第1章 7.3 正切函数的图象与性质(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

7.3　正切函数的图象与性质 课标要求 1.能够正确画出正切函数的图象（数学抽象）. 2.会通过正切函数的图象研究其性质（逻辑推理）. 3.能运用正切函数图象与性质解决问题（数学运算）. 　　正切函数在实际测量中的应用是十分广泛的，例如，测量山的高度、测量池塘的宽度都需要利用正切函数进行解决. 【问题】　你能够类比研究正弦函数和余弦函数的方法，研究正切函数的图象和性质吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　正切函数的图象与性质 1.正切函数的图象 （1）正切函数y＝tan x的图象： （2）正切函数的图象称作　　　　　　； （3）正切函数的图象特征：正切曲线是由被相互平行的直线　　　　　　　　　所隔开的无穷多支曲线组成的.这些直线称作正切曲线各支的渐近线. 2.正切函数的性质 函数 y＝tan x 定义域 值域 奇偶性 　　　函数 单调性 单调递增区间：　　　　　　　　； 单调递减区间：　　　　　　　 周期性 周期是kπ，k∈Z，k≠0，最小正周期是　 对称中心 （k∈Z） 　　提醒：（1）正切函数在定义域上不具备单调性，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，无单调递减区间，没有最大值和最小值；（2）画正切函数图象常用三点两线法：“三点”是指，（0，0），，“两线”是指x＝－和x＝，大致画出正切函数在上的简图后向左、右平移即得正切曲线. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）正切函数的定义域和值域都是R.（　　） （2）正切函数在R上是增函数.（　　） （3）正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心.（　　） （4）正切函数的最小正周期为π.（　　） 2.函数y＝tan x的对称中心坐标可统一表示为（　　） A.（kπ，0）（k∈Z）　 B.（k∈Z） C.（k∈Z） D.（2kπ，0）（k∈Z） 3.函数y＝tan x，x∈的值域是　　　　. 题型一｜正切函数的定义域及值域 【例1】　（1）函数y＝3tan的定义域为　　　　； （2）函数y＝tan2x－2tan x的值域为　　　. 尝试解答 通性通法 1.求与正切函数有关的函数定义域的方法 （1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解； （2）求正切型函数y＝Atan（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”.令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x. 2.求与正切函数有关的函数值域的方法 （1）对于y＝Atan（ωx＋φ）的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域； （2）对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域. 【跟踪训练】 1.函数y＝的定义域为　　　　. 2.函数y＝3tan（π＋x），－＜x≤的值域为　　　　. 题型二｜正切函数的图象及应用 角度1　正切函数的图象 【例2】　作出函数y＝tan｜x｜的图象，并判断函数的奇偶性及周期性. 尝试解答 通性通法 　　作正切函数的图象时，先画一个周期内的图象，再把这一图象向左、右平移.从而得到正切函数的图象，通过图象的特点，可用“三点两线法”，这“三点”是（－，－1），（0，0），（，1），“两线”是直线x＝±为渐近线. 【跟踪训练】 函数y＝tan（x－）在一个周期内的图象是（　　） 角度2　利用正切函数图象解不等式 【例3】　解不等式tan x≥－1. 尝试解答 通性通法 利用正切函数图象解不等式问题的方法 　　解决此类问题，一般根据函数的图象利用数形结合直接写出自变量的取值范围，但要注意是否包含端点值，切记正切函数的最小正周期为π. 【跟踪训练】 　（1）求满足－＜tan x≤1的x的集合； （2）求不等式tan≥－1的解集. 题型三｜正切函数的单调性及应用 【例4】　（1）比较大小：tan和tan； （2）求函数y＝tan的单调区间. 尝试解答 通性通法 1.求函数y＝Atan（ωx＋φ）（A，ω，φ都是常数）的单调区间的方法 （1）若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都单调递增，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋（k∈Z），求得x的范围即可； （2）若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan（ωx＋φ）转化为y＝Atan[－（－ωx－φ）]＝－Atan（－ωx－φ），即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可. 2.运用正切函数单调性比较大小的方法 （1）运用函数的周期性或诱导公式将角转化到同一单调区间内； （2）运用正切函数单调性比较大小关系. 【跟踪训练】 　（1）比较tan与tan的大小； （2）求函数y＝3tan的单调区间. 题型四｜与正切函数有关的周期性、奇偶性问题 【例5】　（1）若f（x）＝tan ωx（ω＞0）的周期为1，则f的值为（　　） A.－　　B.－　　C.　　D. （2）函数f（x）＝的奇偶性是（　　） A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数，又是偶函数 D.既不是奇函数，也不是偶函数 尝试解答 通性通法 正切函数的周期性、奇偶性问题的解题策略 （1）一般地，函数y＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期； （2）判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称.若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f（－x）与f（x）的关系. 【跟踪训练】 1.〔多选〕已知函数f（x）＝tan（x＋），则下列结论正确的是（　　） A.函数f（x）的定义域为{x｜x≠2k＋，k∈Z} B.函数f（x）的最小正周期为T＝4 C.函数f（x）的单调递增区间为（－＋2kπ，＋2kπ），k∈Z D.函数f（x）图象的对称中心为（k－，0），k∈Z 2.判断函数f（x）＝lg的奇偶性. 1.当x∈时，函数y＝tan｜x｜的图象（　　） A.关于原点对称 B.关于y轴对称 C.关于x轴对称 D.无法确定 2.函数y＝tan x（－≤x≤）的值域是（　　） A.[－1，1] B.（－∞，－1]∪[1，＋∞） C.（－∞，1] D.[－1，＋∞） 3.函数y＝3tan的最小正周期是（　　） A.　　　 B. C.π　　　 D.3 4.函数y＝tan的定义域为（　　） A. B. C. D. 5.若函数y＝tan ωx在内单调递减，则ω的取值范围为　　　　. 提示：完成课后作业　第一章　§7　7.3 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3　正切函数的图象与性质 【基础落实】 知识点 1.（2）正切曲线　（3）x＝＋kπ（k∈Z）　 2.{x∈R｜x≠＋kπ，k∈Z}　R　奇　（k∈Z）　无　π 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）√ 2.C　y＝tan x的图象与x轴的交点以及x轴上使y＝tan x无意义的点都是对称中心. 3.[0，1]　解析：函数y＝tan x在上单调递增，所以ymax＝tan ＝1，ymin＝tan 0＝0. 【典例研析】 【例1】　（1） （2）[－1，3＋2] 解析：（1）由－≠＋kπ，k∈Z，得x≠－－4kπ，k∈Z，即函数的定义域为. （2）令u＝tan x，∵｜x｜≤，∴由正切函数的图象知u∈[－，]，∴原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－，]，∵二次函数y＝u2－2u＝（u－1）2－1图象开口向上，对称轴方程为u＝1，∴当u＝1时，ymin＝－1，当u＝－时，ymax＝3＋2，∴原函数的值域为[－1，3＋2]. 跟踪训练 1. 解析：依题意有tan x－1≠0，所以tan x≠1. 所以x≠kπ＋，k∈Z.又x≠kπ＋，k∈Z，故函数定义域为{x｜x≠kπ＋，且x≠kπ＋，k∈Z}. 2.（－3，]　解析：函数y＝3tan（π＋x）＝3tan x，因为正切函数在上单调递增，所以－3＜y≤，所以值域为（－3，]. 【例2】　解：因为y＝tan｜x｜ ＝ 所以当x≥0时，函数y＝tan｜x｜在y轴右侧的图象即为y＝tan x在y轴右侧的图象. 当x＜0时，函数y＝tan｜x｜在y轴左侧的图象为y＝tan x在y轴右侧的图象关于y轴对称的图象，如图所示. 由图象知，函数y＝tan｜x｜是偶函数，但不是周期函数. 跟踪训练 A　当x＝时，tan（×－）＝0，排除C、D；当x＝时，tan（×－）＝tan，无意义，排除B.故选A. 【例3】　解：作出y＝tan x一个周期的图象，如图所示. 令y＝－1，得x＝－， 所以在中满足不等式tan x≥－1的x的取值范围为. 由正切函数的周期性可知，原不等式的解集为（k∈Z）. 跟踪训练 　解：（1）根据正切函数的图象可知， 在上，满足－＜tan x≤1的x的取值范围是， 而正切函数的周期是kπ，k∈Z. 故满足－＜tan x≤1的x的集合是 {x｜kπ－＜x≤kπ＋，k∈Z}. （2）由正切函数的图象，可知－＋kπ≤2x＋＜＋kπ，k∈Z，解得－＋≤x＜＋，k∈Z， 所以原不等式的解集为{x｜－＋≤x＜＋，k∈Z}. 【例4】　解：（1）∵tan ＝－tan＝tan ， tan＝－tan＝tan . 又0＜＜＜，y＝tan x在内单调递增， ∴tan ＜tan ， 即tan＞tan. （2）y＝tan ＝－tan， 由kπ－＜x－＜kπ＋（k∈Z）， 得2kπ－＜x＜2kπ＋（k∈Z）， ∴函数y＝tan的单调递减区间是（k∈Z），无单调递增区间. 跟踪训练 解：（1）tan＝tan＝－tan，tan＝tan＝－tan. 因为0＜＜＜，且y＝tan x在区间上单调递增，所以tan＞tan， 所以－tan＜－tan，即tan＜tan. （2）y＝3tan＝－3tan， 由－＋kπ＜2x－＜＋kπ（k∈Z），得－＋＜x＜＋（k∈Z）， 所以函数y＝3tan的单调递减区间为（k∈Z），无单调递增区间. 【例5】　（1）D　（2）A　解析：（1）依题意T＝＝1，ω＝π，所以f（x）＝tan πx.所以f＝tan ＝.故选D. （2）要使函数f（x）有意义 ，必须满足即x≠kπ＋，且x≠（2k＋1）π（k∈Z），所以函数f（x）的定义域关于原点对称，又f（－x）＝＝－＝－f（x），所以f（x）＝是奇函数. 跟踪训练 1.AD　由x＋≠kπ＋（k∈Z），得x≠2k＋（k∈Z），所以函数f（x）的定义域为{x｜x≠2k＋，k∈Z}，故A正确；函数f（x）的最小正周期为T＝＝2，故B错误；由－＋kπ＜x＋＜＋kπ（k∈Z），得－＋2k＜x＜＋2k（k∈Z），所以函数f（x）的单调递增区间为（－＋2k，＋2k），k∈Z，故C错误；由x＋＝（k∈Z），得x＝k－（k∈Z），所以函数f（x）图象的对称中心为（k－，0），k∈Z，故D正确.故选A、D. 2.解：由＞0， 得tan x＞1或tan x＜－1， ∴函数f（x）的定义域为（kπ－，kπ－）∪（kπ＋，kπ＋）（k∈Z），关于原点对称. 又f（－x）＋f（x）＝lg＋lg＝lg（·） ＝lg 1＝0， ∴f（－x）＝－f（x）， ∴f（x）是奇函数. 随堂检测 1.B　函数y＝tan｜x｜，x∈是偶函数.其图象关于y轴对称.故选B. 2.A　函数y＝tan x在区间［－，］上单调递增，且tan（－）＝－1，tan＝1，即值域为[－1，1].故选A. 3.A　由解析式及正切函数的性质，最小正周期T＝.故选A. 4.A　由x－≠＋kπ（k∈Z）⇒x≠＋kπ（k∈Z）.故选A. 5.[－1，0）　解析：由题意知其周期T≥π，即≥π.∴｜ω｜≤1，又函数单调递减，∴ω＜0.故－1≤ω＜0. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $