＝1，所以A正确；z1＝2－i，z2＝1－i， 所以z1· ＝（2－i）（2＋i）＝5，所以B错误； ＝（1－i）6＝[（1－ i）2]3＝（－2i）3＝8i为纯虚数，所以C正确； ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i，其在复平面内的对应点位于第一象限，所以D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 11. 对任意复数ω1，ω2，定义运算“*”：ω1*ω2＝ω1 （除“*”外是普 通的复数运算，其中 是ω2的共轭复数）.对任意复数z1，z2，z3，有如 下四个命题其中为真命题的是（　　） A. z1*z2＝z2*z1 B. （z1＋z2）*z3＝（z1*z3）＋（z2*z3） C. z1*（z2＋z3）＝（z1*z2）＋（z1*z3） D. （z1*z2）*z3＝z1*（z2*z3） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：A式显然不成立.对于B，由题意，（z1＋z2）*z3＝（z1＋z2）· ，（z1*z3）＋（z2*z3）＝z1 ＋z2 ＝（z1＋z2） ，所以等式成立.对于C，由题意，z1*（z2＋z3）＝z1 ＝z1（ ＋ ），（z1*z2）＋（z1*z3）＝z1 ＋z1 ＝z1（ ＋ ），所以等式成立.对于D，由题意，（z1*z2）*z3＝（z1 ）*z3＝z1 ，z1*（z2*z3）＝z1*（z2 ）＝z1 ＝z1 z3，所以等式不成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 若复平面上的平行四边形ABCD中， 对应的复数为6＋8i， 对应 的复数为－4＋6i，则 对应的复数为 ⁠. 解析：法一　由复数加、减法的几何意义，可得 ＋ ＝ ， － ＝ ，两式相加，可得2 ＝ ＋ ，而6＋8i＋（－4＋6i）＝2 ＋14i，所以 对应的复数为－1－7i. －1－7i 法二　如图，把向量 平移到向量 的位置，可得 ＝ ＝－ （ ＋ ），而－ [6＋8i＋（－4＋6i）]＝－ 1－7i，所以 对应的复数为－1－7i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 13. 若复数z满足（2－i）z＝（1＋2i）2，其中i为虚数单位，则｜z｜ ＝ ⁠. 解析：由（2－i）z＝（1＋2i）2得，z＝ ＝ ＝ ＝ ＝－2＋i，∴｜z｜＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 14. 复数z满足 ＝a－i（其中a＞0，i为虚数单位），｜z｜＝ ，则 a＝ ；复数z的共轭复数 在复平面上对应的点在第 象限. 解析：由 ＝a－i，得z＝（a－i）（1＋i）＝（a＋1）＋（a－1）i， 由｜z｜＝ ＝ ，解得a＝±2.又a＞0，∴a ＝2.此时 z＝3＋i，则 ＝3－i.∴ 在复平面上对应的点的坐标为（3，－ 1），在第四象限. 2 四 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）已知复数z满足｜3＋4i｜＋z＝1＋3i. （1）求 ； 解：因为｜3＋4i｜＝5，所以z＝1＋3i－5＝－4＋3i， 所以 ＝－4－3i. （2）求 的值. 解： ＝ ＝－i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 16. （本小题满分15分）已知复数z满足｜z｜＝ ，z2的虚部为2. （1）求复数z； 解：设z＝x＋yi（x，y∈R）， ＝ ，x2＋y2＝2，　① 由z2＝x2－y2＋2xyi的虚部为2，所以2xy＝2，xy＝1，　② 由①②解得 或 所以z＝1＋i或z＝－1－i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （2）设z，z2，z－z2在复平面内的对应点分别为A，B，C，求△ABC的 面积. 解：当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i， 所以A（1，1），B（0，2），C（1，－1），｜AC｜＝2， 所以△ABC的面积为 ×2×1＝1. 当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i， 所以A（－1，－1），B（0，2），C（－1，－3）， ｜AC｜＝2，所以△ABC的面积为 ×2×1＝1. 综上，△ABC的面积为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 17. （本小题满分15分）已知复数z＝m2＋m－2＋（m－1）i （m∈R），其中i为虚数单位. （1）若z是纯虚数，求实数m的值； 解：由题意可得：m2＋m－2＝0，且m－1≠0，∴m＝－2. （2）若m＝2，设 ＝a＋bi（a，b∈R），试求a＋b的值. 解：若m＝2，则z＝4＋i， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝a＋bi，∴a＝ ，b＝ ，∴a ＋b＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 18. （本小题满分17分）已知复数z＝ ＋1＋i，i为虚数单位. （1）求 ； 解：z＝ ＋1＋i＝ ＋1＋i＝ ＋1＋i＝1－2i ＋1＋i＝2－i， 所以 ＝2＋i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （2）若复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根，求实数m，n的值； 解：法一　因为复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根， 所以（2－i）2＋m（2－i）＋n＝0， 可得4－4i＋i2＋2m－mi＋n＝0，即（3＋2m＋n）－（m＋4）i＝0， 所以 解得m＝－4，n＝5. 法二　若复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则 是该方程的 另一个根， 由根与系数的关系得2＋i＋（2－i）＝－m，（2＋i）·（2－i）＝n， 解得m＝－4，n＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （3）若 ＝r（ cos θ＋i sin θ），其中r＞0，θ∈[0，2π），求r， θ的值. 解： ＝ ＝ ＝ ＝ － i＝ （ － i）＝ （ cos ＋i sin ）， 所以r＝ ，θ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 19. （本小题满分17分）代数基本定理：任何一个n（n∈N*）次复系数多 项式方程f（x）＝0至少有一个复根.由此可得如下推论： 推论一：任何一元n（n∈N*）次复系数多项式f（x）在复数集中可以分 解为n个一次因式的乘积； 推论二：一元n次多项式方程有n个复数根，最多有n个不同的根.即一元 一次方程最多有1个实根，一元二次方程最多有2个实根等； 推论三：若一个n次方程有不少于n＋1个不同的根，则必有各项的系数均 为0. 已知f（x）＝x3＋x2.请利用代数基本定理及其推论解决以下问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （1）求f（x）－2x3－2x2－x＝0的复根； 解：由题意，x3＋x2－2x3－2x2－x＝0，即－x3－x2－x＝0，所以x （x2＋x＋1）＝0， 所以x＝0或x2＋x＋1＝0，对x2＋x＋1＝0，有x＝ ， 即复根有0，－ ＋ i，－ － i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （2）若∃a，b∈R，使得关于x的方程f（3a－x）＝b－f（x）至少有 四个不同的实根，求a，b的值； 解：由题意，（3a－x）3＋（3a－x）2＝b－x3－x2，化简得， （9a＋2）x2－（27a2＋6a）x＋27a3＋9a2－b＝0， 由推论三：该方程的解个数多于方程最高次数得 解 得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （3）若f（x）的图象上有四个不同的点A，B，C，D，以此为顶点构成 菱形ABCD，设A（a，f（a）），B（b，f（b）），求代数式（a2＋ a－ ）（b2＋ b－ ）的值. 解：在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，设AC中点O（m，n）， 由A（a，f（a））得C（2m－a，2n－f（a）），所以f（2m－a） ＝2n－f（a）， 即（2m－a）3＋（2m－a）2＝2n－a3－a2， 化简得（6m＋2）a2－（12m2＋4m）a＋8m3＋4m2－2n＝0， 由点A，B，C，D是f（x）的图象上的四个不同的点，故该关于a的方 程有四个不同的解， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 由推论三得 解得 故O（－ ， ）， 又 · ＝0，故（a＋ ）（b＋ ）＋（f（a）－ ）（f（b）－ ） ＝（a＋ ）（b＋ ）＋（a3＋a2－ ）（b3＋b2－ ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） ＝（a＋ ）（b＋ ）＋（a＋ ）（a2＋ a－ ）·（b＋ ）（b2＋ b － ） ＝（a＋ ）（b＋ ）［1＋（a2＋ a－ ）（b2＋ b－ ）］＝0， 由菱形ABCD，可得a≠－ ，b≠－ ， 所以1＋（a2＋ a－ ）（b2＋ b－ ）＝0， 故（a2＋ a－ ）（b2＋ b－ ）＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） $