1 1.1 基本关系式&1.2 由一个三角函数值求其他三角函数值-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

1.1 　基本关系式　 1.2　由一个三角函数值求其他三角函数值 　 第四章 §1　同角三角函数的基本关系 知识目标 1．能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式．　 2．理解同角三角函数的基本关系式 3．能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值． 素养目标 通过对同角三角函数基本关系式的推导，培养学生逻辑推理素养；通过由一个三角函数值求其他三角函数值培养学生数学运算素养． 知识点一　 基本关系式 1 知识点二　由一个三角函数值求其他三角函数值 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　 基本关系式 返回 问题导思 问题1．观察下表，你能发现什么？ 提示：对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1. 问题2．如图所示，如果对于任意角α的终边与单位圆的交点为P(cos α，sin α)，那么角α的三个三角函数值sin α，cos α与tan α之间的关系是什么呢？ 新知构建 1．同角三角函数的基本关系 基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 __________________ 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 __________________________ 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 sin2α＋cos2α＝1 微提醒 (1)对任意角α，β，下列等式恒成立的为 A．sin23α＋cos23α＝1 D．sinα＝cos α tan α 例1 √ 由同角三角函数的基本关系知sin23α＋cos23α＝1恒成立．故选A． (2)设x∈R，则“sin x＝0”是“cos x＝1”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 若sin x＝0，则sin 2x＝1－cos 2x＝0⇒cos x＝±1，故充分性不成立，若cos x＝1，则cos 2x＝1－sin 2x＝1⇒sin x＝0，故必要性成立，故“sin x＝0”是“cos x＝1”的必要不充分条件．故选B． 规律方法 1．同角三角函数的基本关系式中的角都是“同一个角”，注意平方关系式和商数关系式中的角α的取值范围． 2．利用三角函数的定义解决与三角函数的有关问题，是解决三角函数问题的一个基本思路．比如利用三角函数的定义证明同角三角函数关系式．　　 A．一、二 B．二、三 C．二、四 D．不能确定 √ (2)(多选)若α是第二象限角，则下列各式中成立的是 √ √ 返回 知识点二　由一个三角函数值求其他三角函数值 返回 问题导思 问题3．已知一个角的某一个三角函数值，能否求这个角其他三角函数值？ 提示：能求． 新知构建 由角α的某一个三角函数值，利用sin2α＋cos2α＝1和tanα＝ 这两个关系式，可以求出其他三角函数值． 微提醒 (4)注意要根据角的终边所在的象限，判断三角函数值的符号． 角度1　已知角的终边的位置 (链教材P146例1)已知cosα＝－ ，α是第二象限角，求sin α，tan α的值． 解：当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0， 例2 规律方法 已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法 1．已知一个三角函数值求其他三角函数值时，一般是先选平方关系，再用商数关系． 2．利用平方关系求三角函数值时，应根据角α的终边所在的象限确定所求三角函数值的符号．　　 对点练2．已知tan α＝ ，且α是第三象限角，求sin α和cos α的值． 角度2　未知角的终边的位置 (链教材P146例2，P147例3)已知tan θ＝a(a≠0)，求sin θ和cos θ. 例3 又因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以a2cos2θ＋cos2θ＝1， 因为tanθ＝a(a≠0)，所以θ的终边不在x轴上， 规律方法 1．如果已知三角函数值，但没有指定角的终边在哪个象限，那么先由已知三角函数值确定角终边可能在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解． 2．如果所给的三角函数值含字母，且没有指定角的终边在哪个象限，那么就需要进行分类讨论．　　 所以α是第二或第三象限角． 返回 综合应用 返回 例4 基本关系式的综合应用 解得m＝0或m＝8. 规律方法 在利用基本关系式求值时，要注意符号的选取，且注意sin2α＋cos2α＝1变形的应用．　　 对点练4．(新定义)在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r>0)，规定：比值 叫做α的正余混弦，记作sch α.若sch α＝ (0<α<π)，则tan α＝________. 返回 课堂小结 知识 1．同角三角函数关系式的理解. 2．已知某一个三角函数值，求其他三角函数值 方法 解方程(组)法、分类讨论法 易错误区 求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论 随堂演练 返回 1．下列四个命题中正确的是 由sin2α＋cos2α＝1可知A不正确，B正确；D不正确，tanα＝ ；C不正确，若cos α＝－1，则α＝π＋2kπ(k∈Z)，则tan α＝0.故选B． √ √ √ 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．已知cos140°＝m，则tan 50°等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．3 B．－3 C．2 D．－1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．已知sin θ，cos θ是关于x的方程5x2－x＋5m＝0的两根，则实数m＝ ________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．(易错题)已知2sin θ＝1－cos θ，则tan θ＝__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点和始边分别与坐标原点O和x轴的非负半轴重合，角α(如图所示)的终边与单位圆的交点A的纵坐标为 . (1)求cos α与sin α的值；(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若角β的终边位于第三象限，且与角α的终边相互垂直， 求tan β的值．(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(新角度)利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．下表为部分锐角的正弦值，则tan 890°的值约为 A．－0.18 B．－0.14 C．0.14 D．0.18 √ α sin α 10° 0.173 6 20° 0.342 0 30° 0.500 0 40° 0.642 7 50° 0.766 0 60° 0.866 0 70° 0.939 7 80° 0.984 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)完成下列两个小题： (1)已知α是第三象限角，且cos α＝－ ，求sin α的值；(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)已知tan α＝ ，求cos α的值．(8分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)(开放题)已知角α满足________．请从下列三个条件中任选一个作答．(注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分). 条件①：角α的终边与单位圆的交点为M ； 条件②：角α满足sin α＝ ； 条件③：角α满足17sin 2α－8cos 2α＝1. (1)求tan α的值；(7分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 条件③：因为角α满足17sin 2α－8cos 2α＝1， 又因为sin 2α＋cos 2α＝1， 即17sin 2α－8cos 2α＝sin 2α＋cos 2α，可得16sin 2α＝9cos 2α， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求sin αcos α－sin 2α＋1的值．(10分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 四 章 三 角 恒 等 变 换 返回 sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 提示：sin2α＋cos2α＝1；tanα＝(α≠kπ＋，k∈Z). tanα＝(α≠kπ＋，k∈Z) (1)“同角”的含义：一是“角相同”，与角的表示形式无关．如sin2＋cos2＝1成立，这里的同角是指.二是对“任意”一个角，关系式都成立．(2)sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝仅对α≠＋kπ，k∈Z成立． 2．公式变形 sin2α＋cos2α＝1⇒ tan α＝⇒(α≠kπ＋，k∈Z). B．＝tan C．若sin2＋cos2＝1，则sin2α＋cos2β＝1 对点练1．(1)设角θ满足条件则θ所在的象限是 因为sin θ＝，cos θ＝，且sin2θ＋cos2θ＝1，所以＋2 ＝1，解得k＝0或k＝8，若k＝0，则sinθ＝－，cos θ＝，此时θ所在象限是第四象限；若k＝8，则sin θ＝，cos θ＝－，此时θ所在象限是第二象限，所以θ为第二象限或第四象限角．故选C． A．cos α＝－ B．＝sin α－cos α C．cos α＝－ D．＝sin α＋cos α 对于A，由同角三角函数的基本关系式，知cos α＝，所以A错误；对于B，＝＝|sin α－cos α|，因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以原式＝sin α－cos α，所以B正确；对于C，α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以有cos α＝－，所以C正确；对于D，＝＝|sin α＋cos α|，但是α是第二象限角，所以sin α＋cos α符号不确定，所以D错误．故选BC． (1)若已知sin α＝m，先求cos α＝±，再由公式tanα＝(α≠＋kπ，k∈Z)求tan α. (2)若已知cos α＝m，先求sin α＝±，再由公式tanα＝(α≠＋kπ，k∈Z)求tan α. (3)若已知tan α＝m，则由tan α＝＝m，可得sin α＝m cos α，再结合sin2α＋cos2α＝1，通过方程组求解． 所以sin α＝＝＝， 所以tanα＝＝＝－. 又α是第三象限角，所以cosα＝－，则sin α＝－. 解：因为tan α＝，所以＝，即sin α＝cos α. 因为sin2α＋cos2α＝1，所以＋cos2α＝1，则cos2α＝. 解：因为tan θ＝a，所以＝a，所以sin θ＝a cos θ， 解得cos2θ＝， 所以cos θ＝ 所以sin θ＝cos θtan θ ＝ ②当α为第二象限角时，cos α＝－，tan α＝－. 对点练3．(1)已知sin α＝，求cos α，tan α的值； 解：因为sin α＝>0，所以α是第一或第二象限角． ①当α为第一象限角时，cos α＝＝＝，tanα＝＝； tan α＝＝＝－. ②当α是第三象限角时，则sin α＝－＝－，tanα＝. (2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． 解：因为cos α＝－<0， ①当α是第二象限角时，则sin α＝ ＝＝， 当m＝8时，sin θ＝，cos θ＝－，所以tan θ＝－. 已知sin θ＝，cos θ＝，求tan θ的值． 解：由sin2θ＋cos2θ＝1，得＋＝1， 当m＝0时sinθ<0，不符合<θ<π，所以m＝0舍去； 因为0<α<π，则sin α>0，由正余混弦的定义可得sch α＝＝－＝sin α－cos α. 则有解得 因此，tan α＝＝. A．sin α＝且cos α＝ B．sin α＝0且cos α＝－1 C．tan α＝1且cos α＝－1 D．tan α＝－(α为第二象限角) 2．已知cos α＝－，且π<α<，则sin α＝ A．－ B．－ C． D． 由题设得sin α＝－＝－.故选A． 3．(2024·江西南昌高一测试)已知tan α＝，α∈(π，)，则cos α的值是 A．± B． C．－ D． 由tan α＝，可得＝，又sin2α＋cos2α＝1，可得cos2α＋cos2α＝1，解得cos2α＝，因为α∈(π，)，所以cosα＝－.故选C． 4．若sin A＝，且A是三角形的一个内角，则＝_________． 6或－ 因为sin A＝>0，且A是三角形的一个内角，所以A为锐角或钝角．当A为锐角时，cos A＝＝，所以原式＝＝6；当A为钝角时，cosA＝－＝－，所以原式＝＝－. 1．已知sinα＝，且α为第二象限角，则cos α＝ A．－ B．－ C． D． 因为sin α＝，且α为第二象限角，所以cos α＝－＝－.故选A． 2．若α是第四象限角，tan α ＝－，则sin α等于 A． B．－ C． D．－ 因为tan α＝＝－，sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝±.因为α是第四象限角，所以sin α＝－.故选D． 3．已知sin α＝，tan α＝－，则cos α等于 A．－ B． C．－ D． 由sin α＝>0，tan α＝－<0，可知α是第二象限角，所以cos α＝－＝－.故选A． A． B． C． D． 因为cos 140°＝cos (90°＋50°)＝－sin 50°＝m<0，则sin 50°＝－m，所以cos 50°＝＝＝，所以tan50°＝＝.故选B． 5．(多选)＋的值可能为 由题得＋＝＋，当α在第一象限时，原式＝＋＝3；当α在第二象限时，原式＝＋＝1；当α在第三象限时，原式＝＋＝－3；当α在第四象限时，原式＝＋＝－1.故选ABD． － 由sin θ，cos θ是关于x的方程5x2－x＋5m＝0的两根，所以由(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，可得2＝1＋2m，则m＝－，经检验符合题意，所以实数m的值为－. 又因为tan θ＝＝，则cos θ＝2sin θ， 且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝或sin θ＝－(舍去)，所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－. 7．(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________． － 因为θ∈，则sin θ>0，cos θ>0， 0或－ 由2sin θ＝1－cos θ，sin2θ＝1－cos2θ，解得cosθ＝1或cos θ＝－，当cos θ＝1时，sin θ＝0，此时tan θ＝0；当cos θ＝－时，sin θ＝，此时tan θ＝－.所以tan θ＝0或tan θ＝－. 解：由三角函数的定义知sin α＝，又由图可知角α是第二象限角， 所以cos α＝－＝－. 解：由题意知β＝α＋＋2kπ， 所以tanβ＝tan ＝tan ＝＝＝2. 10．(多选)已知θ∈，且sin θ＝，则关于θ表述正确的是 A．θ＝ B．cos θ＝－ C．tan θ＝ D．tan θ＝ 因为θ∈，且sin θ＝，所以θ∈，则θ＝，cos θ＝， tan θ＝.故选AD． tan 890°＝tan (5×180°－10°)＝tan (－10°)＝－tan 10°＝－＝ －＝－≈－0.18.故选A． 12．(2024·山东德州高一期末)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若角α的终边落在直线x＋3y＝0上，则 的值等于 A．3或－3 B．或－ C．3或－ D．－3或 角α的终边落在直线x＋3y＝0上，所以角α的终边在第二象限或第四象限，所以tan α＝－，所以＝.当角α的终边在第二象限时，sin α>0，所以＝＝＝tan α＝－；当角α的终边在第四象限时，sin α<0，所以＝＝－＝－tan α＝.故选B． 解：由cos α＝－可得sin 2α＝1－cos 2α＝， 由于α是第三象限角，所以sin α<0，故sin α＝－. 当α是第一象限角时，cos α＝2sin α＝， 当α是第三象限角时，cos α＝2sin α＝－. 解：由tan α＝>0，可知α是第一象限或者第三象限角， tan α＝＝⇒cos α＝2sin α，又cos 2α＋sin 2α＝1⇒sin 2α＝，即sin α＝±， 14．(5分)(新情境)英国数学家泰勒发现了如下公式：sin x＝x－＋－＋…，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性．利用上面公式的前三项计算cos 1，得到近似值为 ___________(结果用分数表示，提示：n！＝n×(n－1)×(n－2)…3×2×1). 由题意sin 1≈1－＋＝1－＋＝，所以cos 1＝＝＝. 条件②：因为角α满足sin α＝，又因为sin 2α＋cos 2α＝1，即可得cos 2α＝， 所以cos α＝±，可得tan α＝±. 解：条件①：因为角α的终边与单位圆的交点为M， 所以x2＋2＝1，x＝±. 由三角函数的定义可得tan α＝±. 又cos 2α≠0，所以tan 2α＝，即tan α＝±. 可以得到sin α＝，cos α＝， 所以sin αcos α－sin 2α＋1＝. 解：由(1)可知tan α＝±. 当α为第一象限角时，tan α＝， 由 当α为第三象限角时，tan α＝，此时sin α＝－，cos α＝－， 所以sin αcos α－sin 2α＋1＝. 同理：当α为第二象限角时，tan α＝－， 此时sin α＝，cos α＝－， 所以sin αcos α－sin 2α＋1＝. 当α为第四象限角时，tan α＝－，此时sin α＝－，cos α＝， 所以sin αcos α－sin 2α＋1＝. 综上，sin αcos α－sin 2α＋1的值为或. $$