1.7.3 正切函数的图象与性质 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（北师大版）

1.7.3 正切函数的图象与性质 [课时跟踪检测] 1.函数 y=tan 的最小正周期是 (　　) A. B. C.π D.2π 解析:选B　函数y=tan的最小正周期是T=.故选B. 2.函数f(x)=tan图象的对称中心可能是 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　由2x-=,k∈Z,得x=+,k∈Z.当k=0时,x=. 3.函数y=|tan 2x|是 (　　) A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数 解析:选D　　f(-x)=|tan(-2x)|=|tan 2x|=f(x),故为偶函数,T=. 4.x∈[0,2π],y=+的定义域为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　由题意知 ∴函数的定义域为,故选C. 5.[多选]已知函数f(x)=tan,则 (　　) A.f(x)的图象关于y轴对称 B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)在区间上单调递增 D.f(x)的图象关于点对称 解析:选AC　由|x|+≠+kπ,k∈Z,得|x|≠+kπ,k∈Z,所以f(x)的定义域关于原点对称.又f(-x)=tan=tan=f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故A正确. 当x>0时,f(x)=tan,作出函数f(x)在x>0时的简图,再由f(x)的图象关于y轴对称得函数f(x)的简图,如图. 根据函数图象知,函数f(x)不具有周期性,且在区间上单调递增,函数图象不关于点对称,故B、D错误,C正确.故选AC. 6.下列选项大小关系正确的是 (　　) A.cos 2<sin 2<tan 2 B.tan 2<cos 2<sin 2 C.cos 2<tan 2<sin 2 D.tan 2<sin 2<cos 2 解析:选B　因为<2<,且y=sin x在上单调递减,y=cos x在上单调递减,y=tan x在上单调递增, 所以1=sin >sin 2>sin=,0=cos>cos 2>cos =-,tan 2<tan=-. 所以tan 2<cos 2<sin 2.故选B. 7.函数f(x)=a-tan 2x在x∈的最大值为7,最小值为3,则ab为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　∵x∈,∴b>-. ∴2x∈.∵函数f(x)在x∈的最大值为7,最小值为3, ∴2b<,即b<.∵根据正切函数g(x)=tan x在上单调递增, ∴f(x)=a-tan 2x在上单调递减. ∴f=a+3=7⇒a=4. ∴f(b)=4-tan 2b=3, 则tan 2b=.∵2b∈,∴2b=, 即b=.∴ab=4×=. 8.[多选]已知函数f(x)=tan(7x+φ)+1的图象经过点,则 (　　) A.φ= B.f(x)的最小正周期为 C.f(x)的定义域为 D.不等式f(x)<2的解集为,k∈Z 解析:选BCD　由题知f=tan+1=1, 则tan=0,因为|φ|<,所以φ=-,A错误. f(x)的最小正周期T==,B正确. 令7x-≠+kπ,k∈Z,则x≠+,k∈Z, 所以f(x)的定义域为,C正确. 令tan+1<2,则tan<1, 得-+kπ<7x-<+kπ,k∈Z, 即-+<x<+,k∈Z, 所以不等式f(x)<2的解集为,k∈Z,D正确.故选BCD. 9.(5分)函数y=tan,x∈的值域是__________.  解析:∵x∈,∴+∈,结合正切函数的性质可得1<y≤. 答案:(1,] 10.(5分)比较大小:tan__________tan.  解析:因为tan=tan, tan=tan , 又y=tan x在上单调递增, 所以tan<tan, 即tan<tan. 答案:< 11.(5分)函数y=3tan的单调递减区间为__________.  解析:∵y=3tan=-3tan, ∴kπ-<-<kπ+(k∈Z), 解得4kπ-<x<4kπ+(k∈Z). ∴函数y=3tan的单调递减区间为(k∈Z). 答案:(k∈Z) 12.(5分)如图所示,函数y=tan的部分图象与坐标轴分别交于点D,E,F,则△DEF的面积为__________. 解析:在y=tan中,令x=0,得y=tan=1,故|OD|=1. 又函数y=tan的最小正周期为T=,∴|EF|=.∴S△DEF=·|EF|·|OD|=××1=. 答案: 13.(10分)设函数f(x)=tan. (1)求函数f(x)的最小正周期,图象的对称中心;(4分) (2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.(6分) 解:(1)∵ω=,∴最小正周期T===2π. 令-=(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z). ∴f(x)图象的对称中心是(k∈Z). (2)令-=0,得x=;令-=,得x=;令-=-,得x=-.∴函数f(x)=tan的图象与x轴的一个交点坐标是,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-,x=,从而得到函数y=f(x)在一个周期内的简图,如图所示. 14.(10分)已知函数y=f(x),其中f(x)=Atan(ωx+φ),y=f(x)的部分图象如图. (1)求A,ω,φ的值;(7分) (2)求y=f(x)的单调递增区间.(3分) 解:(1)根据函数图象可知,=-=,则T==,解得ω=2.所以f(x)=Atan(2x+φ).因为f(x)过点(0,1)和点, 所以因为-<φ<,所以<+φ<,则+φ=π,即φ=.所以A=1. 所以f(x)=tan. (2)由kπ-<2x+<kπ+,k∈Z, 解得-<x<+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z. 15.(10分)设函数f(x)=tan(ωx+φ),已知函数y=f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为,且图象关于点M对称. (1)求f(x)的单调区间;(6分) (2)求不等式-1≤f(x)≤的解集.(4分) 解:(1)由题意知,函数f(x)的最小正周期为T=,即=,因为ω>0,所以ω=2,从而f(x)=tan(2x+φ). 因为函数y=f(x)的图象关于点M对称,所以2×+φ=,k∈Z,即φ=+,k∈Z. 因为0<φ<,所以φ=,故f(x)=tan. 令-+kπ<2x+<+kπ,k∈Z, 得-+<x<+,k∈Z. 所以函数的单调递增区间为,k∈Z,无单调递减区间. (2)由(1)知,f(x)=tan. 由-1≤tan≤, 得-+kπ≤2x+≤+kπ,k∈Z, 即-+≤x≤+,k∈Z. 所以不等式-1≤f(x)≤的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $