章末检测（二） 平面向量及其应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

章末检测（二）　平面向量及其应用 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设点O是正△ABC的中心，则向量 ， ， 是（　　） A. 相同的向量 B. 模相等的向量 C. 共起点的向量 D. 共线向量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 解析：　如图，因为O是正△ABC的中心，所以｜ ｜ ＝｜ ｜＝｜ ｜＝R（R为△ABC外接圆的半径），所 以向量 ， ， 是模相等的向量，但方向不同. 数学·必修第二册（BSD） 2. 已知向量a＝（1，2），b＝（x，－4），且a∥b，则实数x＝（　　） A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 解析：D　因为向量a＝（1，2），b＝（x，－4），且a∥b，所以1× （－4）－2x＝0，解得x＝－2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 3. 在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝4CD，点E在线段CB上，且CE ＝3EB，设 ＝a， ＝b，则 ＝（　　） A. a＋ b B. a＋ b C. a＋ b D. a＋ b 解析：　如图，由题意， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ＋ ）＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ a＋ b. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 4. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若a＝2b，则 ＝（　　） A. － B. C. 1 D. 解析：由正弦定理得 ＝ ＝ ＝－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 5. 已知向量a，b满足｜a｜＝5，｜b｜＝6，a·b＝－6，则 cos ＜a，a ＋b＞＝（　　） A. － B. － C. D. 解析：由题意，得a·（a＋b）＝a2＋a·b＝25－6＝19，｜a＋b｜＝ ＝ ＝7，所以 cos ＜a，a＋b＞＝ ＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 6. 我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理 最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称 为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，还被用作第24届 国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形 和中间的小正方形组成的，若 ＝m， ＝n， ＝ ，则 ＝ （　　） A. m＋ n B. m＋ n C. m＋ n D. m＋ n √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：　如图所示，过点E分别作EM⊥DC，EN⊥AD， 垂足分别为M，N，可知四边形DMEN为矩形，不妨设DE ＝a＞0，由题意可知：DE＝AF＝ AE＝a，在Rt△ADE 中，AD＝ ＝ a，则 sin ∠ADE＝ ＝ ， cos ∠ADE＝ ＝ ，在Rt△DEN中，DN＝DE cos ∠ADE＝ a，NE＝DM＝DE sin ∠ADE＝ a，即 ＝ ， ＝ ，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ m＋ n.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 7. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝ ，a＝ 4，S△ABC＝2，则 ＝（　　） A. B. 2 C. 2 D. 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：　∵C＝ ，a＝4，S△ABC＝2，∴S△ABC＝ ab sin ＝ ×4×b× ＝2，解得b＝ .由余弦定理可得c2＝b2＋a2－2ba cos ＝10，c＝ .由正弦定理可得 ＝ ＝ ＝2 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 8. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中 点，若CD＝1，且（a－b） sin A＝（c＋b）·（ sin C－ sin B），则 △ABC面积的最大值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：　∵（a－b） sin A＝（c＋b）（ sin C－ sin B），∴由正弦定 理可得（a－b）a＝（c＋b）（c－b），∴整理可得a2＋b2－c2＝ab， ∴由余弦定理可得 cos C＝ ＝ ＝ ，∵C∈（0°，180°）， ∴C＝60°，则 sin C＝ .∵D为AB的中点，∴ ＝ （ ＋ ）， 故 ＝ （ ＋2 · ＋ ）＝ （b2＋a2＋2ab cos C），∴4＝ b2＋a2＋ab≥3ab，当且仅当a＝b时取等号，∴ab≤ .∴△ABC的面积 S＝ ab sin C≤ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分） 9. 设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使 ＋ ＝0 成立的是（　　） A. a＝－2b B. a＋b＝0 C. a∥b D. a⊥b √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：　由题意知， 是与a同向的单位向量， 是与b同向的 单位向量，这两个向量互为相反向量，所以a，b方向相反.因此，使得 ＋ ＝0成立的条件为a＋b＝0和a＝－2b.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 10. 下列说法中，正确的是（　　） A. （ ＋ ＋ ）－（ － － ）＝0 B. 若a·b＜0，则a与b的夹角是钝角 C. 向量e1＝（2，－3），e2＝ 能作为平面内所有向量的一组基 D. 若a⊥b，则a在b上的投影向量为0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：（ ＋ ＋ ）－（ － － ）＝（ ＋ ）－（ － ）＝ － ＝0，A正确；当｜a｜＝｜b｜＝1，且a与b反向时，a·b＝－1＜0，此时a与b的夹角为180°，B不正确；因为e1＝ 4e2，所以e1∥e2，所以向量e1，e2不能作为一组基，C不正确；由投影向 量的定义知D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 11. 在△ABC中，已知（a＋b）∶（c＋a）∶（b＋c）＝6∶5∶4，给 出下列结论，其中正确的结论是（　　） A. 由已知条件，这个三角形被唯一确定 B. 若b＋c＝8，则△ABC的面积是 C. sin A∶ sin B∶ sin C＝7∶5∶3 D. △ABC一定是钝角三角形 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：　由（a＋b）∶（c＋a）∶（b＋c）＝6∶5∶4，可设 （t＞0），所以a＝ t，b＝ t，c＝ t，对A，只知道各 边的比值关系，并不能确定大小，所以这个三角形不能被唯一确定， 故A错误；对B，若b＋c＝8，即b＋c＝4t＝8，所以t＝2，所以a＝7，b ＝5，c＝3，所以 cos A＝ ＝ ＝－ ，所以A＝ ，所 以 sin A＝ ，所以S△ABC＝ bc sin A＝ ×5×3× ＝ ，故B错 误；对C， sin A∶ sin B∶ sin C＝ ∶ ∶ ＝7∶5∶3，故C正确； 对D，由 cos A＝ ＝ ＝－ ，所以A＝ 为钝角， 故D正确.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 若三点A（2，2），B（a，0），C（0，b）（ab≠0）共线，则 ＋ ＝ 　​ 　. 解析： ＝（a－2，－2）， ＝（－2，b－2），依题意，有（a－ 2）（b－2）－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以 ＋ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 13. 如图，在△ABC中，B＝120°，AB＝ ，AD为角平分线，点D在 边BC上，且AD＝ ，则∠ADB＝ ，AC＝ 　​ 　. 45° ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：在△ABD中，由正弦定理，得 sin ∠ADB＝ ＝ ＝ .由 题意知0°＜∠ADB＜60°，所以∠ADB＝45°，则∠BAD＝180°－ 120°－45°＝15°，所以∠BAC＝2∠BAD＝30°，所以C＝30°，所以 BC＝AB＝ .在△ABC中，由余弦定理，得 AC＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 14. 正六角星是我们生活中比较常见的图形，很多饰品中就出现了正六角 星图案（如图①）.正六角星可由两个正三角形一上一下连锁组成（如图 ②）.如图③所示的正六角星的中心为O，A，B，C是该正六角星的顶 点，若｜ ｜＝2，则 · ＝ ⁠. －6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：延长CO至正六角星的一个顶点D，如图所示，由题 意可知∠AOB＝ ，则 cos ∠AOB＝－ ，根据正六角星的 性质和平面向量加法的几何意义可知 ＝2 ＋ ，所 以 ＝－ ＝－（2 ＋ ），则 · ＝ ·（－ 2 － ）＝－2×4－2×2×（－ ）＝－6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝ （1，0），e2＝（0，1）. （1）求a·b，｜a＋b｜； 解：因为e1＝（1，0），e2＝（0，1）， 所以a＝3e1－2e2＝（3，－2），b＝4e1＋e2＝（4，1）， 所以a·b＝（3，－2）·（4，1）＝12－2＝10， a＋b＝（7，－1）， 所以｜a＋b｜＝ ＝5 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （2）求a与b的夹角的余弦值. 解：设a与b的夹角为θ， 则 cos θ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 16. （本小题满分15分）某考古队在科考的过程中，发现一枚扇形玉佩， 但因为地质原因，此扇形玉佩已经碎成若干块，其中一块玉佩碎片如图① 所示，通过测量得到数据AC＝ －1，BC＝ ，AB＝2.（图①中破碎 边缘呈锯齿形状） （1）求这个扇形玉佩的半径； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解：如图，设扇形的圆心为O，连接CO，BO， 在△ABC中，由余弦定理可得 cos ∠BAC＝ ＝ ＝ ， 因为∠BAC∈（0，π），可得∠BAC＝ ， 在△AOB中，因为OA＝OB，则∠ABO＝∠BAC＝ ，即∠AOB＝ ， 可得BO＝AB sin ∠BAC＝2× ＝ ， 所以这个扇形玉佩的半径为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （2）现又找到一块比较规则的三角形碎片，如图②所示，其三边长分别 为 ， ，1，且该三角形碎片有两边是原扇形边界的一部分，请复原该扇 形玉佩的具体参数（圆心角、弧长、面积）. 解：设扇形的圆心角为α∈（0，π）， 因为 cos α＝ ＝－ ，可得α＝ ， 所以扇形的圆心角为 ，弧长为 × ＝ π，面积为 × π× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 17. （本小题满分15分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知A （2，3），B（1，4），C（3，3）. （1）求向量 与 夹角的余弦值； 解：因为A（2，3），B（1，4），C（3，3）， 所以 ＝（2，3）， ＝（3，3）－（1，4）＝（2，－1）， 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ， 故向量 与 夹角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （2）若点D满足 // ， ⊥ ，求点D的坐标及向量 在向量 上的投影向量的坐标. 解：题意可得 ＝（1，4）， ＝（3，3）， 由 // ，不妨设 ＝λ ＝（λ，4λ）（λ≠0）， 所以 ＝ ＋ ＝（2，3）＋（λ，4λ）＝（λ＋2，4λ＋3）， 因为 ⊥ ，所以 · ＝3（λ＋2）＋3（4λ＋3）＝0，解得λ＝－1， 所以 ＝（1，－1），即D（1，－1）， 所以 · ＝1×1＋4×（－1）＝－3，｜ ｜＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 所以向量 在向量 上的投影向量为 · ＝ ·（1，4）＝ （－ ，－ ）， 故向量 在向量 上的投影向量的坐标为（－ ，－ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 18. （本小题满分17分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， b，c，b＝a＋1，c＝a＋2. （1）若2 sin C＝3 sin A，求△ABC的面积； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解：由2 sin C＝3 sin A及正弦定理， 得2c＝3a. 又c＝a＋2，所以a＝4，c＝6， 所以b＝a＋1＝5. 由余弦定理，得 cos A＝ ＝ ＝ ， 又A∈（0，π），所以 sin A＝ . 所以S△ABC＝ bc sin A＝ ×5×6× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求a；若不 存在，说明理由. 解：存在. 由题意知c＞b＞a， 要使△ABC为钝角三角形，需 cos C＝ ＝ ＝ ＜0，得0＜a＜3. 因为a为正整数，所以a＝1或a＝2. 当a＝1时，b＝2，c＝3，此时不能构成三角形； 当a＝2时，b＝3，c＝4，满足题意. 综上，存在正整数a＝2，使得△ABC为钝角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 19. （本小题满分17分）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直 观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”数学中，数 和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条 件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.而向量正是数与形“沟通的 桥梁”. （1）如图，在△ABC中，G是三角形的重心（三条中线 的交点），过点G作一条直线分别交AB，AC于点M，N. （ⅰ）记 ＝a， ＝b，请用a，b表示 ； （ⅱ）设 ＝m ， ＝n （m，n＞0），求4m＋n的最小值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解：（ⅰ）设D是BC的中点，连接AD（图略）， 则 ＝ （a＋b）， ∵点G是△ABC的重心， ∴ ＝ ＝ （a＋b）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （ⅱ）由（ⅰ）知 ＝ ＋ ＝ ＋ ， ∵M，G，N三点共线，G在线段MN上， ∴ ＋ ＝1（m＞0，n＞0）， ∴4m＋n＝ （4m＋n）（ ＋ ）＝ ×（5＋ ＋ ）≥ ×（5＋ 2 ）＝3，当且仅当n＝2m＝1时取等号， ∴4m＋n的最小值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （2）已知点O是△ABC的 　　　　，且 ＝ ＋ ，求 cos ∠BAC. 请从下面两个条件中选一个填在上述横线上，并完成解答. ①外心（三条边的垂直平分线的交点）； ②垂心（三条高的交点）. 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解：设△ABC中，∠BAC，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c. 由 ＝ ＋ 可知点O在△ABC的内部. 若选①，如图所示，取AB的中点M，AC的中点N，连接 OM，ON，可知OM⊥AB，ON⊥AC， 从而 · ＝ · ＝ c2， 即（ ＋ ）· ＝ c2， ∴ c2＋ bc· cos ∠BAC＝ c2， 故 b· cos ∠BAC＝ c， 同理， · ＝ · ＝ b2， 可得 c· cos ∠BAC＝ b， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 联立 得 cos ∠BAC＝ . 若选②，由已知得 ＝ － ＝ － ， ＝ － ＝ － ， 由 得 ∴ cos ∠BAC＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） $