第6章 6.1,6.2 柱、锥、台的侧面展开与面积&柱、锥、台的体积（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦柱、锥、台的表面积与体积计算，通过课前问题链（如圆柱展开图与表面积关系）引导预习，课堂以题型示例（表面积、体积、组合体）和跟踪训练衔接，搭建从直观展开到公式应用的学习支架。 其亮点在于结合直观想象（如圆锥侧面展开扇形分析）和数学运算（如圆台体积公式推导），采用问题驱动与题型分类教学，通过反思感悟总结方法。学生能提升空间观念与运算能力，教师可直接使用系统资源提高教学效率。

第六章　立体几何初步 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 §6　简单几何体的再认识 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积　 6.2　柱、锥、台的体积 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（四十二） Part 03 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 课 前 预 习 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 πr2 2πrl 2πr2＋2πrl 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 πr2 πrl πr2＋πrl π(r1＋r2)l 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 ch 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 Sh 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 课 堂 互 动 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 课时作业（四十二） 点击进入word 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 谢谢观看 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1．熟记柱、锥、台的表面积和体积的计算公式． 2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，会求几何体的表面积与体积． 1．通过圆柱、圆锥、圆台和直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图的学习，培养直观想象的核心素养． 2．通过求简单几何体的表面积和体积，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　圆柱、圆锥、圆台的侧面展开与面积 [问题1]　 如何根据圆柱的展开图，求圆柱的表面积？ 答：圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高(母线).设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)，其中r为圆柱底面半径，l为母线长． [问题2]　如何根据圆锥的展开图，求圆锥的表面积？ 答：圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形面积为 eq \f(1,2) ×2πrl＝πrl， ∴S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)，其中r为圆锥底面半径，l为母线长． ►知识填空 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图与面积 几何体 侧面展开图 底面积、侧面积、表面积 圆柱 底面积：S底＝______； 侧表积：S侧＝________ 表面积：S＝____________． 圆锥 底面积：S底＝______； 侧面积：S侧＝________； 表面积：S＝____________． 圆台 上底面面积：S上底＝______； 下底面面积：S下底＝______； 侧面积：S侧＝____________； 表面积：S＝_____________________． πr eq \o\al(2,1) πr eq \o\al(2,2) πr eq \o\al(2,1) ＋πr eq \o\al(2,2) ＋π(r1＋r2)l 知识点二　直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开与面积 [问题]　 类比圆柱、圆锥、圆台，那么直棱柱、正棱锥、正棱台的展开图是怎样的？如何求棱柱、棱锥、棱台的表面积？ 答：如下图所示，首先需求出各个展开图中的每部分平面图形的面积，然后求和即可． ►知识填空 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积 直棱柱 S直棱柱侧＝______，其中c为棱柱底周长，h为棱柱的高． 正棱锥 S正棱锥侧＝________，其中c为棱锥的底面周长，h′为棱锥的斜高． eq \f(1,2) ch′ 正棱台 S正棱台侧＝________________，其中c1，c2分别为棱台的上下底面周长、h′为棱台的斜高． eq \f(1,2) (c1＋c2)h′ 知识点三　柱、锥、台的体积 [问题1]　 长方体、正方体、圆柱的体积公式如何表示？根据这些体积公式，推测柱体的体积计算公式． 答：V长方体＝abc，V正方体＝a3，V圆柱＝πr2h，根据这些体积公式可知：设柱体的底面面积为S，高为h，则柱体的体积公式为V柱体＝Sh. [问题2]　圆锥的体积公式如何表示？根据圆锥的体积公式，推测锥体的体积计算公式． 答：V圆锥＝ eq \f(1,3) πr2h.V锥体＝ eq \f(1,3) Sh(S为底面面积，h为高). ►知识填空 几何体 体积公式 柱体 圆柱、棱柱 V柱体＝______ S—柱体底面积，h—柱体的高 锥体 圆锥、棱锥 V锥体＝ eq \f(1,3) Sh S—锥体底面积，h—锥体的高 台体 圆台、棱台 V台体＝ eq \f(1,3) (S1＋S2＋ eq \r(S1·S2) )h S1，S2—台体的上、下底面积，h—台体的高 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积．(　　) (2)圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关．(　　) (3)任何一个三棱柱都可以分割成三个等体积的三棱锥．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于(　　) A． 72　　　　　　　　 B．42π C．67π D．72π 答案：C 3．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为 6 cm，4 cm，则该棱柱的侧面积为________cm2. 答案：72 4．已知圆锥的母线长为2，高为 eq \r(3) ，则该圆锥的侧面积是________． 答案：2π 题型一　柱、锥、台的表面积 [例1]　(1)已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为(　　) A．1∶ eq \r(2) 　　　　　　 B．1∶ eq \r(3) C．2∶ eq \r(2) D．3∶ eq \r(6) (2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为(　　) A．7 B．6 C．5 D．3 解析：(1)棱锥B′­ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为1，则B′C＝ eq \r(2) ，S△B′AC＝ eq \f(\r(3),2) . 三棱锥的表面积S锥＝4× eq \f(\r(3),2) ＝2 eq \r(3) ， 又正方体的表面积S正＝6. 因此S锥∶S正＝2 eq \r(3) ∶6＝1∶ eq \r(3) . (2)设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7. 答案：(1)B　(2)A [反思感悟] 空间几何体表面积的求法技巧 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和． (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为(　　) A．22 B．20 C．10 D．11 答案：A 2．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　) A．1∶2 B．1∶ eq \r(3) C．1∶ eq \r(5) D． eq \r(3) ∶2 答案：C 题型二　柱、锥、台的体积 [例2]　(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16 eq \r(2) π，则圆锥的体积是(　　) A． eq \f(64π,3) B． eq \f(128π,3) C．64π D．128 eq \r(2) π (2)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为(　　) A． eq \f(288,π) cm3 B． eq \f(192,π) cm3 C． eq \f(288,π) cm3或 eq \f(192,π) cm3 D．192π cm3 (3)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为____________． 解析：(1)作圆锥的轴截面，如图所示： 由题设，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB. 设圆锥的高为h，底面半径为r， 则h＝r，PB＝ eq \r(2) r. 由S侧＝π·r·PB＝16 eq \r(2) π， 得 eq \r(2) πr2＝16 eq \r(2) π.所以r＝4.则h＝4. 故圆锥的体积V圆锥＝ eq \f(1,3) πr2h＝ eq \f(64,3) π. (2)当圆柱的高为8 cm时，V＝π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2π))) eq \s\up20(2) ×8＝ eq \f(288,π) (cm3)，当圆柱的高为12 cm时，V＝π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2π))) eq \s\up20(2) ×12＝ eq \f(192,π) (cm3). (3)设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，如图． 因为母线长为10， 所以有102＝(4r)2＋(4r－r)2， 解得r＝2. 所以下底面半径R＝8，高h＝8， 所以V圆台＝ eq \f(1,3) π(r2＋rR＋R2)h＝ eq \f(1,3) π(4＋2×8＋82)×8＝224π. 答案：(1)A　(2)C　(3) 224π [反思感悟] 求几何体体积的常用方法 (1)公式法：直接代入公式求解． (2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 提醒：求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积． 1．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：A 2．已知棱柱ABC­A′B′C′的体积为1，则四棱锥C­AA′B′B的体积是(　　) A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,2) C． eq \f(2,3) D． eq \f(3,4) 答案：C 题型三　简单组合体的表面积、体积 [例3]　如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为 eq \r(3) 的圆柱，求圆柱的表面积． 解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S. 则R＝OC＝2 ，AC＝4， AO＝ eq \r(42－22) ＝2 eq \r(3) ， 如图所示， 易知△AEB∽△AOC， 所以 eq \f(AE,AO) ＝ eq \f(EB,OC) ，即 eq \f(\r(3),2\r(3)) ＝ eq \f(r,2) ， 所以r＝1， S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2 eq \r(3) π. 所以S＝S底＋S侧＝2π＋2 eq \r(3) π ＝(2＋2 eq \r(3) )π. [反思感悟] 求组合体的表面积与体积的方法 (1)分析结构特征． 弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量． (2)设计计算方法． 根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理．利用“切割”“补形”的方法求体积． (3)计算求值．根据设计的计算方法求值． 已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的全面积为S，求其内接正四棱柱的体积． 解：如图，设等边圆柱的底面半径为r， 则高h＝2r. ∵S＝S侧＋2S底＝2πrh＋2πr2＝6πr2， ∴r＝ eq \r(\f(S,6π)) . 由内接正四棱柱的底面是正方形， 设其边长为a， 则BD＝ eq \r(2) a＝2r，∴a＝ eq \r(2) r， ∴V＝S底·h＝( eq \r(2) r)2·2r＝4r3 ＝4· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(S,6π)))) eq \s\up20(3) ＝ eq \f(S\r(6πS),9π2) . 即圆柱的内接正四棱柱的体积为 eq \f(S\r(6πS),9π2) . [课堂小结] 1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和． 2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解． 3．S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2). 4．对柱、锥、台的体积的四点说明 (1)等底、等高的两个柱体的体积相同． (2)等底、等高的柱体的体积是锥体的体积的3倍． (3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． (4)求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积． $