第6章 6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦柱、锥、台的侧面展开与面积计算，通过正八面体钻石表面积问题导入，衔接生活实际，新知以表格对比多面体与旋转体展开图及公式，“想一想”环节建立公式间逻辑联系，构建知识支架帮助学生系统掌握。 其亮点在于融合直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养，情境导入培养数学眼光，典例分类结合轴截面等几何直观，通性通法总结解题策略，分层练习强化运算。学生提升空间观念与解题能力，教师获得系统教学资源与分层素材，便于高效教学。

6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 1 1.掌握圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式，会求圆柱、圆锥、圆台的侧面积（直观想象、逻辑推理、数学运算）. 2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式，会求直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积（直观想象、逻辑推理、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬物质，其形状除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的晶体.金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色，璀璨夺目的钻石.如图 就是一块正八面体的钻石. 【问题】　如果已知该钻石的棱长，你能求出它的表面积吗？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点　柱、锥、台的侧面积 侧面展开图 面积公式 多面体 （三种 特例） 直 棱 柱 S侧＝ （c为底面周长，h为棱柱的 高）； S表＝S侧＋2S底 ch　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 侧面展开图 面积公式 多面体 （三种特 例） 正 棱 锥 S侧＝ （c为底面周长，h'为斜 高，即侧面等腰三角形底边上的高）； S表＝S侧＋S底 正 棱 台 S侧＝ （c1，c2分别为 上、下底面周长，h'为斜高，即侧面等 腰梯形的高）； S表＝S侧＋S上底＋S下底 ch'　 （c1＋c2）h'　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 侧面展开图 面积公式 旋 转 体 圆 柱 S底＝πr2；S侧＝ ；S表＝2πr（r＋l）（r 为底面半径，l为母线长） 圆 锥 S底＝πr2；S侧＝ ；S表＝πr（r＋l）（r为 底面半径，l为母线长） 圆 台 S上底＝π ，S下底＝π ；S侧＝ ⁠； S表＝π（ ＋ ＋r1l＋r2l）（r1，r2分别为上、下 底面半径，l为母线长） 2πrl　 πrl　 πl（r1＋r2）　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 1. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？ 提示：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上 底面缩为一个点时，得到圆锥. 由此可得：S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π（r＋r'）l S圆锥侧＝πrl. 2. 正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间有什么关系？ 提示：当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底 面缩为一个点时，得到正棱锥. 由此可得：S正棱柱侧＝ch S正棱台侧＝ （c＋c'）h' S正棱锥侧＝ ch'. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积. （　×　） （2）圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关. （　√　） （3）三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长. （　×　） （4）几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定. （　√　） × √ × √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表 面积是（　　） A. a2 B. a2 C. a2 D. a2 解析：　∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于 a，∴S表＝ a2 ＋3× × ＝ a2. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知圆锥的底面半径为2 cm，高为1 cm，则圆锥的侧面积是 ⁠ cm2. 解析：根据圆锥的侧面积公式可得S侧＝π×2× ＝2 π（cm2）. 2 π 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜简单旋转体的侧面积与表面积 【例1】　 （1）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面 积与表面积之比为（　A　） A. 2π∶（1＋2π） B. π∶（1＋π） C. 2π∶（1＋π） D. π∶（1＋2π） 解析：设圆柱底面半径为r，高为h，则2πr＝h， ＝ ＝ ＝ ＝ .故选A. A 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）圆锥的表面积是底面积的4倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心 角为（　A　） A. 120° B. 135° C. 150° D. 180° 解析：设扇形的母线长为l，底面半径为r，则πrl＋πr2＝4πr2，解得l＝ 3r，所以扇形的圆心角为 ＝ .故选A. A 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）某圆台的侧面积是上、下两底面积之差绝对值的2倍，则其母线与底 面的夹角为（　C　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 解析：设圆台上、下底面圆的半径分别为r，R（R＞r），母线长为l， 由题意知，2π（R2－r2）＝πl（R＋r）， 即2（R－r）＝l， 所以圆台的母线与底面的夹角的余弦值为 cos θ＝ ＝ ，解得θ＝ 60°.故选C. C 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 简单旋转体侧面积和表面积的求解策略 （1）简单旋转体的侧面积与表面积计算的关键是熟记公式，灵活套用.要 弄清圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的形状以及展开图中各线段长（弧 长）与原几何体有关量的关系； （2）求圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积，关键是求出它们的底面半 径以及母线长.通常借助它们的轴截面来求底面半径及母线长，其中圆 柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 若一个圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则这个圆柱的侧面积为（　） A. 9π B. 12π C. D. 解析：设圆柱的底面半径为r，则该圆柱的母线长为2r，由于该圆柱的轴截面面积为（2r）2＝4r2＝9，因此，该圆柱的侧面积为2πr·2r＝4πr2＝9π.故选A. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知圆锥的侧面积是底面积的 倍，则母线与底面所成的角为（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 解析：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，母线与底面所成的角为θ，因为圆锥的侧面积是底面积的 倍，则πrl＝ πr2，可得l＝ r，所以 cos θ＝ ＝ ，则θ＝45°，因此，母线与底面所成的角为45°.故选B. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知圆台的上、下底面中心分别为O1，O2，过直线O1O2的截面是上、 下底边边长分别为2和4，且高为 的等腰梯形，则该圆台的侧面积为 （　　） A. 3π B. 3 π C. 6π D. 6 π 解析：设圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，高为h，母线长为l，由题意，r1＝1，r2＝2，且截面等腰梯形的腰是该圆台的母线，则母线长l ＝ ＝ ＝2，则该圆台的侧面积S侧＝π（r1＋r2） l＝6π.故选C. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜简单多面体的侧面积与表面积 【例2】　正四棱台两底面边长分别为a和b（a＜b）. （1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线的夹角为45°，求 棱台的侧面积； 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，过C1 作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C1F，则 C1F为正四棱台的斜高. 由题意知∠C1CO＝45°， CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝ （b－a）. 在Rt△C1CE中，C1E＝CE＝ （b－a）， 又EF＝CE· sin 45°＝ （b－a）， 数学·必修第二册（BSD） 目 录 ∴C1F＝ ＝ ＝ （b－a）. ∴S侧＝ （4a＋4b）× （b－a）＝ （b2－a2）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高. 解：∵S侧＝S底，S底＝a2＋b2， ∴4· （a＋b）·h斜＝a2＋b2， ∴h斜＝ . 又EF＝ ，∴h＝ ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 求多面体的侧面积或表面积的技巧 （1）对于直棱柱、正棱锥、正棱台，求其侧面积与表面积的关键是求出 它们的基本量，如底面边长、高、斜高等，然后套用公式计算； （2）对于一般的棱柱、棱锥、棱台，求其侧面积时，一般是将其每一个 侧面的面积分别求出来，然后相加； （3）注意合理运用多面体的特征几何图形，如棱柱中的矩形、棱台中的 直角梯形、棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、侧棱、底面边长 的桥梁，也是侧面积公式中未知量与条件中已知几何元素间的桥梁. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知棱长均为5，四边形ABCD为正方形的四棱锥S-ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积. 解：∵四棱锥S-ABCD的各棱长均为5， ∴各侧面都是全等的正三角形. 设E为AB的中点，连接SE（图略），则SE⊥AB， ∴S侧＝4S△SAB＝4× AB×SE＝2×5× ＝25 ， S表＝S侧＋S底＝25 ＋25＝25（ ＋1）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜简单组合体的表面积 【例3】　已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a， BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯 形ABCD旋转一周，求此旋转体的表面积. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：如图所示，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成 的.在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a， AB＝（2a－a）tan 60°＝ a， DC＝ ＝2a， 又DD'＝DC＝2a， 则S表＝S圆柱表＋S圆锥侧－S圆锥底 ＝2π·2a· a＋2π·（2a）2＋π·a·2a－π·a2 ＝（9＋4 ）πa2. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 求组合体的表面积的基本步骤 （1）弄清楚它是由哪些简单几何体构成的，组成形式是什么； （2）根据组合体的组成形式设计计算思路； （3）根据公式计算求值. 2. 求组合体的表面积的注意点 （1）对于由简单几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表 面积的影响； （2）对于从简单几何体中“切掉”或“挖掉”部分构成的组合体，要注 意新产生的截面和原几何体表面的变化. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻 一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为 ⁠. 解析：由该几何体的组合形式可知，其表面积应该是正方体的表面积减去 中间圆柱的两个底面的面积，再加上圆柱的侧面积，故其表面积S＝6×22 －π×0.52×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π. 24＋1.5π 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下 底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱 长为2，则该塔形几何体的表面积为 ⁠. 36 解析：易知由下向上三个正方体的棱长依次为2， ，1， 所以S表＝2×22＋4×[22＋（ ）2＋12]＝36. 所以该几何体的表面积为36. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 若一个圆锥的轴截面是一个边长为3的等边三角形，则该圆锥的表面积 是（　　） A. π B. π C. 9π D. π 解析：　由已知得该圆锥的底面半径是 ，母线长为3，因此其底面面积 S1＝π· ＝ π，侧面积S2＝π× ×3＝ π，故其表面积为S＝S1＋S2＝ π，故选D. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 正四棱锥底面正方形的边长为4，侧面是等边三角形，则该四棱锥的侧 面积为（　　） A. 16 B. 48 C. 64 D. 解析：　如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，连接 AC，BD，交于O点，连接PO，取BC的中点E，连 接PE，OE，易知PO为正四棱锥P-ABCD的高，PE 为等边三角形PBC边BC上的高，所以PE＝2 ，则 S侧＝4× ×4×2 ＝16 . √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为 ，体对角线长为 ， 则这个棱柱的侧面积是 ⁠. 解析：易知底面正方形的边长为1，棱柱的高为2，所以这个棱柱的侧面积 是4×2＝8. 8 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥 称之为阳马，若四棱锥S-ABCD为阳马，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA＝ BC＝AB＝2，则该阳马的表面积为 ⁠. 解析：由题意知几何体的表面积为：S四棱锥＝2S△SAB＋2S△SBC＋S正方形ABCD ＝2× ·SA·AB＋2× ·BC·SB＋AB·BC＝2× ×2×2＋2× ×2×2 ＋2×2＝8＋4 . 8＋4 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 如图所示，正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形，下 底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，求四棱台 的表面积. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方 形，∴上底面、下底面的面积分别是4，16.∵侧棱长为2，侧面是全等的 等腰梯形，∴侧面等腰梯形的高为 ＝ ，∴一个侧面等腰梯 形的面积为 ×（2＋4）× ＝3 ，∴四棱台的表面积为4＋16＋3 ×4＝20＋12 . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，侧面矩形的对角线长 为4，则这个棱柱的表面积是（　　） A. 8 B. 16 C. 8＋12 D. 8＋16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知一个圆台的轴截面面积为6，轴截面的一个底角为30°，则这个圆 台的侧面积是（　　） A. 6 π B. 12π C. 2 π D. 2π 解析：　如图所示，设圆台上底面的半径为r1，下底面 的半径为r2，圆台的高为AE＝h，所以AB＝2h，由题 意得 （2r1＋2r2）×h＝6，所以（r1＋r2）×h＝6， 所以这个圆台的侧面积是π（r1＋r1）×2h＝2π（r1＋ r2）h＝12π.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其 侧面积等于（　　） A. 12 B. 48 C. 64 D. 72 解析：　∵六棱柱的底面是边长为3的正六边形，故底面周长c＝6×3＝ 18，又∵侧面是矩形，侧棱长为4，故棱柱的高h＝4，∴棱柱的侧面积S ＝ch＝72，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表 面积的比为（　　） A. 1∶1 B. 1∶ C. 1∶ D. 1∶2 √ 解析：　如图，三棱锥D1-AB1C的各面均是正三角形， 其边长为正方体面对角线.设正方体的棱长为a，则面对角 线长为 a，所以S三棱锥＝4× ×（ a）2＝2 a2，S 正方体＝6a2，故S三棱锥∶S正方体＝1∶ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的 圆心角为180°，则圆台的（　　） A. 母线长是20 B. 表面积是1 100π C. 高是10 D. 轴截面为等腰梯形 解析：圆台的轴截面是等腰梯形，D正确；设圆台母线长为l，又圆台侧面展开图圆心角是180°，即π，所以l＝ ＝20，A正确；表面积为S＝π×102＋π×202＋π（10＋20）×20＝1 100π，B正确；高h＝ ＝10 ，C错误.故选A、B、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖， 清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单 檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑.下面以四角攒尖为例，如 图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧 面与底面所成的二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为 米，则（　　） A. 正四棱锥的底面边长为6米 B. 正四棱锥的底面边长为3米 C. 正四棱锥的侧面积为24 米2 D. 正四棱锥的侧面积为12 米2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　如图，在正四棱锥S-ABCD中，O为正方形 ABCD的中心，H为AB的中点，连接SH，则SH⊥AB， 设底面边长为2a，连接OH，则OH＝a，由题意知， ∠SHO＝30°，∴OS＝ a，SH＝ a.在Rt△SAH中，a2＋（ a）2＝21，解得a＝3米，∴底面边长为6米，SH＝2 米，故S侧面积＝ ×6×2 ×4＝24 （米2）.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 一个高为2的圆柱，底面周长为2π，则该圆柱的表面积为 ⁠. 解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2π×12＝2π，S侧＝2π·2＝ 4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π. 6π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 若一个圆锥的轴截面是面积为 的正三角形，则这个圆锥的表面积 为 ⁠. 解析：设圆锥母线长为a，结合三角形面积计算公式，得到S＝ a2 sin 60°＝ ，解得a＝2（负值舍去），所以底面半径r＝1，底面积S底＝ πr2＝π，所以侧面积S侧＝πra＝2π，所以圆锥的表面积为3π. 3π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x2－9x＋18＝0的两根，其侧 面积等于两底面积之和，则其侧面梯形的高为 ⁠. 解析：方程x2－9x＋18＝0的两个根为x1＝3，x2＝6，设侧面梯形的高为 h，则由题意得 ×（3＋6）×h×4＝32＋62，解得h＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 如图所示，已知直角梯形ABCD中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝ 5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求： （1）以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积； 解：以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台， 其上底面半径是4 cm，下底面半径是16 cm，母线DC＝ ＝13（cm）. ∴该几何体的表面积为π×（4＋16）×13＋π×42＋π×162＝ 532π（cm2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积. 解：以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示.其中圆锥的高为16－4＝12（cm），由（1）可知圆锥的母线DC长为13 cm，又圆柱的母线AD长为4 cm，故该几何体的表面积为2π×5×4＋ π×52＋π×5×13＝130π（cm2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 圆锥的中截面（过高的中点且平行于底面）把圆锥侧面分成两部分， 则这两部分侧面积的比为（　　） A. 1∶1 B. 1∶2 C. 1∶3 D. 1∶4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面 与底面的圆心.因为O1为PO2的中点，所以 ＝ ＝ ＝ ，所以PA＝AB，O2B＝2O1A. 又因为S小圆锥侧＝ π·O1A·PA，S圆台侧＝π·（O1A＋O2B）·AB，则 ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕已知圆锥的顶点为S，底面半径为 ，高为1，A，B是底面 圆周上两个动点，下列说法正确的是（　　） A. 圆锥的侧面积是2 π B. SA与底面的夹角是 C. △SAB面积的最大值是 D. 该圆锥内接圆柱侧面积的最大值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：设圆锥的底面圆心为O，则SO＝1，底面半径r＝ ，所以母线长l＝ ＝2，故圆锥的侧面积是πrl＝2 π，故选项A正确；因为A，B是底面圆周上两个动点，则SA为圆锥的一条母线，又SO与底面圆垂直，则∠SAO即为SA与底面的夹角，在Rt△SAO中，tan∠SAO＝ ＝ ，所以SA与底面的夹角是 ，故选项B正确；设∠ASB＝α，则0≤α≤ ，且SA＝SB＝2，所以S△ABC＝ ×22× sin α，所以当α＝ 时，△SAB的面积最大，最大为2，故选项C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 设该圆锥内接圆柱的底面半径为x（0＜x＜ ），高为h，则有 ＝ ， 可得h＝1－ ，则圆柱的侧面积为S侧＝2πx（ 1－ ）＝2π（ － ＋ x），由二次函数的性质可知，当x＝ 时，S侧取最大值，最大值为2π ［－ ＋ ］＝ ，故选项D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2，棱AB，AD，AA'的中点分别 为E，F，G，首先截去三棱锥A-EFG，类似地，再截去另外7个三棱 锥，则余下的几何体的表面积为 ⁠. 解析：如图，S正方形GEMH＝ × ＝2，S△EFG＝ × × × sin 60°＝ ，而余下的几何体的表面积等于6个 正方形GEMH的面积加上8个△EFG的面积，故所求几何 体的表面积为2×6＋ ×8＝12＋4 . 12＋4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 正六棱柱的一条最长的体对角线长是13，侧面积为180，求此正六棱柱 的表面积. 解：如图，设正六棱柱的底面边长为a， 侧棱长（即正六棱柱的高）为h，易知CF'是正六棱柱的一条 最长的体对角线，即CF'＝13， 所以CF'＝ ＝ ＝13.　① 因为正六棱柱的侧面积为180， 所以S侧＝6a·h＝180.　② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 联立①②，解得 或 负值舍去. 当a＝6，h＝5时，正六棱柱的底面积S底＝6× a2＝54 .所以S表＝180 ＋2×54 ＝180＋108 . 当a＝ ，h＝12时，正六棱柱的底面积S底＝6× a2＝ ， 所以S表＝180＋2× ＝180＋ . 综上，该正六棱柱的表面积为180＋108 或180＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 《九章算术·商功》有这样一道题目：“今有堑堵，下广二丈，袤一十 八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺.”所谓堑 堵，就是两底面为直角三角形的直棱柱.如图所示的几何体是一个“堑 堵”，AB＝BC＝4，AA1＝5，M是A1C1的中点，过B，C，M的平面把 该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为 （　　） A. 40 B. 25＋15 ＋3 C. 50 D. 30＋20 ＋3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　如图所示，取A1B1的中点N，连接BN，MN， 易知平面BCMN为过B，C，M的平面，则所得的三棱台 为A1NM-ABC，其中上、下底面均为等腰直角三角形，三 个侧面均为梯形.则S△ABC＝ ×4×4＝8， ＝ ×2×2＝2， ＝ ×（2＋4）×5＝15， ＝ ×（2 ＋4 ）×5＝15 ，S梯形BNMC＝ ×（2＋4）× ＝3 ，据此可知三棱台的表面积为25＋15 ＋3 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 一个圆锥的底面半径为R，高为 R， （1）求圆锥的表面积； 解：由题意可知，圆锥的母线长l为 ＝2R， 所以该圆锥的表面积为πR（R＋l）＝3πR2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求圆锥内接正四棱柱的表面积的最大值. 解：如图所示，设正四棱柱的底面对角线的一半为x， 易知△PBC∽△PAO，所以 ＝ ， 即 ＝ ，解得OC＝ （R－x）， 正四棱柱的底面是一个正方形，其底面边长为 x，底面 积为2x2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 所以正四棱柱的表面积为S＝2×2x2＋4× x× （R －x）＝（4－4 ）x2＋4 Rx， 由二次函数的基本性质可知，当x＝ ＝ 时，正四棱柱的表面积S有最大值，且Smax＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $