第1章 6.3 探究A对y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

6.3　探究A对y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响 课标要求 理解y＝Asin（ωx＋φ）中A对图象的影响；掌握y＝sin x与y＝Asin（ωx＋φ）图象间的变换关系（数学抽象、数学运算）. 　　前面两节课分别研究了ω和φ对函数y＝sin（ωx＋φ）的图象的影响，以及如何由y＝sin x变化得到y＝sin（ωx＋φ）的图象. 【问题】　你知道参数A对函数y＝Asin x的图象有怎样的影响吗？如何由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　A对y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响 1.y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0）的图象是将y＝sin（ωx＋φ）的图象上的每个点的纵坐标　伸长　（当A＞1时）或　缩短　（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）得到的.　A　决定了函数y＝Asin（ωx＋φ）的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为　振幅　. 2.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期 T＝　　 奇偶性 当φ＝　kπ　，k∈Z时，y＝Asin（ωx＋φ）是奇函数；当φ＝　kπ＋　，k∈Z时，y＝Asin（ωx＋φ）是偶函数 对称轴方程 由ωx＋φ＝　kπ＋　（k∈Z）求得 对称中心 由ωx＋φ＝　kπ　（k∈Z）求得 单调性 递增区间由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋（k∈Z）求得；递减区间由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋（k∈Z）求得 　　提醒：探究函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，x∈R）性质的一般步骤：第1步，确定周期T＝；第2步，在y＝sin x五个关键点（0，0），，（π，0），，（2π，0）的基础上确定该函数的五个关键点；第3步，用光滑曲线顺次连接五个关键点，即可画出函数y＝Asin（ωx＋φ）在一个周期上的图象，再利用其周期性把图象延拓到R，就可以得到它在R上的图象；第4步，借助图象讨论性质. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝3sin x的图象可由函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变得到.（　√　） （2）函数y＝－3sin的振幅为－3.（　×　） （3）函数y＝4sin x，x∈R的周期和值域分别是6π和[－4，4].（　√　） 2.若函数f（x）＝2sin（ωx＋φ），x∈R（其中ω＞0，｜φ｜＜）的最小正周期为π，且f（0）＝，则ω＝2，φ＝，振幅A＝2. 解析：由题意知＝π，所以ω＝2，所以f（x）＝2sin（2x＋φ），又由f（0）＝得2sin φ＝， 由｜φ｜＜知φ＝. 3.已知函数y＝sin（ωx＋φ），且此函数的图象如图所示，则点（ω，φ）的坐标是. 解析：由＝－＝，∴T＝π，由T＝（ω＞0）得ω＝2.由2×＋φ＝π得φ＝.∴点（ω，φ）的坐标为. 题型一｜作y＝Asin（ωx＋φ）的图象 【例1】　用“五点法”画出函数y＝2sin的图象，并指出函数的单调区间. 解：由五点法列表： x － 2x＋ 0 π 2π y 0 2 0 －2 0 描点、连线，如图所示为函数在一个周期内的图象， 利用三角函数的周期性，我们可以把上面所得的简图向左、向右扩展，得到y＝2sin，x∈R的简图（图略）. 可见一个周期内，函数在上单调递减.又因为函数的周期为π，所以函数的单调递减区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）.同理，函数的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）. 通性通法 作y＝Asin（ωx＋φ）图象的一般方法 　　一般利用“五点法”通过列表求值、描点、连线、扩展得到所求函数图象.列表求值时要特别注意：（1）应取使ωx＋φ为一个周期内的五个关键点，求对应的x的值；（2）求y值时注意倍数A. 【跟踪训练】 用“五点法”作出函数y＝2sin＋3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间. 解：（1）列表： x π π π π x－ 0 π π 2π y 3 5 3 1 3 （2）作出图象，如图所示.将函数在一个周期内的图象向左、向右两边扩展即得y＝2sin（x－）＋3的图象. 周期T＝2π，频率为＝，相位为x－，初相为－，最大值为5，最小值为1，函数的单调递减区间为［2kπ＋π，2kπ＋π］（k∈Z），单调递增区间为［2kπ－，2kπ＋π］（k∈Z）. 题型二｜函数图象的变换 【例2】　（1）为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点（　D　） A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析：因为y＝2sin＝2sin，所以要得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin的图象上所有的点向右平移个单位长度，故选D. （2）〔多选〕函数y＝cos（2x＋）的图象是由函数y＝cos x的图象经过变换得到，则这个变换可以是（　ABC　） A.先将图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的 B.先将图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的 C.先将图象上所有点的横坐标变为原来的，再将图象向左平移个单位长度 D.先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向左平移个单位长度 解析：先将函数y＝cos x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝cos（x＋）的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数y＝cos（2x＋）的图象，故A正确；先将函数y＝cos x的图象向右平移个单位长度得到函数y＝cos（x－）＝cos（x＋）的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数y＝cos（2x＋）的图象，故B正确；先将函数y＝cos x的图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数y＝cos 2x的图象，再将图象向左平移个单位长度得到函数y＝cos（2x＋）的图象，故C正确；先将函数y＝cos x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍得到函数y＝cosx的图象，再将图象向左平移个单位长度得到函数y＝cos（x＋）的图象，故D错误.故选A、B、C. 通性通法 三角函数图象变换的方法 　　由y＝sin x的图象变换到y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的图象的常用方法有两种： 【跟踪训练】 1.把函数y＝sin（2x－）的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数解析式为（　　） A.y＝sin（2x－） B.y＝sin（2x－） C.y＝cos 2x D.y＝－sin 2x 解析：D　因为函数y＝sin（2x－）的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数解析式为y＝sin［2（x－）－］＝sin（2x－π）＝－sin 2x.故选D. 2.函数y＝sin（2x＋）的图象可由函数y＝cos x的图象（　　） A.先把各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 B.先把各点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度 D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 解析：B　由函数y＝sin（2x＋）＝cos［－（2x＋）］＝cos（－2x）＝cos（2x－）知，只需将函数y＝cos x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到y＝cos 2x的图象，再向右平移个单位长度得到y＝cos［2（x－）］＝cos（2x－）的图象.故选B. 题型三｜由图象求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式 【例3】　如图是函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式. 解：法一（逐一定参法）　由图象知振幅A＝3， 又T＝－＝π， ∴ω＝＝2. 由图象过点可知，－×2＋φ＝0， 得φ＝，∴y＝3sin. 法二（待定系数法）　由图象知A＝3，又图象过点和，根据五点画图法原理（以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点），有 解得 ∴y＝3sin. 法三（图象变换法）　由题意得，T＝π，A＝3，点在函数图象上， 易知图象是由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得到的， ∴y＝3sin， 即y＝3sin，φ＝. 通性通法 　　若设所求解析式为y＝Asin（ωx＋φ），则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ. （1）由函数图象上的最大值、最小值来确定｜A｜； （2）由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω； （3）确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的初相φ的值的两种方法： ①代入法：把图象上的一个最高点或最低点代入（此时A，ω已知）或代入图象与x轴的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）； ②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口. “五点法”的ωx＋φ的值具体如下： “第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为ωx＋φ＝0； “第二点”（即图象的“峰点”）为ωx＋φ＝； “第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为ωx＋φ＝π； “第四点”（即图象的“谷点”）为ωx＋φ＝； “第五点”为ωx＋φ＝2π. 【跟踪训练】 已知函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，则该函数的一个解析式为y＝sin（答案不唯一）. 解析：法一　由图象知函数的最大值为，最小值为－，又A＞0，∴A＝. 由图象知＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2. 又×＝， ∴图象上的最高点为， ∴＝sin（2×＋φ）， 即sin＝1，可取φ＝－. 故函数的一个解析式为y＝sin. 法二（五点对应法）　由图象知A＝.又图象过点，，根据“五点法”原理（以上两点可判断为“五点法”中的第一点与第三点）得 解得 故函数的一个解析式为y＝sin. 法三（图象变换法）　由图可知A＝，＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2.∴该函数的图象可由y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到.故所求函数的一个解析式为y＝sin 2，即y＝sin. 题型四｜函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质及应用 【例4】　已知函数f（x）＝3sin. （1）求函数f（x）的周期、振幅、初相； 解：周期T＝＝＝4π，振幅A＝3，初相是－. （2）求函数f（x）的对称轴、对称中心、递增区间. 解：由于y＝3sin是周期函数，通过观察图象（图略）可知，所有与x轴垂直并且通过图象的最值点的直线都是此函数的对称轴，即令x－＝＋kπ，k∈Z，解得对称轴方程为x＝＋2kπ，k∈Z. 因为所有图象与x轴的交点都是函数的对称中心，令x－＝kπ，所以x＝＋2kπ，k∈Z，所以对称中心为点，k∈Z. 又因为x的系数为正数，所以把x－视为一个整体，令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，解得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，所以［－＋4kπ，＋4kπ］，k∈Z为此函数的递增区间. 通性通法 　　对于函数单调性、对称性的研究，运用整体处理，只要熟练掌握y＝sin x的性质，就可以“以不变应万变”. 【跟踪训练】 已知曲线y＝Asin（ωx＋φ）上最高点为（2，），该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点（6，0）. （1）求函数的解析式； 解：由题意可知A＝，＝6－2＝4，∴T＝16， 即＝16，∴ω＝，∴y＝sin. 又图象过最高点（2，），∴sin＝1， 故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z， 由｜φ｜≤，得φ＝，∴y＝sin. （2）求函数在x∈[－6，0]上的值域. 解：∵－6≤x≤0，∴－≤x＋≤， ∴－≤sin≤1. 即函数在[－6，0]上的值域为[－，1]. 1.函数y＝2sin的最小正周期、振幅、初相分别是（　　） A.，2，　　　　　　　B.4π，－2，－ C.4π，2， D.2π，2， 解析：C　由函数解析式知，最小正周期T＝＝4π，函数的振幅为2，在x＋中，令x＝0，求得初相为.故选C. 2.函数f（x）＝sin（x∈R）的图象的一条对称轴方程是（　　） A.x＝0 B.x＝－ C.x＝ D.x＝ 解析：B　∵f（x）＝sin的图象的对称轴方程为x－＝kπ＋（k∈Z），得x＝kπ＋（k∈Z），∴当k＝－1时，x＝－为其一条对称轴的方程，故选B. 3.将函数y＝cos的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（　　） A.y＝4cos B.y＝4cos C.y＝4sin D.y＝－4sin 解析：A　y＝cos（2x＋） y＝cos［2＋］＝cos（2x－） y＝cos y＝4cos. 4.函数y＝2sin的单调递减区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）. 解析：令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），解得函数的单调递减区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）. 5.将函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则函数g（x）在［0，］上的最大值和最小值分别为和－. 解析：依据图象变换可得函数g（x）＝sin. 因为x∈［0，］， 所以4x＋∈［，］， 所以当4x＋＝时，g（x）取最大值， 当4x＋＝时，g（x）取最小值－. ▶拓视野　三角函数中有关ω的求解 类型一｜三角函数的单调性与ω的关系 【例1】　已知函数f（x）＝sin（ω＞0）在区间上单调递增，则ω的取值范围为（　　） A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：B　法一　由题意得 则又ω＞0， 所以k∈Z， 所以k＝0，则0＜ω≤，故选B. 法二　取ω＝1，则f（x）＝sin，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，函数f（x）在区间上单调递减，与函数f（x）在区间上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项可知选B. 方法总结 　　根据正弦函数的单调区间，确定函数f（x）的单调区间，根据函数f（x）＝sin（ω＞0）在区间上单调递增，建立不等式，即可求ω的取值范围. 类型二｜三角函数的对称性与ω的关系 【例2】　已知函数f（x）＝cos（ω＞0）的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为点，则ω有（　　） A.最小值2 B.最大值2 C.最小值1 D.最大值1 解析：A　∵三角函数的对称中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，∴对称中心 到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－≥，又∵T＝，∴≤，∴ω≥2，∴ω有最小值2，故选A. 方法总结 　　三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“ω”的取值. 类型三｜三角函数的最值与ω的关系 【例3】　已知函数f（x）＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是（－∞，－2]∪. 解析：显然ω≠0.若ω＞0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω，因为函数f（x）＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥；若ω＜0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f（x）＝2sin ωx在区间上的最小值为－2.所以ω≤－，解得ω≤－2.综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是（－∞，－2]∪. 方法总结 　　利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围. 【迁移应用】 1.为了使函数y＝sin ωx（ω＞0）在区间[0，1]上至少有50个最大值，则ω的最小值为（　　） A.98π　　　B.π C.π　　　D.100π 解析：B　由题意，至少有50个最大值即至少需要49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π. 2.已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）在（0，）上单调递增，则ω的取值范围为（　　） A.（0，2] B.（0，2） C.（0，3] D.（0，3） 解析：A　当x∈（0，）时，ωx＋∈（，＋），因为函数f（x）＝sin（ωx＋）在（0，）上单调递增，所以＋≤，解得0＜ω≤2，故ω的取值范围为（0，2]，故选A. 3.已知函数f（x）＝2cos（ωx－）＋1（ω＞0）的图象在区间（0，2π）内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是（　　） A.（ 0，］ B.（，］ C.［，） D.［，＋∞） 解析：A　因为x∈（0，2π），ω＞0，所以ωx－∈（－，2ωπ－），画出y＝2cos z＋1（z＞－）的大致图象，如图，f（x）的图象在区间（0，2π）内至多存在3条对称轴，即y＝2cos z＋1的图象在（－，2ωπ－）内至多存在3条对称轴，则2ωπ－∈（－，3π］，解得ω∈（0，］. 4.若函数f（x）＝cos（2ωx＋）＋1（ω＞0）在区间[0，π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围是［，）. 解析：令t＝2ωx＋，g（t）＝cos t＋1.由0≤x≤π，得≤t＝2ωx＋≤2πω＋.函数f（x）在[0，π]上有且仅有2个零点，即g（t）在［，2πω＋］上有且仅有2个零点，且这2个零点是π，3π，所以3π≤2πω＋＜5π，解得≤ω＜，所以ω的取值范围为［，）. 1.要得到函数y＝3sin的图象，只需将函数y＝3sin 2x的图象（　　） A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析：C　将y＝3sin 2x向左移动个单位长度得y＝3sin 2＝3sin，∴只需将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度，即可得y＝3sin的图象.故选C. 2.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，｜φ｜＜π，ω＞0）的部分图象如图所示，则（　　） A.y＝2sin B.y＝2sin C.y＝2sin D.y＝2sin 解析：A　根据函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，｜φ｜＜π，ω＞0）的部分图象，可得A＝2，·＝－，∴ω＝2，∴y＝2sin（2x＋φ）.又函数图象过点，∴2sin＝2，∴2·＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z.∵｜φ｜＜π，∴φ＝－，故函数的解析式为y＝2sin.故选A. 3.函数f（x）＝sin（2x＋φ）的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则φ＝（　　） A.　　　B.－ C.　　　D.－ 解析：D　函数f（x）＝sin（2x＋φ）的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝sin（2x＋＋φ）的图象.由于平移后的图象关于原点对称，∴＋φ＝kπ（k∈Z），由｜φ｜＜得φ＝－. 4.函数f（x）＝3sin＋1（x∈R）的图象向右平移个单位长度后得到y＝g（x）的图象，则函数g（x）（　　） A.最大值为3 B.最小正周期为2π C.为奇函数 D.图象关于y轴对称 解析：D　将函数f（x）＝3sin（ 2x－）＋1（x∈R）的图象向右平移个单位长度后得到y＝g（x）的图象，则g（x）＝f＝3sin［2－］＋1＝3sin＋1＝1－3cos 2x，可得g（x）的最大值为4，故A错误；g（x）的最小正周期T＝π，故B错误；g（－x）＝1－3cos（－2x）＝1－3cos 2x＝g（x），为偶函数，故C错误，D正确.故选D. 5.〔多选〕函数y＝3sin的图象，可由函数y＝sin x的图象经过下列哪项变换而得到（　　） A.向左平移个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍 B.向左平移个单位长度，横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的3倍 C.横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍 D.横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍 解析：BD　①将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin，横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y＝3sin的图象.②将y＝sin x的图象的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变得到函数y＝sin 2x，再向左平移个单位长度，得到函数y＝sin，横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y＝3sin的图象.故选B、D. 6.〔多选〕已知函数f（x）＝Asin ωx（A＞0，ω＞0）与g（x）＝cos ωx的部分图象如图所示，则（　　） A.A＝1 B.A＝2 C.ω＝ D.ω＝ 解析：BC　由题图可得过点（0，1）的图象对应的函数解析式为g（x）＝cos ωx，即＝1，A＝2.过原点的图象对应函数f（x）＝Asin ωx.由f（x）的图象可知，T＝＝1.5×4，可得ω＝. 7.当－≤x≤时，函数f（x）＝sin的最大值是，最小值是－. 解析：∵－≤x≤，∴－≤x＋≤π.当x＋＝－，即x＝－时，f（x）min＝－.当x＋＝，即x＝时，f（x）max＝. 8.若函数f（x）＝2sin在和[3m，π]上均单调递增，则实数m的取值范围为. 解析：由f（x）＝2sin知，当x∈[0，π]时，f（x）在和上单调递增，∵函数f（x）在和[3m，π]上均单调递增，∴解得≤m≤，∴实数m的取值范围为. 9.函数y＝－2sin的单调递减区间为［－＋kπ，＋kπ］，k∈Z. 解析：函数y＝－2sin的单调递减区间即为函数y＝2sin的单调递增区间，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 10.已知函数f（x）＝cos（3x＋），x∈R. （1）求f（x）的最小正周期和对称轴； （2）求f（x）的单调递增区间和单调递减区间； （3）当x∈［0，］时，求f（x）的值域. 解：（1）T＝，令3x＋＝kπ，k∈Z， 则x＝－＋，k∈Z， 故f（x）的最小正周期为T＝，对称轴方程为x＝－＋（k∈Z）. （2）由－π＋2kπ≤3x＋≤2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤－＋kπ，k∈Z. 由2kπ≤3x＋≤π＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f（x）的单调递增区间为［－＋kπ，－＋kπ］（k∈Z），单调递减区间为［－＋kπ，＋kπ］（k∈Z）. （3）因为x∈［0，］，所以≤3x＋≤， 所以－≤f（x）≤1， 所以当x∈［0，］时，f（x）的值域为[－，1]. 11.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋k（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的最大值是4，最小值是0，最小正周期是，直线x＝是其图象的一条对称轴，则（　　） A.f（x）＝4sin（4x＋） B.f（x）＝2sin（2x＋）＋2 C.f（x）＝2sin（4x＋）＋2 D.f（x）＝2sin（4x＋）＋2 解析：C　因为f（x）的最大值是4，最小值是0，所以解得因为f（x）的最小正周期是，所以＝，解得ω＝4.因为直线x＝是f（x）＝2sin（4x＋φ）＋2图象的一条对称轴，所以4×＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝－＋kπ，k∈Z，又｜φ｜＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（4x＋）＋2.故选C. 12.某同学利用描点法作函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象，列出的部分数据如表： x 0 1 2 3 4 y 1 0 1 －1 －2 经检查发现表格中恰有一组数据计算错误，请你推断该函数的解析式是y＝2sin. 解析：因为点（0，1），（2，1）关于直线x＝1对称，所以函数图象的一条对称轴为直线x＝1，由三角函数的对称性可知，正弦函数在对称轴处取得最值，即函数图象过点（1，A）或点（1，－A），从而可得第二组（1，0）错误.由表格知函数的最小值是－2，则A＝2.因为f（0）＝2sin φ＝1，即sin φ＝，又｜φ｜＜，∴φ＝，则y＝2sin.又点（2，1），（3，－1）关于点对称，0＜ω＜2，所以函数的周期T＝4×＝6，根据周期公式T＝＝6，得ω＝＝，则函数的解析式为y＝2sin. 13.记函数f（x）＝cos（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T.若f（T）＝，x＝为f（x）的零点，则ω的最小值为3. 解析：因为T＝，f（）＝，所以cos（2π＋φ）＝，即cos φ＝.又0＜φ＜π，所以φ＝.因为x＝为f（x）的零点，所以ω＋＝＋kπ（k∈Z），解得ω＝9k＋3（k∈Z）.又ω＞0，所以当k＝0时，ω取最小值，且最小值为3. 14.已知函数f（x）＝sin（2x＋φ）（0＜φ＜π）. （1）若函数f（x）＝sin（2x＋φ）为偶函数，求φ的值； （2）若函数f（x）＝sin（2x＋φ）关于x＝ 对称，求出φ的值及f（x）的所有的对称轴方程及对称中心的坐标. 解：（1）因为f（x）为偶函数， 所以φ＝kπ＋（k∈Z）， 又φ∈（0，π），所以φ＝. （2）因为f（x）＝sin（2x＋φ）关于x＝ 对称， 所以2×＋φ＝＋kπ（k∈Z）， 所以φ＝＋kπ（k∈Z）， 又φ∈（0，π）， 所以φ＝， 所以f（x）＝sin. 由2x＋＝kπ＋（k∈Z）， 得x＝＋（k∈Z）， 由2x＋＝kπ，得x＝－（k∈Z）， 所以f（x）的对称轴方程为x＝＋（k∈Z）， 对称中心的坐标为（k∈Z）. 15.〔多选〕北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位的导航、授时服务.北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，可以用函数f（x）＝｜2sin（2x－）｜近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（　　） A.函数f（x）的最小正周期为 B.函数f（x）图象的一条对称轴是x＝ C.函数f（x）在（0，）上单调递增 D.函数g（x）＝f（x）－1在（－，π）上有4个零点 解析：ABD　因为y＝2sin（2x－）的最小正周期为T＝＝π，所以y＝｜2sin（2x－）｜的最小正周期为，故A正确；因为f（－x）＝｜2sin（－2x）｜＝f（x），所以函数f（x）图象的一条对称轴是x＝，故B正确；因为x∈（0，）时，2x－∈（－，0），而y＝｜2sin x｜在（－，0）上单调递减，故C不正确；函数g（x）＝f（x）－1的零点即方程｜sin（2x－）｜＝的根，x∈（－，π）时，2x－∈（－，），由图象可知方程有4个根， 故D正确.故选A、B、D. 16.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π），在同一周期内，当x＝时，f（x）取得最大值3；当x＝时，f（x）取得最小值－3. （1）求函数f（x）的解析式； （2）求函数f（x）的递减区间； （3）若x∈时，函数h（x）＝2f（x）＋1－m有两个零点，求实数m的取值范围. 解：（1）由题意易知A＝3，T＝2×＝π， ∴ω＝＝＝2， 由2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 得φ＝＋2kπ，k∈Z. 又∵｜φ｜＜π，∴φ＝，∴f（x）＝3sin. （2）由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴函数f（x）的递减区间为，k∈Z. （3）由题意知方程sin＝在区间上有两个实根. ∵x∈，∴2x＋∈， ∴sin∈， 又方程有两个实根，∴∈， ∴m∈[1＋3，7）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $