第1章 6.3 探究A对y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

6.3　探究A对y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响 【基础落实】 知识点 1.伸长　缩短　A　振幅　2.[－A，A]　 　kπ　kπ＋　kπ＋　kπ 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）√ 2.2　　2　解析：由题意知＝π，所以ω＝2，所以f（x）＝2sin（2x＋φ），又由f（0）＝得2sin φ＝，由｜φ｜＜知φ＝. 3.　解析：由＝－＝，∴T＝π，由T＝（ω＞0）得ω＝2.由2×＋φ＝π得φ＝.∴点（ω，φ）的坐标为. 【典例研析】 【例1】　解：由五点法列表： x － 2x＋ 0 π 2π y 0 2 0 －2 0 描点、连线，如图所示为函数在一个周期内的图象， 利用三角函数的周期性，我们可以把上面所得的简图向左、向右扩展，得到y＝2sin，x∈R的简图（图略）. 可见一个周期内，函数在上单调递减.又因为函数的周期为π，所以函数的单调递减区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）.同理，函数的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）. 跟踪训练 　解：（1）列表： x π π π π x－ 0 π π 2π y 3 5 3 1 3 （2）作出图象，如图所示.将函数在一个周期内的图象向左、向右两边扩展即得y＝2sin（x－）＋3的图象. 周期T＝2π，频率为＝，相位为x－，初相为－，最大值为5，最小值为1，函数的单调递减区间为［2kπ＋π，2kπ＋π］（k∈Z），单调递增区间为［2kπ－，2kπ＋π］（k∈Z）. 【例2】　（1）D　（2）ABC　解析：（1）因为y＝2sin（3x＋）＝2sin，所以要得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin的图象上所有的点向右平移个单位长度，故选D. （2）先将函数y＝cos x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝cos（x＋）的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数y＝cos（2x＋）的图象，故A正确；先将函数y＝cos x的图象向右平移个单位长度得到函数y＝cos（x－）＝cos（x＋）的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数y＝cos（2x＋）的图象，故B正确；先将函数y＝cos x的图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数y＝cos 2x的图象，再将图象向左平移个单位长度得到函数y＝cos（2x＋）的图象，故C正确；先将函数y＝cos x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍得到函数y＝cosx的图象，再将图象向左平移个单位长度得到函数y＝cos（x＋）的图象，故D错误.故选A、B、C. 跟踪训练 1.D　因为函数y＝sin（2x－）的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数解析式为y＝sin［2（x－）－］＝sin（2x－π）＝－sin 2x.故选D. 2.B　由函数y＝sin（2x＋）＝cos［－（2x＋）］＝cos（－2x）＝cos（2x－）知，只需将函数y＝cos x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到y＝cos 2x的图象，再向右平移个单位长度得到y＝cos［2（x－）］＝cos（2x－）的图象.故选B. 【例3】　解：法一（逐一定参法）　由图象知振幅A＝3， 又T＝－＝π，∴ω＝＝2. 由图象过点可知，－×2＋φ＝0，得φ＝，∴y＝3sin. 法二（待定系数法）　由图象知A＝3，又图象过点和，根据五点画图法原理（以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点），有解得∴y＝3sin. 法三（图象变换法）　由题意得，T＝π，A＝3，点在函数图象上，易知图象是由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得到的，∴y＝3sin， 即y＝3sin，φ＝. 跟踪训练 　y＝sin（答案不唯一） 解析：法一　由图象知函数的最大值为，最小值为－，又A＞0，∴A＝.由图象知＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2.又×＝，∴图象上的最高点为，∴＝sin（2×＋φ），即sin＝1，可取φ＝－.故函数的一个解析式为y＝sin（2x－）. 法二（五点对应法）　由图象知A＝.又图象过点，，根据“五点法”原理（以上两点可判断为“五点法”中的第一点与第三点）得解得故函数的一个解析式为y＝sin. 法三（图象变换法）　由图可知A＝，＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2.∴该函数的图象可由y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到.故所求函数的一个解析式为y＝sin 2，即y＝sin. 【例4】　解：（1）周期T＝＝＝4π，振幅A＝3，初相是－. （2）由于y＝3sin是周期函数，通过观察图象（图略）可知，所有与x轴垂直并且通过图象的最值点的直线都是此函数的对称轴，即令x－＝＋kπ，k∈Z，解得对称轴方程为x＝＋2kπ，k∈Z. 因为所有图象与x轴的交点都是函数的对称中心，令x－＝kπ，所以x＝＋2kπ，k∈Z，所以对称中心为点，k∈Z. 又因为x的系数为正数，所以把x－视为一个整体，令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，解得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，所以［－＋4kπ，＋4kπ］，k∈Z为此函数的递增区间. 跟踪训练 　解：（1）由题意可知A＝，＝6－2＝4， ∴T＝16，即＝16，∴ω＝，∴y＝sin. 又图象过最高点（2，）， ∴sin＝1， 故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z， 由｜φ｜≤，得φ＝， ∴y＝sin. （2）∵－6≤x≤0， ∴－≤x＋≤， ∴－≤sin≤1. 即函数在[－6，0]上的值域为[－，1]. 随堂检测 1.C　由函数解析式知，最小正周期T＝＝4π，函数的振幅为2，在x＋中，令x＝0，求得初相为.故选C. 2.B　∵f（x）＝sin的图象的对称轴方程为x－＝kπ＋（k∈Z），得x＝kπ＋（k∈Z），∴当k＝－1时，x＝－为其一条对称轴的方程，故选B. 3.A　y＝cos（2x＋） y＝cos［2＋］＝cos（2x－） y＝cos y＝4cos. 4.［kπ＋，kπ＋］（k∈Z） 解析：令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），解得函数的单调递减区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）. 5.　－　解析：依据图象变换可得函数g（x）＝sin.因为x∈［0，］，所以4x＋∈［，］，所以当4x＋＝时，g（x）取最大值，当4x＋＝时，g（x）取最小值－. 拓视野　三角函数中有关ω的求解 【例1】　B　法一　由题意得 则 又ω＞0，所以k∈Z， 所以k＝0，则0＜ω≤，故选B. 法二　取ω＝1，则f（x）＝sin，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，函数f（x）在区间上单调递减，与函数f（x）在区间上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项可知选B. 【例2】　A　∵三角函数的对称中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，∴对称中心 到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－≥，又∵T＝，∴≤，∴ω≥2，∴ω有最小值2，故选A. 【例3】　（－∞，－2]∪ 解析：显然ω≠0.若ω＞0，当x∈［－，］时，－ω≤ωx≤ω，因为函数f（x）＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥；若ω＜0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f（x）＝2sin ωx在区间上的最小值为－2.所以ω≤－，解得ω≤－2.综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是（－∞，－2]∪. 迁移应用 1.B　由题意，至少有50个最大值即至少需要49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π. 2.A　当x∈（0，）时，ωx＋∈（，＋），因为函数f（x）＝sin（ωx＋）在（0，）上单调递增，所以＋≤，解得0＜ω≤2，故ω的取值范围为（0，2]，故选A. 3.A　因为x∈（0，2π），ω＞0，所以ωx－∈（－，2ωπ－），画出y＝2cos z＋1（z＞－）的大致图象，如图，f（x）的图象在区间（0，2π）内至多存在3条对称轴，即y＝2cos z＋1的图象在（－，2ωπ－）内至多存在3条对称轴，则2ωπ－∈（－，3π］，解得ω∈（0，］. 4.［，）　解析：令t＝2ωx＋，g（t）＝cos t＋1.由0≤x≤π，得≤t＝2ωx＋≤2πω＋.函数f（x）在[0，π]上有且仅有2个零点，即g（t）在［，2πω＋］上有且仅有2个零点，且这2个零点是π，3π，所以3π≤2πω＋＜5π，解得≤ω＜，所以ω的取值范围为［，）. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3　探究A对y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响 课标要求 理解y＝Asin（ωx＋φ）中A对图象的影响；掌握y＝sin x与y＝Asin（ωx＋φ）图象间的变换关系（数学抽象、数学运算）. 　　前面两节课分别研究了ω和φ对函数y＝sin（ωx＋φ）的图象的影响，以及如何由y＝sin x变化得到y＝sin（ωx＋φ）的图象. 【问题】　你知道参数A对函数y＝Asin x的图象有怎样的影响吗？如何由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　A对y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响 1.y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0）的图象是将y＝sin（ωx＋φ）的图象上的每个点的纵坐标　　　（当A＞1时）或　　　（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）得到的.　　　　决定了函数y＝Asin（ωx＋φ）的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为　　　　. 2.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的性质 定义域 R 值域 周期 T＝　　　 奇偶性 当φ＝　　　，k∈Z时，y＝Asin（ωx＋φ）是奇函数；当φ＝　　　，k∈Z时，y＝Asin（ωx＋φ）是偶函数 对称轴方程 由ωx＋φ＝　　　　（k∈Z）求得 对称中心 由ωx＋φ＝　　　　（k∈Z）求得 单调性 递增区间由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋（k∈Z）求得；递减区间由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋（k∈Z）求得 　　提醒：探究函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，x∈R）性质的一般步骤：第1步，确定周期T＝；第2步，在y＝sin x五个关键点（0，0），，（π，0），，（2π，0）的基础上确定该函数的五个关键点；第3步，用光滑曲线顺次连接五个关键点，即可画出函数y＝Asin（ωx＋φ）在一个周期上的图象，再利用其周期性把图象延拓到R，就可以得到它在R上的图象；第4步，借助图象讨论性质. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝3sin x的图象可由函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变得到.（　　） （2）函数y＝－3sin的振幅为－3.（　　） （3）函数y＝4sin x，x∈R的周期和值域分别是6π和[－4，4].（　　） 2.若函数f（x）＝2sin（ωx＋φ），x∈R（其中ω＞0，｜φ｜＜）的最小正周期为π，且f（0）＝，则ω＝　　　，φ＝　　　　，振幅A＝　　　　. 3.已知函数y＝sin（ωx＋φ），且此函数的图象如图所示，则点（ω，φ）的坐标是　　　　. 题型一｜作y＝Asin（ωx＋φ）的图象 【例1】　用“五点法”画出函数y＝2sin的图象，并指出函数的单调区间. 尝试解答 通性通法 作y＝Asin（ωx＋φ）图象的一般方法 　　一般利用“五点法”通过列表求值、描点、连线、扩展得到所求函数图象.列表求值时要特别注意：（1）应取使ωx＋φ为一个周期内的五个关键点，求对应的x的值；（2）求y值时注意倍数A. 【跟踪训练】 用“五点法”作出函数y＝2sin＋3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间. 题型二｜函数图象的变换 【例2】　（1）为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点（　　） A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 （2）〔多选〕函数y＝cos（2x＋）的图象是由函数y＝cos x的图象经过变换得到，则这个变换可以是（　　） A.先将图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的 B.先将图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的 C.先将图象上所有点的横坐标变为原来的，再将图象向左平移个单位长度 D.先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向左平移个单位长度 尝试解答 通性通法 三角函数图象变换的方法 　　由y＝sin x的图象变换到y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的图象的常用方法有两种： 【跟踪训练】 1.把函数y＝sin（2x－）的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数解析式为（　　） A.y＝sin（2x－） B.y＝sin（2x－） C.y＝cos 2x D.y＝－sin 2x 2.函数y＝sin（2x＋）的图象可由函数y＝cos x的图象（　　） A.先把各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 B.先把各点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度 D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 题型三｜由图象求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式 【例3】　如图是函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式. 尝试解答 　　若设所求解析式为y＝Asin（ωx＋φ），则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ. （1）由函数图象上的最大值、最小值来确定｜A｜； （2）由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω； （3）确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的初相φ的值的两种方法： ①代入法：把图象上的一个最高点或最低点代入（此时A，ω已知）或代入图象与x轴的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）；②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口. “五点法”的ωx＋φ的值具体如下： “第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为ωx＋φ＝0； “第二点”（即图象的“峰点”）为ωx＋φ＝； “第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为ωx＋φ＝π； “第四点”（即图象的“谷点”）为ωx＋φ＝； “第五点”为ωx＋φ＝2π. 【跟踪训练】 　已知函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，则该函数的一个解析式为　　　　. 题型四｜函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质及应用 【例4】　已知函数f（x）＝3sin. （1）求函数f（x）的周期、振幅、初相； （2）求函数f（x）的对称轴、对称中心、递增区间. 尝试解答 通性通法 　　对于函数单调性、对称性的研究，运用整体处理，只要熟练掌握y＝sin x的性质，就可以“以不变应万变”. 【跟踪训练】 已知曲线y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜≤）上最高点为（2，），该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点（6，0）. （1）求函数的解析式； （2）求函数在x∈[－6，0]上的值域. 1.函数y＝2sin的最小正周期、振幅、初相分别是（　　） A.，2，　　　　　　B.4π，－2，－ C.4π，2， D.2π，2， 2.函数f（x）＝sin（x∈R）的图象的一条对称轴方程是（　　） A.x＝0 B.x＝－ C.x＝ D.x＝ 3.将函数y＝cos的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（　　） A.y＝4cos B.y＝4cos C.y＝4sin D.y＝－4sin 4.函数y＝2sin的单调递减区间为　　　　. 5.将函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则函数g（x）在［0，］上的最大值和最小值分别为　　　　和　　　　. 类型一｜三角函数的单调性与ω的关系 【例1】　已知函数f（x）＝sin（ω＞0）在区间上单调递增，则ω的取值范围为（　　） A.　　　　　　　 B. C. D. 尝试解答 方法总结 　　根据正弦函数的单调区间，确定函数f（x）的单调区间，根据函数f（x）＝sin（ω＞0）在区间上单调递增，建立不等式，即可求ω的取值范围. 类型二｜三角函数的对称性与ω的关系 【例2】　已知函数f（x）＝cos（ω＞0）的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为点，则ω有（　　） A.最小值2 B.最大值2 C.最小值1 D.最大值1 尝试解答 方法总结 　　三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“ω”的取值. 类型三｜三角函数的最值与ω的关系 【例3】　已知函数f（x）＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是　　　　. 尝试解答 方法总结 　　利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围. 【迁移应用】 1.为了使函数y＝sin ωx（ω＞0）在区间[0，1]上至少有50个最大值，则ω的最小值为（　　） A.98π B.π C.π D.100π 2.已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）在（0，）上单调递增，则ω的取值范围为（　　） A.（0，2] B.（0，2） C.（0，3] D.（0，3） 3.已知函数f（x）＝2cos（ωx－）＋1（ω＞0）的图象在区间（0，2π）内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是（　　） A.（ 0，］ B.（，］ C.［，） D.［，＋∞） 4.若函数f（x）＝cos（2ωx＋）＋1（ω＞0）在区间[0，π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围是　　　　. 提示：完成课后作业　第一章　§6　6.3 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $