第1章 6.3 探究A对y＝A sin （ωx＋φ）的图象的影响-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

6.3　探究A对y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响 1 理解y＝A sin （ωx＋φ）中A对图象的影响；掌握y＝ sin x与y＝A sin （ωx＋φ）图象间的变换关系（数学抽象、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 拓视野　三角函数中有关ω的求解　能力提升 03 目录 课时作业 04 3 01 PART 基础落实 目 录 　　前面两节课分别研究了ω和φ对函数y＝ sin （ωx＋φ）的图象的影 响，以及如何由y＝ sin x变化得到y＝ sin （ωx＋φ）的图象. 【问题】　你知道参数A对函数y＝A sin x的图象有怎样的影响吗？如何 由y＝ sin x的图象变换得到y＝A sin （ωx＋φ）的图象？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点　A对y＝A sin （ωx＋φ）的图象的影响 1. y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0）的图象是将y＝ sin （ωx＋φ）的图象上 的每个点的纵坐标 （当A＞1时）或 （当0＜A＜1时）到 原来的A倍（横坐标不变）得到的. 决定了函数y＝A sin （ωx＋φ） 的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为 ⁠. 伸长　 缩短　 A　 振幅　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 定义域 R 值域 ⁠ 周期 T＝ ⁠ 奇偶性 当φ＝ ，k∈Z时，y＝A sin （ωx＋φ）是奇函数；当 φ＝ ，k∈Z时，y＝A sin （ωx＋φ）是偶函数 [－A，A] 　 kπ　 kπ＋ 　 2. 函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的性质 数学·必修第二册（BSD） 目 录 对称轴 方程 由ωx＋φ＝ （k∈Z）求得 对称中心 由ωx＋φ＝ （k∈Z）求得 单调性 递增区间由2kπ－ ≤ωx＋φ≤2kπ＋ （k∈Z）求得；递减 区间由2kπ＋ ≤ωx＋φ≤2kπ＋ （k∈Z）求得 kπ＋ 　 kπ　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：探究函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，x∈R）性质的 一般步骤：第1步，确定周期T＝ ；第2步，在y＝ sin x五个关键点（0， 0）， ，（π，0）， ，（2π，0）的基础上确定该函数 的五个关键点；第3步，用光滑曲线顺次连接五个关键点，即可画出函数y ＝A sin （ωx＋φ）在一个周期上的图象，再利用其周期性把图象延拓到 R，就可以得到它在R上的图象；第4步，借助图象讨论性质. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝3 sin x的图象可由函数y＝ sin x的图象上所有点的纵坐标伸 长到原来的3倍，横坐标不变得到. （　√　） （2）函数y＝－3 sin 的振幅为－3. （　×　） （3）函数y＝4 sin x，x∈R的周期和值域分别是6π和[－4，4]. （　√　） √ × √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 若函数f（x）＝2 sin （ωx＋φ），x∈R（其中ω＞0，｜φ｜＜ ）的 最小正周期为π，且f（0）＝ ，则ω＝ ，φ＝ 　​ 　，振幅A ＝ ⁠. 解析：由题意知 ＝π，所以ω＝2，所以f（x）＝2 sin （2x＋φ），又由 f（0）＝ 得2 sin φ＝ ， 由｜φ｜＜ 知φ＝ . 2 ​ 2 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知函数y＝ sin （ωx＋φ） ，且此函数的图象如 图所示，则点（ω，φ）的坐标是 ⁠. 解析：由 ＝ － ＝ ，∴T＝π，由T＝ （ω＞0）得ω＝2.由2× ＋φ＝π得φ＝ .∴点（ω，φ）的坐标为 . ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜作y＝A sin （ωx＋φ）的图象 【例1】　用“五点法”画出函数y＝2 sin 的图象，并指出函数的 单调区间. 解：由五点法列表： x － ​ ​ ​ ​ 2x＋ 0 ​ π ​ 2π y 0 2 0 －2 0 数学·必修第二册（BSD） 目 录 描点、连线，如图所示为函数在一个周期内的图象， 利用三角函数的周期性，我们可以把上面所得的简 图向左、向右扩展，得到y＝2 sin ，x∈R 的简图（图略）. 可见一个周期内，函数在 上单调递减.又因为函数的周期为π，所 以函数的单调递减区间为［kπ＋ ，kπ＋ ］（k∈Z）.同理，函数的 单调递增区间为［kπ－ ，kπ＋ ］（k∈Z）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 作y＝A sin （ωx＋φ）图象的一般方法 　　一般利用“五点法”通过列表求值、描点、连线、扩展得到所求函数 图象.列表求值时要特别注意：（1）应取使ωx＋φ为一个周期内的五个关 键点，求对应的x的值；（2）求y值时注意倍数A. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 用“五点法”作出函数y＝2 sin ＋3的图象，并指出它的周期、频 率、相位、初相、最值及单调区间. 解：（1）列表： x ​ π π π π x－ 0 ​ π π 2π y 3 5 3 1 3 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）作出图象，如图所示.将函数在一个周期内的图象 向左、向右两边扩展即得y＝2 sin （x－ ）＋3的图象. 周期T＝2π，频率为 ＝ ，相位为x－ ，初相为－ ，最大值为5，最小值为1，函数的单调递减区间为 ［2kπ＋ π，2kπ＋ π］（k∈Z），单调递增区间为 ［2kπ－ ，2kπ＋ π］（k∈Z）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜函数图象的变换 【例2】　（1）为了得到函数y＝2 sin 3x的图象，只要把函数y＝2 sin 图象上所有的点（　D　） A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 D 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：因为y＝2 sin ＝2 sin ，所以要得到函数y＝2 sin 3x的图象，只要把函数y＝2 sin 的图象上所有的点向右平移 个 单位长度，故选D. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）〔多选〕函数y＝ cos （2x＋ ）的图象是由函数y＝ cos x的图象经 过变换得到，则这个变换可以是（　ABC　） A. 先将图象向左平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的 B. 先将图象向右平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的 C. 先将图象上所有点的横坐标变为原来的 ，再将图象向左平移 个单位长度 D. 先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向左平移 个单位长度 ABC 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：先将函数y＝ cos x的图象向左平移 个单位长度得到函数y＝ cos （x＋ ）的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的 得到函数y＝ cos （2x＋ ）的图象，故A正确；先将函数y＝ cos x的图象向右平移 个单位长度得到函数y＝ cos （x－ ）＝ cos （x＋ ）的图象，再将图 象上所有点的横坐标变为原来的 得到函数y＝ cos （2x＋ ）的图象， 故B正确； 数学·必修第二册（BSD） 目 录 先将函数y＝ cos x的图象上所有点的横坐标变为原来的 得到函数y＝ cos 2x的图象，再将图象向左平移 个单位长度得到函数y＝ cos （2x＋ ） 的图象，故C正确；先将函数y＝ cos x的图象上所有点的横坐标变为原来 的2倍得到函数y＝ cos x的图象，再将图象向左平移 个单位长度得到函 数y＝ cos （ x＋ ）的图象，故D错误.故选A、B、C. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 三角函数图象变换的方法 　　由y＝ sin x的图象变换到y＝A sin （ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的图象的常用方法有两种： 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 把函数y＝ sin （2x－ ）的图象向右平移 个单位长度得到的图象对应 的函数解析式为（　　） A. y＝ sin （2x－ ） B. y＝ sin （2x－ ） C. y＝ cos 2x D. y＝－ sin 2x 解析：　因为函数y＝ sin （2x－ ）的图象向右平移 个单位长度得到 的图象对应的函数解析式为y＝ sin ［2（x－ ）－ ］＝ sin （2x－π） ＝－ sin 2x.故选D. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数y＝ sin （2x＋ ）的图象可由函数y＝ cos x的图象（　　） A. 先把各点的横坐标缩短到原来的 ，再向左平移 个单位长度 B. 先把各点的横坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位长度 C. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 个单位长度 D. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移 个单位长度 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　由函数y＝ sin （2x＋ ）＝ cos ［ －（2x＋ ）］＝ cos （ －2x）＝ cos （2x－ ）知，只需将函数y＝ cos x的图象上各点的横坐标 缩短到原来的 ，得到y＝ cos 2x的图象，再向右平移 个单位长度得到y ＝ cos ［2（x－ ）］＝ cos （2x－ ）的图象.故选B. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜由图象求函数y＝A sin （ωx＋φ）的解析式 【例3】　如图是函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）的 图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式. 解：法一（逐一定参法）　由图象知振幅A＝3， 又T＝ － ＝π， ∴ω＝ ＝2. 由图象过点 可知，－ ×2＋φ＝0， 得φ＝ ，∴y＝3 sin . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法二（待定系数法）　由图象知A＝3，又图象过点 和 ，根据五点画图法原理（以上两点可判为“五点法”中的第三 点和第五点），有 解得 ∴y＝3 sin . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法三（图象变换法）　由题意得，T＝π，A＝3，点 在函数图 象上， 易知图象是由y＝3 sin 2x向左平移 个单位长度而得到的， ∴y＝3 sin ， 即y＝3 sin ，φ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　若设所求解析式为y＝A sin （ωx＋φ），则在观察函数图象的基础 上，可按以下规律来确定A，ω，φ. （1）由函数图象上的最大值、最小值来确定｜A｜； （2）由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝ ，确定ω； （3）确定函数y＝A sin （ωx＋φ）的初相φ的值的两种方法： ①代入法：把图象上的一个最高点或最低点代入（此时A，ω已知）或代 入图象与x轴的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间 上）； 数学·必修第二册（BSD） 目 录 ②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点 作为突破口. “五点法”的ωx＋φ的值具体如下： “第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为ωx＋φ＝0； “第二点”（即图象的“峰点”）为ωx＋φ＝ ； “第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为ωx＋φ＝π； “第四点”（即图象的“谷点”）为ωx＋φ＝ ； “第五点”为ωx＋φ＝2π. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）在一个周期内的图象如图 所示，则该函数的一个解析式为 ⁠. y＝ sin （答案不唯一） 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：法一　由图象知函数的最大值为 ，最小值为－ ，又A＞0， ∴A＝ . 由图象知 ＝ － ＝ ，∴T＝π＝ ，∴ω＝2. 又 × ＝ ， ∴图象上的最高点为 ， ∴ ＝ sin （2× ＋φ）， 即 sin ＝1，可取φ＝－ . 故函数的一个解析式为y＝ sin . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法二（五点对应法）　由图象知A＝ .又图象过点 ， ， 根据“五点法”原理（以上两点可判断为“五点法”中的第一点与第三 点）得 解得 故函数的一个解析式为y＝ sin . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法三（图象变换法）　由图可知A＝ ， ＝ － ＝ ，∴T＝π＝ ， ∴ω＝2.∴该函数的图象可由y＝ sin 2x的图象向右平移 个单位长度得 到.故所求函数的一个解析式为y＝ sin 2 ，即y＝ sin . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型四｜函数y＝A sin （ωx＋φ）的性质及应用 【例4】　已知函数f（x）＝3 sin . （1）求函数f（x）的周期、振幅、初相； 解：周期T＝ ＝ ＝4π，振幅A＝3，初相是－ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求函数f（x）的对称轴、对称中心、递增区间. 解：由于y＝3 sin 是周期函数，通过观察图象（图略）可知，所 有与x轴垂直并且通过图象的最值点的直线都是此函数的对称轴，即令 x － ＝ ＋kπ，k∈Z，解得对称轴方程为x＝ ＋2kπ，k∈Z. 因为所有图象与x轴的交点都是函数的对称中心，令 x－ ＝kπ，所以x ＝ ＋2kπ，k∈Z，所以对称中心为点 ，k∈Z. 又因为x的系数为正数，所以把 x－ 视为一个整体，令－ ＋2kπ≤ x － ≤ ＋2kπ，解得－ ＋4kπ≤x≤ ＋4kπ，k∈Z，所以［－ ＋4kπ， ＋4kπ］，k∈Z为此函数的递增区间. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　对于函数单调性、对称性的研究，运用整体处理，只要熟练掌握y＝ sin x的性质，就可以“以不变应万变”. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知曲线y＝A sin （ωx＋φ） 上最高点为（2， ），该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点（6，0）. （1）求函数的解析式； 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：由题意可知A＝ ， ＝6－2＝4，∴T＝16， 即 ＝16，∴ω＝ ，∴y＝ sin . 又图象过最高点（2， ），∴ sin ＝1， 故 ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z，φ＝ ＋2kπ，k∈Z， 由｜φ｜≤ ，得φ＝ ，∴y＝ sin . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求函数在x∈[－6，0]上的值域. 解：∵－6≤x≤0，∴－ ≤ x＋ ≤ ， ∴－ ≤ sin ≤1. 即函数在[－6，0]上的值域为[－ ，1]. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 函数y＝2 sin 的最小正周期、振幅、初相分别是（　　） A. ，2， B. 4π，－2，－ C. 4π，2， D. 2π，2， 解析：　由函数解析式知，最小正周期T＝ ＝4π，函数的振幅为2，在 x＋ 中，令x＝0，求得初相为 .故选C. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数f（x）＝ sin （x∈R）的图象的一条对称轴方程是（　　） A. x＝0 B. x＝－ C. x＝ D. x＝ 解析：　∵f（x）＝ sin 的图象的对称轴方程为x－ ＝kπ＋ （k∈Z），得x＝kπ＋ （k∈Z），∴当k＝－1时，x＝－ 为其一条 对称轴的方程，故选B. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 将函数y＝ cos 的图象上各点向右平移 个单位长度，再把横 坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函 数解析式是（　　） A. y＝4 cos B. y＝4 cos C. y＝4 sin D. y＝－4 sin √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　y＝ cos （2x＋ ） y＝ cos ［2 ＋ ］＝ cos （2x－ ） y＝ cos y＝4 cos . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 函数y＝2 sin 的单调递减区间为 　［kπ＋ ，kπ＋ ］ ⁠. 解析：令2kπ＋ ≤2x－ ≤2kπ＋ （k∈Z），解得函数的单调递减区 间为［kπ＋ ，kπ＋ ］（k∈Z）. ［kπ＋ ，kπ＋ ］ （k∈Z） 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 将函数y＝ sin 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵 坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则函数g（x）在［0， ］上的 最大值和最小值分别为 　​ 　和 　－ 　. ​ － 解析：依据图象变换可得函数g（x）＝ sin . 因为x∈［0， ］， 所以4x＋ ∈［ ， ］， 所以当4x＋ ＝ 时，g（x）取最大值 ， 当4x＋ ＝ 时，g（x）取最小值－ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 03 PART 拓视野 三角函数中有关ω的求解 目 录 类型一｜三角函数的单调性与ω的关系 【例1】　已知函数f（x）＝ sin （ω＞0）在区间 上单 调递增，则ω的取值范围为（　　） A. B. C. D. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　法一　由题意得 则 又ω＞0， 所以 k∈Z， 所以k＝0，则0＜ω≤ ，故选B. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法二　取ω＝1，则f（x）＝ sin ，令 ＋2kπ≤x＋ ≤ ＋2kπ， k∈Z，得 ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，函数f（x）在区间 上单调递减，与函数f（x）在区间 上单调递增矛盾， 故ω≠1，结合四个选项可知选B. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 方法总结 　　根据正弦函数的单调区间，确定函数f（x）的单调区间，根据函数f （x）＝ sin （ω＞0）在区间 上单调递增，建立不等 式，即可求ω的取值范围. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 类型二｜三角函数的对称性与ω的关系 【例2】　已知函数f（x）＝ cos （ω＞0）的一条对称轴为直线x ＝ ，一个对称中心为点 ，则ω有（　　） A. 最小值2 B. 最大值2 C. 最小值1 D. 最大值1 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　∵三角函数的对称中心到对称轴的最短距离是 ，两条对称 轴间的最短距离是 ，∴对称中心 到对称轴x＝ 间的距离用周 期可表示为 － ≥ ，又∵T＝ ，∴ ≤ ，∴ω≥2，∴ω有最小值 2，故选A. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 方法总结 　　三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为 ，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为 ，这就说明，我们可 根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“ω”的取值. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 类型三｜三角函数的最值与ω的关系 【例3】　已知函数f（x）＝2 sin ωx在区间 上的最小值为－2， 则ω的取值范围是 ⁠. （－∞，－2]∪ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：显然ω≠0.若ω＞0，当x∈ 时，－ ω≤ωx≤ ω，因为函 数f（x）＝2 sin ωx在区间 上的最小值为－2，所以－ ω≤－ ，解得ω≥ ；若ω＜0，当x∈ 时， ω≤ωx≤－ ω，因为函数 f（x）＝2 sin ωx在区间 上的最小值为－2.所以 ω≤－ ，解得 ω≤－2.综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是（－∞，－ 2]∪ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 方法总结 　　利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等 式，进而求出ω的值或取值范围. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【迁移应用】 1. 为了使函数y＝ sin ωx（ω＞0）在区间[0，1]上至少有50个最大值，则 ω的最小值为（　　） A. 98π B. π C. π D. 100π 解析：由题意，至少有50个最大值即至少需要49 个周期，所以 T ＝ · ≤1，所以ω≥ π. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）在（0， ）上单调递增， 则ω的取值范围为（　　） A. （0，2] B. （0，2） C. （0，3] D. （0，3） 解析：当x∈（0， ）时，ωx＋ ∈（ ， ＋ ），因为函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）在（0， ）上单调递增，所以 ＋ ≤ ，解得0＜ω≤2，故ω的取值范围为（0，2]，故选A. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知函数f（x）＝2 cos （ωx－ ）＋1（ω＞0）的图象在区间（0， 2π）内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是（　　） A. （ 0， ］ B. （ ， ］ C. ［ ， ） D. ［ ，＋∞） √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　因为x∈（0，2π），ω＞0，所以ωx－ ∈ （－ ，2ωπ－ ），画出y＝2 cos z＋1（z＞－ ）的 大致图象，如图，f（x）的图象在区间（0，2π）内至 多存在3条对称轴，即y＝2 cos z＋1的图象在（－ ， 2ωπ－ ）内至多存在3条对称轴，则2ωπ－ ∈（－ ， 3π］，解得ω∈（0， ］. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 若函数f（x）＝ cos （2ωx＋ ）＋1（ω＞0）在区间[0，π]上有且仅 有2个零点，则ω的取值范围是 ⁠. 解析：令t＝2ωx＋ ，g（t）＝ cos t＋1.由0≤x≤π，得 ≤t＝2ωx＋ ≤2πω＋ .函数f（x）在[0，π]上有且仅有2个零点，即g（t）在［ ， 2πω＋ ］上有且仅有2个零点，且这2个零点是π，3π，所以3π≤2πω＋ ＜ 5π，解得 ≤ω＜ ，所以ω的取值范围为［ ， ）. ［ ， ） 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 要得到函数y＝3 sin 的图象，只需将函数y＝3 sin 2x的图象 （　　） A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　将y＝3 sin 2x向左移动 个单位长度得y＝3 sin 2 ＝3 sin ，∴只需将函数y＝3 sin 2x的图象向左平移 个单位长度，即可 得y＝3 sin 的图象.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，｜φ｜＜π，ω＞0）的部分图象如图 所示，则（　　） A. y＝2 sin B. y＝2 sin C. y＝2 sin D. y＝2 sin √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　根据函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，｜φ｜＜π，ω＞0）的部 分图象，可得A＝2， · ＝ － ，∴ω＝2，∴y＝2 sin （2x＋φ）. 又函数图象过点 ，∴2 sin ＝2，∴2· ＋φ＝ ＋2kπ， k∈Z，解得φ＝－ ＋2kπ，k∈Z. ∵｜φ｜＜π，∴φ＝－ ，故函数的解 析式为y＝2 sin .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 函数f（x）＝ sin （2x＋φ） 的图象向左平移 个单位 长度后，所得到的图象关于原点对称，则φ＝（　　） A. B. － C. D. － 解析：　函数f（x）＝ sin （2x＋φ） 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数y＝ sin （2x＋ ＋φ） 的图象.由 于平移后的图象关于原点对称，∴ ＋φ＝kπ（k∈Z），由｜φ｜＜ 得φ ＝－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 函数f（x）＝3 sin ＋1（x∈R）的图象向右平移 个单位长 度后得到y＝g（x）的图象，则函数g（x）（　　） A. 最大值为3 B. 最小正周期为2π C. 为奇函数 D. 图象关于y轴对称 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　将函数f（x）＝3 sin （ 2x－ ）＋1（x∈R）的图象向右平移 个单位长度后得到y＝g（x）的图象，则g（x）＝f ＝3 sin ［2 － ］＋1＝3 sin ＋1＝1－3 cos 2x，可得g（x）的 最大值为4，故A错误；g（x）的最小正周期T＝π，故B错误；g（－x） ＝1－3 cos （－2x）＝1－3 cos 2x＝g（x），为偶函数，故C错误，D正 确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕函数y＝3 sin 的图象，可由函数y＝ sin x的图象经过 下列哪项变换而得到（　　） A. 向左平移 个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍 B. 向左平移 个单位长度，横坐标缩短到原来的 ，纵坐标伸长到原来的3倍 C. 横坐标缩短到原来的 ，向左平移 个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍 D. 横坐标缩短到原来的 ，向左平移 个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　①将y＝ sin x的图象向左平移 个单位长度，得到函数y＝ sin ，横坐标缩小到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y＝ sin ，横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y＝3 sin 的图象.② 将y＝ sin x的图象的横坐标缩小到原来的 倍，纵坐标不变得到函数y＝ sin 2x，再向左平移 个单位长度，得到函数y＝ sin ，横坐标不 变，纵坐标变为原来的3倍得到y＝3 sin 的图象.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕已知函数f（x）＝A sin ωx（A＞0，ω＞0）与g（x）＝ cos ωx的部分图象如图所示，则（　　） A. A＝1 B. A＝2 C. ω＝ D. ω＝ 解析：由题图可得过点（0，1）的图象对应的函数解析式为g（x）＝ cos ωx，即 ＝1，A＝2.过原点的图象对应函数f（x）＝A sin ωx.由f（x）的图象可知，T＝ ＝1.5×4，可得ω＝ . √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 当－ ≤x≤ 时，函数f（x）＝ sin 的最大值是 　​ 　，最 小值是 ⁠. 解析：∵－ ≤x≤ ，∴－ ≤x＋ ≤ π.当x＋ ＝－ ，即x＝－ 时，f（x）min＝－ .当x＋ ＝ ，即x＝ 时，f（x）max＝ . ​ － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 若函数f（x）＝2 sin 在 和[3m，π]上均单调递增，则 实数m的取值范围为 ⁠. 解析：由f（x）＝2 sin 知，当x∈[0，π]时，f（x）在 和 上单调递增，∵函数f（x）在 和[3m，π]上均单调递 增，∴ 解得 ≤m≤ ，∴实数m的取值范围为 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 函数y＝－2 sin 的单调递减区间为 　［－ ＋kπ， ＋ .⁠ 解析：函数y＝－2 sin 的单调递减区间即为函数y＝2 sin 的单调递增区间，令－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，得－ ＋ kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z. ［－ ＋kπ， ＋ kπ］，k∈Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 已知函数f（x）＝ cos （3x＋ ），x∈R. （1）求f（x）的最小正周期和对称轴； 解：T＝ ，令3x＋ ＝kπ，k∈Z， 则x＝－ ＋ ，k∈Z， 故f（x）的最小正周期为T＝ ，对称轴方程为x＝－ ＋ （k∈Z）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求f（x）的单调递增区间和单调递减区间； 解：由－π＋2kπ≤3x＋ ≤2kπ，k∈Z， 得－ ＋ kπ≤x≤－ ＋ kπ，k∈Z. 由2kπ≤3x＋ ≤π＋2kπ，k∈Z， 得－ ＋ kπ≤x≤ ＋ kπ，k∈Z， 所以f（x）的单调递增区间为［－ ＋ kπ，－ ＋ kπ］（k∈Z）， 单调递减区间为［－ ＋ kπ， ＋ kπ］（k∈Z）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）当x∈［0， ］时，求f（x）的值域. 解：因为x∈［0， ］，所以 ≤3x＋ ≤ ， 所以－ ≤f（x）≤1， 所以当x∈［0， ］时，f（x）的值域为[－ ，1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）＋k（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ） 的最大值是4，最小值是0，最小正周期是 ，直线x＝ 是其图象的一条对 称轴，则（　　） A. f（x）＝4 sin （4x＋ ） B. f（x）＝2 sin （2x＋ ）＋2 C. f（x）＝2 sin （4x＋ ）＋2 D. f（x）＝2 sin （4x＋ ）＋2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　因为f（x）的最大值是4，最小值是0，所以 解 得 因为f（x）的最小正周期是 ，所以 ＝ ，解得ω＝4.因为 直线x＝ 是f（x）＝2 sin （4x＋φ）＋2图象的一条对称轴，所以4× ＋ φ＝ ＋kπ，k∈Z，所以φ＝－ ＋kπ，k∈Z，又｜φ｜＜ ，所以φ＝ ，所以f（x）＝2 sin （4x＋ ）＋2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 某同学利用描点法作函数y＝A sin （ωx＋φ） 的图象，列出的部分数据如表： x 0 1 2 3 4 y 1 0 1 －1 －2 经检查发现表格中恰有一组数据计算错误，请你推断该函数的解析式 是 ⁠. y＝2 sin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：因为点（0，1），（2，1）关于直线x＝1对称，所以函数图象的一 条对称轴为直线x＝1，由三角函数的对称性可知，正弦函数在对称轴处取 得最值，即函数图象过点（1，A）或点（1，－A），从而可得第二组 （1，0）错误.由表格知函数的最小值是－2，则A＝2.因为f（0）＝2 sin φ＝1，即 sin φ＝ ，又｜φ｜＜ ，∴φ＝ ，则y＝2 sin .又点 （2，1），（3，－1）关于点 对称，0＜ω＜2，所以函数的周期T ＝4× ＝6，根据周期公式T＝ ＝6，得ω＝ ＝ ，则函数的解 析式为y＝2 sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 记函数f（x）＝ cos （ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为 T. 若f（T）＝ ，x＝ 为f（x）的零点，则ω的最小值为 ⁠. 解析：因为T＝ ，f（ ）＝ ，所以 cos （2π＋φ）＝ ，即 cos φ＝ .又0＜φ＜π，所以φ＝ .因为x＝ 为f（x）的零点，所以 ω＋ ＝ ＋kπ（k∈Z），解得ω＝9k＋3（k∈Z）.又ω＞0，所以当k＝0时，ω取 最小值，且最小值为3. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 已知函数f（x）＝ sin （2x＋φ）（0＜φ＜π）. （1）若函数f（x）＝ sin （2x＋φ）为偶函数，求φ的值； 解：因为f（x）为偶函数， 所以φ＝kπ＋ （k∈Z）， 又φ∈（0，π），所以φ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若函数f（x）＝ sin （2x＋φ）关于x＝ 对称，求出φ的值及f （x）的所有的对称轴方程及对称中心的坐标. 解：因为f（x）＝ sin （2x＋φ）关于x＝ 对称， 所以2× ＋φ＝ ＋kπ（k∈Z）， 所以φ＝ ＋kπ（k∈Z）， 又φ∈（0，π）， 所以φ＝ ， 所以f（x）＝ sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 由2x＋ ＝kπ＋ （k∈Z）， 得x＝ ＋ （k∈Z）， 由2x＋ ＝kπ，得x＝ － （k∈Z）， 所以f（x）的对称轴方程为x＝ ＋ （k∈Z）， 对称中心的坐标为 （k∈Z）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 〔多选〕北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位的导航、授时服务.北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，可以用函数f（x）＝｜2 sin （2x－ ）｜近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（　　） A. 函数f（x）的最小正周期为 B. 函数f（x）图象的一条对称轴是x＝ C. 函数f（x）在（0， ）上单调递增 D. 函数g（x）＝f（x）－1在（－ ，π）上有4个零点 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　因为y＝2 sin （2x－ ）的最小正周期 为T＝ ＝π，所以y＝｜2 sin （2x－ ）｜的最小 正周期为 ，故A正确；因为f（ －x）＝｜2 sin （ －2x）｜＝f（x），所以函数f（x）图象的一条对称轴是x＝ ，故B正确；因为x∈（0， ）时，2x－ ∈（－ ，0），而y＝｜2 sin x｜在（－ ，0）上单调递减，故C不正确；函数g（x）＝f（x）－1的零点即方程｜ sin （2x－ ）｜＝ 的根，x∈（－ ，π）时，2x－ ∈（－ ， ），由图象可知方程有4个根，故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π），在 同一周期内，当x＝ 时，f（x）取得最大值3；当x＝ 时，f（x）取 得最小值－3. （1）求函数f（x）的解析式； 解：由题意易知A＝3，T＝2× ＝π， ∴ω＝ ＝ ＝2， 由2× ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z， 得φ＝ ＋2kπ，k∈Z. 又∵｜φ｜＜π，∴φ＝ ，∴f（x）＝3 sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求函数f（x）的递减区间； 解：由 ＋2kπ≤2x＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z， 得 ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z， ∴函数f（x）的递减区间为 ，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）若x∈ 时，函数h（x）＝2f（x）＋1－m有两个零点，求 实数m的取值范围. 解：由题意知方程 sin ＝ 在区间 上有两个实根. ∵x∈ ，∴2x＋ ∈ ， ∴ sin ∈ ， 又方程有两个实根，∴ ∈ ， ∴m∈[1＋3 ，7）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $