第2章 1.1 位移、速度、力与向量的概念 1.2 向量的基本关系(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

第二章　平面向量及其应用 §1　从位移、速度、力到向量 1.1　位移、速度、力与向量的概念 1.2　向量的基本关系 【基础落实】 知识点一 2.大小　方向　3.｜a｜　0　单位向量 知识点二 1.相等　相同　2.a∥b　0∥a　3.－a　零向量　4.（1）0°　180°　（2）0°　180°　（3）90°　a⊥b　0⊥a 想一想 1.提示：不一定.单位向量指的是长度为1个单位长度的向量，方向不一定相同，故并非所有单位向量都相等. 2.提示：不一定.向量与共线指的是向量与方向相同或相反，但表示向量与的有向线段的端点并非在一条直线上. 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）× 2.C　根据圆的性质可知，，是模相等的向量.故选C. 3.120°　90° 【典例研析】 【例1】　①③　解析：①正确，模等于0的向量是零向量； ②错误，由于零向量与任一向量共线，且方向是任意的，因此，当a与b共线且其中有一个为零向量时，它们的方向不一定相同或相反； ③正确，对于一个向量只要不改变其模的大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同. 跟踪训练 ABC　向量与向量的方向相反，长度相等，故A正确；规定零向量与任意向量平行，故B正确；能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.故选A、B、C. 【例2】　解：（1）所作向量如图所示. （2）由题意，易知与方向相反，所以与共线. 因为｜｜＝｜｜，所以在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD.所以四边形ABCD为平行四边形. 所以｜｜＝｜｜＝200（km），且AD∥BC，所以与同向，即的方向也是北偏西40°，且｜｜＝200（km）. 跟踪训练 　解：如图所示，表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则｜｜＝1 400（km）.表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，则｜｜＝1 400（km）. 所以表示飞机从A地到C地的位移. 在△ABC中，AB＝BC＝1 400（km），且∠ABC＝75°－15°＝60°，故△ABC为等边三角形，所以∠BAC＝60°，AC＝1 400（km）.所以C地在A地北偏东60°－15°＝45°方向上，距离A地1 400 km. 【例3】　解：（1）＝，＝. （2）与共线的向量有：，，. （3）与模相等的向量有：，，，，，，. （4）向量与不相等，因为它们的方向不相同. 跟踪训练 　AD　因为＝，所以四边形ABCD是平行四边形，所以＝，＝，＝－，≠.故选A、D. 【例4】　解：由题意知△OAB，△OBC，△OCD，△OED，△OEF，△OFA均为等边三角形. ∴与的夹角是∠DOB＝120°， 与的夹角是∠DOE＝60°， 与的夹角等于与的夹角，设夹角为θ， ∴与的夹角θ＝60°. 跟踪训练 C　如图所示，由于在正三角形ABC中，与的夹角是60°，与的夹角是60°，与的夹角是60°，因此有3组夹角相等的向量.故选C. 随堂检测 1.B　零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误的. 2.B　当｜a｜＝｜b｜时，因向量a，b的方向不一定相同，则a与b不一定相等，当a＝b时，必有｜a｜＝｜b｜，所以“｜a｜＝｜b｜”是“a＝b”的必要不充分条件.故选B. 3.ABC　单位向量的长度为1，零向量的长度为0，A正确；零向量与任一向量平行，B正确；因为向量和向量是方向相反，模相等的两个向量，C正确；定义两个非零向量存在夹角，而零向量与任何向量不存在夹角，D不正确. 4.①②③　解析：由①知与互为相反向量，它们的模一定相等，①正确.对于②，由共线向量的定义可知②正确.对于③，表述的两向量为方向相反的向量，两向量一定共线，③正确. 5.2　90°　解析：｜｜＝＝2，｜｜＝＝，｜｜＝5，则BA2＋BC2＝AC2，所以∠ABC＝90°，即与夹角的大小为90°. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1　位移、速度、力与向量的概念　1.2　向量的基本关系 课标要求 1.通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景（数学抽象）. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素（直观想象）. 3.了解平面向量共线和向量相等的含义及向量的夹角（数学抽象、逻辑推理）. 　　我们在物理学中已经知道，力是矢量（既有大小，又有方向），如图，放在水平桌面上的物体A. 【问题】　（1）物体A受到哪些力的作用？ （2）物体A受到的力应怎样表示？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　向量的概念与表示 1.向量的背景——位移、速度、力 在物理学中，我们学习过“位移”“速度”和“力”等物理量. 位移、速度和力这些物理量都是既有大小又有方向的量，它们和长度、面积、质量等只有大小的量不同. 2.向量的概念及表示方法 向量 既有大小又有方向的量统称为向量； 那些只有大小没有方向的量称为数量（如年龄、长度、质量、面积、体积等） 有向线段 在数学中，这种具有方向和长度的线段称为有向线段（如图），以A为起点，B为终点的有向线段，记作.线段AB的长度称为有向线段的长度，记作｜｜ 向量的表示 几何表示 字母表示 向量可以用有向线段表示，其中有向线段的长度表示向量的　　　　，箭头所指的方向表示向量的　　　　 向量也可以用黑斜体小写字母如a，b，c，…或，，，…（书写）来表示 3.向量的相关概念 向量的模 向量a的大小，记作　　　　，又称作向量的模 零向量 长度为0的向量称为零向量，记作　　或 单位向量 模等于1个单位长度的向量称为　　 　　提醒：有向线段和向量的区别与联系 向量 有向线段 区别 ①向量有大小和方向两个要素；②向量是可以自由平移的 ①有向线段有起点、方向、长度三个要素；②有向线段是固定的线段 联系 有向线段是向量的几何表示，一条有向线段对应着一个向量，但一个向量对应着无数多条有向线段 知识点二　向量的基本关系 1.相等向量 相等向量是指它们的长度　　　　且方向　　　　.向量a与b相等，记作a＝b. 2.共线（平行）向量 若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作　　　　. 规定：零向量与任一向量共线，即对任意的向量a，都有　　　　. 3.相反向量 若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量.相反向量是共线向量.a的相反向量记作　　　　.零向量的相反向量仍是　　　　. 4.向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则θ＝∠AOB （　　　　≤θ≤　　　　）称为向量a与b的夹角； （2）性质：当θ＝　　　　时，a与b同向；当θ＝　　　　时，a与b反向； （3）向量垂直：如果a与b的夹角是　　　，我们说a与b垂直，记作　　　　. 规定：零向量与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有　　　　. 【想一想】 1.所有的单位向量都相等吗？ 2.若向量与共线，则A，B，C，D四点一定共线吗？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）向量同数量一样可以比较大小.（　　） （2）两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行.（　　） （3）向量就是有向线段.（　　） 2.设O为△ABC外接圆的圆心，则，，是（　　） A.相等向量　　　　　B.平行向量 C.模相等的向量 D.起点相同的向量 3.在等边三角形ABC中，与的夹角是　　　，点E为BC中点，则与的夹角为　　　　. 题型一｜向量的有关概念 【例1】　给出以下说法： ①若｜a｜＝0，则a为零向量； ②若a与b共线，则a与b的方向相同或相反； ③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量. 其中正确说法的序号是　　　　. 尝试解答 通性通法 1.判断一个量是否为向量的两个关键条件 （1）有大小； （2）有方向.两个条件缺一不可. 2.理解零向量和单位向量应注意的问题 （1）零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等； （2）单位向量不一定相等，易忽略向量的方向. 【跟踪训练】 　〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.向量的长度与向量的长度相等 B.零向量与任意非零向量平行 C.长度相等方向相反的向量共线 D.方向相反的向量可能相等 题型二｜向量的表示及应用 【例2】　一辆汽车从点A出发向正西方向行驶了100 km到达点B，然后又改变方向向北偏西40°行驶了200 km到达点C，最后又改变方向，向正东行驶了100 km到达点D. （1）作出向量，，； （2）说出向量的大小和方向. 尝试解答 通性通法 画向量的方法及注意事项 （1）方法：①确定向量的起点；②根据运动方向确定向量的方向，并根据向量的大小确定向量的终点； （2）注意事项：用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可. 【跟踪训练】 飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1 400 km到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行1 400 km到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？ 题型三｜相等向量与共线（平行）向量 【例3】　O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中： （1）分别找出与，相等的向量； （2）找出与共线的向量； （3）找出与模相等的向量； （4）向量与是否相等？ 尝试解答 通性通法 　　判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关.对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可. 【跟踪训练】 〔多选〕如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是（　　） A.与　　　　　　B.与 C.与 D.与 题型四｜向量的夹角 【例4】　如图，O是正六边形ABCDEF的中心，分别求出与，与，与的夹角. 尝试解答 通性通法 　　在求两个向量的夹角时，一定要明确夹角的定义，只有当表示两个向量的有向线段的起点重合时，所形成的角才是向量的夹角.当表示两个向量的有向线段的终点重合时，所形成的角也是向量的夹角；当表示两个向量的有向线段的起点与终点重合时，所形成的角是向量的夹角的补角. 【跟踪训练】 　在正三角形ABC中，下列各组向量夹角相等的组数是（　　） ①与；②与；③与. A.1 B.2 C.3 D.0 1.下列说法错误的是（　　） A.若a＝0，则｜a｜＝0 B.零向量是没有方向的 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 2.“｜a｜＝｜b｜”是“a＝b”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.〔多选〕下列说法中正确的有（　　） A.单位向量的长度大于零向量的长度 B.零向量与任一单位向量平行 C.向量和向量互为相反向量 D.任意两个向量都有夹角 4.给出下列命题： ①｜｜＝｜｜； ②向量a与向量b的方向相同或相反，则a∥b； ③方向为南偏西60°的向量与方向为北偏东60°的向量是共线向量. 其中，正确的命题的序号是　　　　. 5.如图所示，已知小正方形的边长为1，则向量的长度是　　　　，与夹角的大小为　　　　. 提示：完成课后作业　第二章　§1　1.1　1.2 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $